Дифференциальные уравнения

Содержание

Список заданий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Задание 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Задание 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Задание 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Задание 4.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Задание 5.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Задание 6.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Задание 7.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условия заданий

1. Найти особые точки системы. Определить их тип. Построить схематически фазовый портрет в окрестности каждой особой точки:

2. Найдя первый интеграл, изобразить фазовый портрет уравнения на плоскости :

3. Исследовать  устойчивость нулевого решения,  пользуясь критерием Рауса-Гурвица или Льенара-Шипара:

4. Исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева:

5. С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость все состояния равновесия системы:

6. Используя теорему Пуанкаре-Бендиксона, доказать существование цикла у системы:

7. Методом Пуанкаре найти приближенно периодические решения данного уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1

Найти особые точки системы. Определить их тип. Построить схематически фазовый портрет в окрестности каждой особой точки:

Решение:

Для начала, найдём особые точки системы, для чего решим следующую систему уравнений:

   (1)

Выразим из второго уравнения x:

        (2)                                              

Подставим x в первое уравнение:

По формулам Виета, решениями этого уравнения будут:

Подставив y₁ и y₂ в уравнение (2), получим:

В итоге получаем следующие решения системы (1):

Итак, особыми  будут точки: M₁(1,4), M₂(4,1).

Для того чтобы определить тип особых точек, составим для исходной системы матрицу Якоби:

1. Для точки  M₁(1,4) матрица A₁ имеет вид . Найдём собственные значения матрицы A₁:

Так как собственные значения матрицы A₁ положительны, то особая точка M₁(1,4) является точкой типа «неустойчивый узел».

Построим  фазовый портрет в окрестностях данной особой точки. Для этого найдём собственные векторы, соответствующие  полученным собственным значениям  матрицы A₁. Имеем:

Так как точка M₁(1,4) неустойчивый узел, то есть 0<λ₂<λ₁. По теореме 1.3.2[1], в направлении собственного вектора, соответствующего λ₂, проведем через точку M₁ прямую Р, а в направлении собственного вектора, соответствующего λ₁ – прямую Q. Оказывается, что все траектории, начинающиеся достаточно близко от точки M₁, асимптотически приближаются при к точке M₁ и имеют в этой точке касательную. При этом только две траектории входят в точку M₁ по касательной к прямой Q, а остальные – по касательной к прямой Р, как показано на рисунке:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для доказательства правильности рисунка, построим фазовый портрет с помощью математического пакета Maple (текст программы см. в приложениях):

2. Для точки M₂(4,1) матрица A₂ имеет вид . Найдём собственные значения матрицы A₂:

Так как собственные  значения матрицы A₂ положительны, то особая точка M₂(4,1) является точкой типа «седло».

Построим  фазовый портрет в окрестностях данной особой точки. Для этого найдём собственные векторы, соответствующие  полученным собственным значениям  матрицы A₂. Имеем:

Пусть Р –  прямая, проходящая через точку M₂(4,1) в направлении собственного вектора матрицы A₂, соответствующего отрицательному собственному значению λ₁, а Q – прямая, проходящая через точку M₂(4,1) в направлении собственного вектора матрицы A₂, соответствующего положительному собственному значению λ₂. Тогда, по теореме 1.3.1[1], существуют ровно две траектории и исходной системы, которые при  асимптотически приближаются  к точке M₂(4,1). Эти две траектории вместе с точкой О образуют непрерывно дифференцируемую кривую, касающуюся прямой Р в точке M₂(4,1). Точно также существуют ровно две траектории и , которые при асимптотически приближаются к точке M₂(4,1), касаясь при этом прямой Q. Остальные траектории в окрестности точки M₂(4,1) ведут себя так, как показано на рисунке. Траектории и – устойчивые усы седла, траектории и – неустойчивые усы седла.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для доказательства правильности рисунка, построим фазовый портрет с помощью  математического пакета Maple(текст программы см. в приложениях):

Задание 2

Найдя первый интеграл, изобразить фазовый портрет  уравнения на плоскости :

Решение:

Для того чтобы найти первый интеграл, умножим уравнение на :

Тогда этому  уравнению можно придать следующий  вид:

Таким образом, первый интеграл исходного уравнения  имеет вид:

Исследуем функцию 

U(x) – чётная;

Найдём нули (точки покоя):

Найдём минимум и максимум, для этого исследуем :

Критические точки:

Функция U(x) возрастает, когда <0: при , а убывает, когда >0: при .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изображение фазового портрета на плоскости  приведено ниже:

 

 

             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для доказательства правильности рисунка, построим фазовый портрет с помощью математического пакета Maple(текст программы см. в приложениях):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверим  асинхронность движения. Для этого  нужно проследить связь между  E и T. По формуле:

m=1, а x_max и x_min можно найти с помощью уравнения:

Подставим U(x):

Выразим x через E:

Пусть , тогда:

; выберем t, меньшее по модулю, тогда , а . Тогда T будет равен:

Возьмём 5 значений E от 0, до 0.125: 0.025, 0.05, 0.075, 0.1, 0.125.

