Дифференциальные уравнения

В итоге, получим:

Таким образом, система имеет два  состояния равновесия: M₁(0,0) и M₂(1,2).

Составим матрицу Якоби системы:

1. Для точки M₁(0,0) матрица Якоби имеет вид:

Найдём собственные значения матрицы:

Так как один из корней характеристического уравнения имеет положительную действительную часть, то по теореме Ляпунова о неустойчивости по первому приближению (см. теорему 2.5.2[1]) состояние равновесия в точке M₁(0,0) исходной системы неустойчиво по Ляпунову.

Для доказательства с помощью математического пакета Maple построим фазовый портрет рассматриваемой системы в окрестности начала координат:

> with(DEtools): DEplot([diff(x(t), t)=y(t)-x(t)^2-x(t), diff(y(t), t)=3*x(t)-x(t)^2-y(t)], [x(t), y(t)], t=-10..10, [seq(seq([x(0)=(-1)^i*i/6,y(0)=(-1)^j*j/6],i=1..8),j=1..8),seq(seq([x(0)=(-1)^i*i/6,y(0)=(-1)^(j+1)*j/6],i=1..8),j=1..8)], scene = [x(t), y(t)], x=-0.5..0.5, y=-0.5..0.5,stepsize = 0.01, linecolor=BLACK, color=BLACK,arrows = SMALL);

2. Для точки M₂(1,2) матрица Якоби имеет вид:

Найдём собственные значения матрицы:

Так как все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть, то по теореме Ляпунова о устойчивости по первому приближению (см. теорему 2.5.1[1]) состояние равновесия в точке M₂(1,2) исходной системы асимптотически устойчиво по Ляпунову.

 

 

 

Для доказательства с помощью математического пакета Maple построим фазовый портрет рассматриваемой системы в окрестности точки M₂(1,2):

> with(DEtools): DEplot([diff(x(t), t)=y(t)-x(t)^2-x(t), diff(y(t), t)=3*x(t)-x(t)^2-y(t)], [x(t), y(t)], t=-10..10, [seq(seq([x(0)=1+(-1)^i*i/6,y(0)=2+(-1)^j*j/6],i=1..8),j=1..8),seq(seq([x(0)=1+(-1)^i*i/6,y(0)=2+(-1)^(j+1)*j/6],i=1..8),j=1..8)], scene = [x(t), y(t)], x=0.5..1.5, y=1.5..2.5,stepsize = 0.01, linecolor=BLACK, color=BLACK,arrows = SMALL);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 6

6. Используя теорему Пуанкаре-Бендиксона, доказать существование цикла у системы:

Решение:

Найдём положение  равновесия системы:

                         (1)

Сложив первое уравнение со вторым, получим:

Так как при  любых x и y , то уравнение будет верно только тогда, когда оба слагаемых будут равны нулю. Решим следующую систему уравнений:

Значит, x=0, y=0 – единственное положение равновесия системы (1).

Составим  матрицу Якоби системы (1):

Вычислим  Якобиан в точке покоя (0,0):

Найдём её собственные значения:

Так как вещественная часть всех корней больше нуля, то матрица антигурвицева.

Докажем, что  система (1) диссипативна. Для этого  составим матрицу её линейной части:

Найдём собственные  значения матрицы B:

Так как вещественная часть всех корней меньше нуля, то матрица  B – гурвицева.

Теперь покажем, что вектор-столбец  , координатами которого является нелинейная часть системы (1), ограничен.

Рассмотрим  функцию f(x,y), равную модулю вектора :

Исследуем функцию, где  , . Тогда

1. О.О.Ф.: .

2. Точка пересечения с осями одна: (0,0).

3. С помощью производной легко найти промежутки возрастания и убывания: на промежутке возрастает, а на убывает. Таким образом, точка с координатами – максимум ( ).

График этой функции, подтверждающий правильность нашего исследования, построен с помощью математического пакета Maple:

 

> plot(exp(-t)*sqrt(t), t, f, color = black);

 

Из исследования видно, что она ограничена, значит, ограничена и функция , а, следовательно, ограничен и вектор-столбец (это следует из ограниченности его модуля, функции ).

Получили, что  матрица линейной части системы (1) гурвицева, а нелинейная часть  этой системы ограничена. Тогда, по теореме о диссипативности системы [1, (2.8.1)], получаем, что исходная система (1) диссипативна по Левинсону.

Также мы выяснили, что исходная система (1) имеет единственное положение равновесия – , а все собственные значения матрицы Якоби этой системы при имеют положительные вещественные части.

Тогда, по теореме о существовании цикла у системы с единственным положением равновесия [1, (3.1.3)], получаем, что наша исходная система (1) имеет, по крайней мере, один цикл.

 

 

 

 

В доказательство полученного результата построим фазовый портрет системы (1), используя математический пакет  MAPLE:

> with(DEtools):

> Deqn:=[diff(x(t),t)-2*x(t)+(y(t))/3+x(t)*exp(-x^2(t)-y^2(t)),diff(y(t),t)=-9*x(t)+y(t)+y(t)*exp(-x^2(t)-y^2(t))]:

> Inits:=[[x(0)=0,y(0)=-2],[x(0)=0,y(0)=2]]:

> DEplot(Deqn,[x(t),y(t)],t=0..10*Pi,Inits,x=-1..1,y=-4..4,stepsize=0.1,linecolor=[GREEN,BLUE]);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 7

7. Методом Пуанкаре найти приближенно периодические решения данного уравнения:

Решение:

периодическое решение будем  искать в виде ряда по степеням малого параметра, то есть в виде

, тогда

Подставим полученные ряды в исходное уравнение:

Приравняем  коэффициенты при одинаковых степенях  параметра  в левой и правой частях последнего равенства:

 

 

…………………………………..

Как видно, существует два периодических решения: при  . Рассмотрим случай, когда .

Так как  , тогда уравнение примет вид:

Общее решение  этого уравнение не является периодичным, поэтому сразу будем искать частное:

Дважды продифференцировав, получим:

Подставив, получаем:

Найдём x₂, подставив x₁ и x₀ в :

Будем искать решение в виде:

Дважды продифференцировав, получим:

Подставив, получаем:

Итак, приближенное периодическое решение имеет  вид:

          

.

 

Используя пакет MathCAD, сравним полученное решение  с решением исходного уравнения методом Рунеге-Кугга на периоде :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим  случай, когда  .

Так как  , тогда уравнение примет вид:

Общее решение  этого уравнение не является периодичным, поэтому сразу будем искать частное:

Дважды продифференцировав, получим:

Подставив, получаем:

Найдём x₂, подставив x₁ и x₀ в :

Будем искать решение в виде:

Дважды продифференцировав, получим:

Подставив, получаем:

Итак, приближенное периодическое решение имеет  вид:

          

.

 

Используя пакет MathCAD, сравним полученное решение  с решением исходного уравнения  методом Рунеге-Кугга на периоде  :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложения

Программы, приводимые ниже, написаны с использованием математического  пакета Maple.

Приложение к заданию № 1.

> with(DEtools):

 DEplot([diff(x(t),t)=1-y(t)+x(t)*(y(t)-1), diff(y(t),t)=x(t)*y(t)-4], [x(t),y(t)], t=-5..5, x=0.9..1.1, y=3.9..4.1,[seq(seq([x(0)=1+(-1)^i*i/40,y(0)=4+(-1)^k*k/40],i=1..4),k=1..4)], arrows=small, stepsize=0.1, color=black, linecolor=black);#точка(1,4)

 

 

> with(DEtools):

DEplot([diff(x(t),t)=1-y(t)+x(t)*(y(t)-1), diff(y(t),t)=x(t)*y(t)-4], [x(t),y(t)], t=-5..5, x=3.9..4.1, y=0.9..1.1,[seq(seq([x(0)=4+(-1)^i*i/40,y(0)=1+(-1)^k*k/40],i=1..4),k=1..4)], arrows=small, stepsize=0.1, color=black, linecolor=black);#точка(4,1)

 

 

 

Приложение к заданию № 2.

> plot((x^2)/2-(1/2)*x^4, x=-2..2, color=black);

with(DEtools):

DEplot([diff(x(t),t)=y(t), diff(y(t),t)=2*(x(t))^3-x(t)], [x(t), y(t)], t=-10..10,[seq(seq([x(0)=(-1)^i*i/3, y(0)=(-1)^k*k/3], i=1..3), k=1..3), seq(seq([x(0)=(-1)^(i+1)*i/3, y(0)=(-1)^(k+1)*k/3], i=1..3), k=1..3), seq(seq([x(0)=(-1)^i*i, y(0)=(-1)^k*k], i=1..3), k=1..3), seq(seq([x(0)=(-1)^(i+1)*i, y(0)=(-1)^(k+1)*k], i=1..3), k=1..3)], x=-2..2, y = -3..3, color=black, linecolor=black, stepsize = 0.1, arrows=small);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

[1]Буркин И.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Методы интегрирования. Теория устойчивости. Теория колебаний. Тула: ТулГУ, 2004.

[2]Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 448 с.

[3] Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1979. - 128 с.