Десяткові наближення дійсного числа з недостачею і з надлишком

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CРС

 

На тему: “ Десяткові наближення дійсного числа з недостачею і з надлишком”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виконала:

студентка 1-го курсу

14 групи

Мельниченко Ольга

 

 

 

 

 

 

Одесса 2013

Дійсні числа — елементи певної числової системи, яка містить у собі раціональні числа і, в свою чергу, є підмножиною комплексних чисел.

Наближеним числом називають число а, яке несуттєво відрізняється від точного числа А і заміняє останнє при обчисленнях.

Нехай α є деяке позитивне дійсне число, представлене у вигляді нескінченної дробу. Спочатку ми припустимо, що ця дріб не є періодичною з періодом 0. (Наприклад, в якості α не може виступати число 0,5 = 0,5000 ....) Тоді десяткові наближення числа α з недостачею визначаються як числа, які виходять в результаті послідовного відкидання всіх його цифр, що стоять після коми, починаючи з першої цифри, потім з другої, потім з третього і т. Д

. Наприклад, для числа √2 = 1,41421 такими наближеннями будуть:

1;   1,4;   1,41;   1,414;   1,4142;   1,41421;  

Якщо останню цифру кожного  з десяткових наближень числа  α збільшити на 1, то ми отримаємо  послідовні десяткові наближення числа  α з надлишком.

Наприклад, для числа √2 такими наближеннями будуть:

2;   1,5;   1,42;   1,415;   1,4143;   1,41422;

Очевидно, що число α  більше будь-якого свого десяткового наближення з недостачею, але менше будь-якого свого десяткового наближення з надлишком.

Тепер припустимо, що α  є періодична десятковий дріб із періодом 0. Прикладом такого числа може служити число 1,47 = 1,4700 ... . Десяткові наближення цього числа з недоліком природно визначити як числа

1;   1,4;    1,47;    1,470;    1,4700; ...,

а десяткові наближення з надлишком - як числа

2;   1,5;   1,47;    1,470;    1,4700; .

Взагалі, нехай нульовий період числа α починається з k-го десяткового знаку після коми (наприклад, Для числа 1,47 == 1,470000 ... k = 3). Тоді його перші k - 1 десяткових наближень з недоліком і перші k - 1 десяткових наближень з надлишком визначаються так само, як і у випадку, коли розглянута дріб не є періодичною з періодом 0. Всі ж інші десяткові наближення вважаються рівними числу α. Так, для числа 0,373 = 0,37300 ... десятковими наближеннями будуть:

з недостачею 0; 0,3; 0,37; 0,373; 0,3730; 0,37300; ..

з надлишком ; 0,4; 0,38; 0,373; 0,3730; 0,37300

Очевидно, що в цьому випадку  число α не менше будь-якого  свого десяткового наближення з  нестачею і не більше будь-якого  свого десяткового наближення з  надлишком.

Приклад 1. Знайти наближене значення з надлишком і з недостачею з точністю до 0,01 для числа: а) ; б)  .

Розв'язування.

А) Ми знаємо, що  =2,236…, тому ,  ≈2,23 з недостачею і  ≈2,24 знадлишком.

Б) Маємо  =0,3(18). Тому  ≈0,31 з недостачею і  ≈0,32 з надлишком.

Наближення з недостачею і надлишком  іноді ще називають округленням числа.

Означення. Похибкою наближення (абсолютною похибкою) називають модуль різниці між точним значенням величини х і її наближенням а -│х-а│.

Виникає практичне запитання, яке  наближення краще, з надлишком чи з недостачею, тобто в якому випадку похибка менша? Це, звичайно залежить від конкретного числа для якого складають наближення, тобто округлення. Як правило при округленні додатніх чисел використовують слідуюче правило.

Правило округлення.Якщо перша відкидаюча цифра менша 5, то треба брати наближення з недостачею, якщо ж перша відкидаюча цифра більша або рівна 5, то беруть наближення з надлишком.

Застосуємо це правило до деяких чисел і виберемо для них ті наближення для яких похибка буде найменша.

1)π=3,141592…, з точністю до 0,001 маємо π≈3,142, тут перша цифра, яка відкидається, 5 тому взяли наближення з надлишком. З точністю до 0,0001 маємо π≈3,1416 також наближення з надлишком. А ось з точністю до 0,01 треба взяти наближення з недостачею: π≈3,14.

2)  =2,236…, при наближенні з точністю до 0,01 маємо  ≈2,24—наближення з надлишком.

Якщо а—наближене значення числа х і │х-а│≤h, то кажуть, щопохибка наближення не перевищує h або що число х рівне числу а з точністю до h.