E=0.025

> int((sqrt(2))/(sqrt(0.025-(x^2)/2+(x^4)/2)),x=-(sqrt(1-sqrt(1-8*0.025)/2))..sqrt(1-sqrt(1-8*0.025)/2));

 

_5.282769397

_E=0.05

 

> int((sqrt(2))/(sqrt(0.05-(x^2)/2+(x^4)/2)),x=-(sqrt(1-sqrt(1-8*0.05)/2))..sqrt(1-sqrt(1-8*0.05)/2));

_6.898717603

_E=0.075

> int((sqrt(2))/(sqrt(0.075-(x^2)/2+(x^4)/2)),x=-(sqrt(1-sqrt(1-8*0.075)/2))..sqrt(1-sqrt(1-8*0.075)/2));

 

_7.405048485

_E=0.1

> int((sqrt(2))/(sqrt(0.1-(x^2)/2+(x^4)/2)),x=-(sqrt(1-sqrt(1-8*0.1)/2))..sqrt(1-sqrt(1-8*0.1)/2));

 

_8.301433609

_E=0.125

> int((sqrt(2))/(sqrt(0.125-(x^2)/2+(x^4)/2)),x=-(sqrt(1-sqrt(1-8*0.125)/2))..sqrt(1-sqrt(1-8*0.125)/2));

 

_9.481965216

 

_{Для наглядности построим таблицу:}

Е	0.025	0.05	0.075	0.1	0.125
Т(Е)	5.282769397	6.898717603	7.405048485	8.301433609	9.481965216

 

_{График  зависимости T от E:}

_{Как видно, при разных E период разный, значит движение асинхронное.}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3

3. Исследовать  устойчивость нулевого решения,  пользуясь критерием Рауса-Гурвица или Льенара-Шипара:

Решение:

Составим  характеристическое уравнение:

       (1)

где

Матрица Гурвица  для данного полинома имеет вид:

Так как для  полинома (1) все его коэффициенты положительны, то для исследования устойчивости воспользуемся критерием Льенара-Шипара, согласно которому, для того, чтобы полином с действительными коэффициентами был полиномом Гурвица (то есть, чтобы все его нули имели отрицательные вещественные части), необходимо и достаточно, чтобы все его коэффициенты были положительны, и все диагональные миноры нечетного порядка матрицы Гурвица были положительны (см. теорему 2.3.4[1]).

Вычислим  теперь миноры нечетного порядка:

Все коэффициенты полинома (1) положительны, но не выполняется  условие, что все диагональные миноры нечётного порядка больше нуля ( ). Следовательно, по критерию Льенара-Шипара, полином (1) не является полиномом Гурвица, то есть не все его корни имеют отрицательные вещественные части. Это противоречит теореме о том, что линейная однородная система с постоянными коэффициентами асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы имеют отрицательные вещественные части. Значит, нулевое решение не является асимптотически устойчивым (см. теорему 2.3.1[1]).

Чтобы убедиться  в правильности наших выводов, найдём корни полинома (1) с помощью математического пакета Maple:

>

 

Как видно  выше, получили два собственных значения с положительной вещественной частью, значит полином (1) не является полиномом Гурвица (см. определение 2.3.1[1]). Также, согласно теореме о том, что если хотя бы одно собственное значение матрицы линейной однородной системы с постоянными коэффициентами имеет положительную вещественную часть, то эта система вполне неустойчива (все ее решения неустойчивы) (см. теорему 2.3.1[1]), заключаем, что нулевое решение неустойчиво.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4

4. Исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева:

Решение:

Здесь, очевидно, x=0, y=0 – положение равновесия системы. Для исследования его на устойчивость, рассмотрим функцию . Производная этой функции в силу рассматриваемой системы будет следующей:

Подберём  коэффициенты a и b так, чтобы скобка была всегда положительна. Пусть , а , тогда функция и её производная примут следующий вид:

Как видно, при любых x и y; в выделенной области. Значит, выполнены все условия теоремы Четаева (см. теорему 2.4.4[1]), и, следовательно, состояние равновесия неустойчиво по Ляпунову.

 

                                                                                                         

Построенный ниже рисунок с помощью математического пакета Maple подтверждает неустойчивость:

 

 

 

 

 

 

> with(DEtools):with(plots):

 

> DEplot([diff(x(t),t)=-x(t)*y(t)^4,diff(y(t),t)=x(t)^4*y(t)], [x(t), y(t)], t = 0 ..1000, x = -0.15 .. 0.5, y = -.1 ..0.1, [[x(0) = -0.1, y(0) = 0.1]], arrows = MEDIUM, linecolour = black, stepsize = 0.4e-1);

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 5

5. С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость все состояния равновесия системы:

Решение:

Для нахождения состояний равновесия решим систему  уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе:

Подставим y в первое уравнение: