Группы и их графы

Для многогранников опять-таки существует очень наглядный способ получения двойственных графов. Он состоит в следующем. В центре каждой грани ставится точка –  такие точки будут вершинами  двойственного графа. Рёбрами надо соединить те вершины, грани которых  разделены рёбрами в исходном графе. В результате получается многогранник, вписанный в исходный. Причём, если исходный граф правильный (полуправильный) многогранник, то и двойственный тоже будет правильным (полуправильным).[1,3]

Пример(двойственный граф). На рис. 15 изображёны двойственные графы куба и октаэдра.

 

3. Группы и их графы

1. Группы подстановок

Многие работы по теории групп посвящены исследованию класса групп, называемых группами подстановок (или группами перестановок). Группы подстановок особенно интересны тем, что с их помощью можно получить конкретные представления всех конечных групп. Мы увидим, что любая конечная группа изоморфна некоторой группе подстановок.

Множество взаимно однозначных отображений множества из п элементов на себя составляет группу отображений. Такие отображения называют подстановками, а группы, элементами которых являются подстановки, - группами подстановок.

Пусть множество состоит из трех элементов, расположенных в произвольном, но фиксированном порядке: a₁, a₂, a₃. В таких случаях часто бывает удобно обращать внимание лишь на нижние индексы и считать, что мы имеем дело с последовательностью 1, 2, 3; таким образом, например, третий элемент а₃ обозначается просто как 3.

Пусть теперь М — некоторое взаимно однозначное отображение этого множества па себя:

М: , или ,или 

Будем рассматривать это отображение М как подстановку элементов упорядоченного множества (вместо 1 «подставляется» 2, вместо 2 - 3, вместо 3 - 1) или как перестановку последовательности 1, 2, 3, в результате которой получается последовательность 2, 3, 1. Именно по этой причине мы называем группу отображений конечного множества в себя группой подстановок (или группой перестановок).

Разложение подстановок  в произведение циклов. Отображение, или подстановка М, устанавливает соответствия

Эта циклическая конфигурация наводит на мысль записать М в виде одной строки, заключенной в скобки:

М = (1 2 3),

и такая запись будет означать, что М отображает каждый символ в ближайший к нему справа, а последний - в первый. Подстановку М можно записать в виде цикла тремя способами:

(1 2 3), (2 3 1), (3 1 2),

так как несущественно, какой элемент указанного цикла мы поставим первым.

Пусть задано следующее отображение N множества из четырех элементов a₁, a₂, a₃, a₄ :

N =

Можно ли представить это отображение в виде цикла? Так как 4 отображается в 4, то N можно представить как

(1 2 3),

Если условиться, что любой  элемент, не появляющийся в цикле, переходит в себя. Аналогично,

 

так как отображение, записанное в левой части, полностью описывается двучленным циклом (2 4), если эту запись понимать так: 2→4, 4→2, 1→1 и 3→3.

Можно ли записать с помощью циклов произвольное отображение конечного множества в себя? Например, как записать отображение

 

в котором в противоположность предыдущему отображению N множество соответствий не «выстраивается» в один цикл? Начнем с символа 1 и запишем справа от него его образ 2:

(1 2 .

Чтобы продолжить цикл далее, надо посмотреть, во что переходит символ 2. Его образом будет 4, и мы пишем

(1 2 4 .

Если мы попытаемся продолжить цикл дальше, то увидим, что отображение А переводит 4 в 1, и окончательно имеем

(1 2 4).

Но этот цикл не есть запись отображения А, так как соответствующее ему отображение не переводит 3 в 5, а 5 в 3. Эти переходы осуществляются циклом (3 5), который каждый из остальных символов переводит в себя. Итак, ясно, что если выполняется сначала отображение

,

А затем отображение

 

то произведение этих отображений (их суперпозиция) есть отображение А, т.е.

.

Отметим, что поскольку эти два цикла не содержат общих символов и не оказывают друг на друга влияния, то безразлично, в каком порядке мы производим соответствующие отображения; следовательно,

(1 2 4) (3 5) = (3 5) (1 2 4).

Чтобы получить представление отображения А с помощью циклов, мы воспользовались способом, который можно применить к отображению любого конечного множества на себя. Отсюда следует, что каждую подстановку конечного множества можно записать как произведение циклов, не содержащих общих символов.

Рассмотрим теперь отображения

(12)

(2 3) и (2 3) (12)

и выясним, будут ли перестановочны циклы (1 2) и (2 3) с общим символом 2. Произведение (12) и (2 3) дает:

1 → 2,  затем 2 → 3  и окончательно 1 → 3,

3 → 3,  затем 3 → 2  и окончательно 3 → 2,

2 → 1,  затем 1 → 1  и окончательно 2 → 1.

Таким образом,

(1 2) (2 3) = (1 3 2).

С другой стороны, (2 3) (1 2) дает:

1 → 1,  затем 1 → 2  и окончательно 1 → 2,

2 → 3,  затем 3 → 3  и окончательно 2 → 3,

3 → 2,  затем 2 → 1  и окончательно 3 → 1.

Таким образом,

(2 3) (1 2) = (1 2 3),

т. е. циклы (12) и (2 3) не коммутируют. Циклы, не содержащие общих символов, перестановочны между собой, а содержащие общие символы могут и не быть перестановочны.

Конечная группа изоморфна  группе подстановок. Каждую конкретную группу можно рассматривать как одно из многих возможных представлений некоторой абстрактной группы, которая изоморфна каждому из этих представлений. В сформулированной ниже теореме утверждается, что для каждой конечной абстрактной группы существует ее конкретное представление в виде некоторой группы подстановок. Напомним, что подстановка на п символах- это взаимно однозначное отображение множества из п элементов на себя.

Теорема 9. Пусть задана конечная группа порядка n. Тогда существует группа подстановок на n элементах, изоморфная данной группе.

Найдем представление в виде группы подстановок для циклической группы С₄ четвертого порядка. Составим прежде всего таблицу умножения этой группы, причем элементы I, а, а², а³ будем обозначать также символами g₁, g₂, g₃, g₄ соответственно.

	I	а	а2	а3
	g1	g2	g3	g4
I	I	а	а2	а3
g1	g1	g2	g3	g4
а	a	а2	а3	I
g2	g2	g3	g4	g1
а2	а2	а3	I	а
g3	g3	g4	g1	g2
а3	а3	I	а	а2
g4	g4	g1	g2	g3

, ,

, .

Каждая строка таблицы - это перестановка верхней строки, например, последовательность g₂, g₃, g₄, g₁ (или просто 2, 3, 4, 1) во второй строке есть перестановка последовательности 1, 2, 3, 4 из первой строки. Четыре подстановки (или взаимно однозначных отображения), соответствующие перестановкам в строках, записаны справа от таблицы. Их можно представить с помощью циклов:

т₁ = (1)(2)(3)(4) = I, т₃ = ( 1 3) (2 4),

т₂ = (1 2 3 4), т₄=(1 4 3 2).

(Чтобы записать т₁ = I в виде циклов, нам пришлось ввести циклы, содержащие один символ.)

Пример 3.

Проверьте непосредственно, что

(а) , (b) , (с), (d) т₂т₄ = I

и что отображения m₁, m₂, m₃, m₄ образуют группу М.

Чтобы убедиться в том, что группа М, состоящая из подстановок m₁, m₂, m₃, m₄, изоморфна группе С₄, рассмотрим такие движения квадрата, вершины которого перенумерованы цифрами 1, 2, 3, 4, в результате которых вершины перемещаются в соответствии с подстановками m₁, т₂, т₃, т₄ (рис. 16). Ясно, что т₁ - единица группы подстановок М. Сопоставим ей единичный элемент I группы С₄. Подстановка т₂ эквивалентна повороту против часовой стрелки на 90°. Сопоставим ей образующую а группы С₄.

m₁   т₂   т₃   т₄

(1)(2)(3)(4)  (1 2 3 4)  (1 3)(2 4)  (1 4 3 2)

Пример 4. Отобразите оставшиеся элементы т₃ и т₄ группы М на элементы группы С₄ таким образом, чтобы группа М отображалась на группу С₄ изоморфно.

Возникает естественный вопрос: почему отображения, выписанные в таблице, образуют группу, изоморфную исходной? Вот вкратце основные соображения по этому поводу. Четыре отображения т_j (j = 1, 2, 3, 4) можно описать так:

 

т. е. m_j – это отображение

g_i → g_j g_i (i = 1, 2, 3, 4 ).

Отображение m_jm_k есть последовательное выполнение отображений m_j и m_k, т.е.при m_jm_k

g_i → g_j g_i , а затем g_i → g_k g_i.

Таким образом, при отображении m_jm_k

g_i → g_j (g_k g_i)=( g_j g_k) g_i.

Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между произведениями m_jm_k в группе подстановок и произведениями g_j g_k в группе С_4.

Теперь найдем представление четвертой группы D₂ в виде группы подстановок.

	I	a	b	ab
	g1	g2	g3	g4
I	I	a	b	ab
g1	g1	g2	g3	g4
a	a	I	ab	b
g2	g2	g1	g4	g3
b	b	ab	I	a
g3	g3	g4	g1	g2
ab	ab	b	a	I
g4	g4	g3	g2	g1

, ,

, .

Элементы группы подстановок М записаны в виде двух строк, заключенных в скобки. Их можно следующим образом выразить как произведения циклов:

2. Группа тетраэдра.

Значительный  интерес представляют группы, связанные  с самосовмещениями пяти правильных многогранников: тетраэдра, куба (гексаэдра), октаэдра, додекаэдра и икосаэдра. Мы подробно останавимся на группе тетраэдра.

Следует помнить, что в качестве групповой  бинарной операции здесь, как и во всех группах движений, рассматривается  суперпозиция, или «последовательное выполнение». (Для наглядности будем использовать какую- нибудь модель тетраэдра.)

Прежде  всего подсчитаем, сколько различных  элементов содержит группа самосовмещений правильного тетраэдра, а затем  выделим некоторые основные движения, которые порождают всю группу.