Задачи и приёмы суммирования

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского»

Балашовский институт (филиал)

 

 

Факультет математики, экономики и информатики

Кафедра прикладной информатики

 

 

 

 

ЗАДАЧИ И ПРИЁМЫ СУММИРОВАНИЯ

 

                                               Курсовая работа

 

 

                                                                                          

                                                                                       Выполнила:

                                                                                      студентка II курса

                                                                                       очной формы обучения

                                                                                      Шапошникова Светлана Александровна

                                                                                               

                                                                                        Научный руководитель:

                                                                                        преподаватель

                                                                                         Белокобыльский Александр Сергеевич

                                                                                           ________________________(подпись)

 

 

 

 

 

 

Балашов – 2013

Содержание.

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….4.                                                                    

Глава 1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ СУММИРОВАНИЯ……………………….....5.

1.1 Связь  между задачами суммирования  и нахождения функции по заданной разности между её значениями в двух соседних точках из множества равноотстоящих значений аргумента…………………………………………....5.

1.2 Случаи элементарного суммирования……………………………………….5.

Глава 2.МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ И ОБЛАСТЬ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ…………………………………………………………….…….9.

2.1 Разложение дроби на простейшие………………………………………….10.

2.2 Обращение ряда……………………………………………………………..12.

Глава 3.ПРАВИЛА И ЗАКОНЫ СУММИРОВАНИЯ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ

……………………………………………………………………………………13.

3.1 Правила и законы суммирования…………………………………………..13.

3.2 Использование свойств конечных сумм, для получения модификации неравенств Чебышёва…………………………………………………………...14.

Глава 4.ПРИЁМЫ СУММИРОВАНИЯ ОСНОВАННЫЕ НА СВОЙСТВАХ ПРОГРЕССИИ…………………………………………………………………..16.

4.1 Арифметическая  прогрессия и связанные с ней приёмы суммирования

……………………………………………………………………………………16.

4.2 Геометрическая  прогрессия и связанные с ней приёмы суммирования

……………………………………………………………………………………18.

4.3 Приёмы  суммирования основанные на использовании  двух различных прогрессий……………………………………………………………………….19.

Глава 5.ФОРМУЛЫ СУММИРОВАНИЯ ВЫВОДИМЫЕ МЕТОДОМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ ………………………………………….21.

Глава 6.СУММИРОВАНИЕ ЧЛЕНОВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЗАДАНЫХ РЕКУРРЕНТНЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ…………………………………..24.

6.1 Последовательность Фибоначчи…………………………………………...24.

Глава 7.ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА……………………………27.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….32.

Список литературы                        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Дискретная математика - совокупность математических дисциплин, изучающих свойства абстрактных дискретных объектов, т.е. свойства математических моделей объектов, процессов, зависимостей, существующих в реальном мире, которыми оперируют в различных областях знаний.

В дискретной математике широко распространены задачи, где по мере продвижения по этапам решения или этапам описанного в условии процесса, некоторая интересующая нас величина аккумулирует своё значение в виде суммы аналогичных значений, полученных на предыдущих этапах. Эти задачи могут быть отнесены к так называемым задачам суммирования, точная постановка которых будет указана ниже.

Целью данной работы является рассмотрение и исследование особенностей приёмов, и методов решения задач суммирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ СУММИРОВАНИЯ

1.1 Связь между задачами суммирования  и нахождения функции по заданной  разности между её значениями  в двух соседних точках из  множества равноотстоящих значений  аргумента.

Эта глава посвящена одной важной задаче теории конечных разностей – задаче суммирования функций. Задача эта ставится так. Нам дана некоторая функция f(x). Найти в конечном виде точно или приближённо, сумму

 

при фиксированных x0 и h и большом n, если известны некоторые аналитические свойства f(x).

Трудность этой задачи состоит не в том, чтобы найти значение этой суммы при каждом фиксированном п, а в том, чтобы исследовать её поведение как функции от п при п, неограниченно растущих, как часто говорят, исследовать на асимптотическое поведение Sn.

В дальнейшем для удобства всегда будем считать x0=0, h=1. Это, естественно, не повлияет на общность рассуждений, так как, положив , получим, что.

Задача, грубо говоря состоит из нахождения суммы

 

как функции от п. Можно показать, что эта задача может быть сведена к такой задаче: дана функция , найти функцию F(x), такую что .

Действительно, пусть нашли F(x), такую, что

 , [по-прежнему ], тогда

,  F(2)-F(1)=, … ,         

Складывая эти равенства, получим

                                       (1)

 а это и есть решение задачи о суммировании функции

Полной эквивалентности этих задач нет, так как Sn определена лишь для целых значений п, но если умеем найти не только Sп, а и сумму

, при любом х, то  можем найти и F(x) следующим образом: при . Найдём

 

 

т.е F(x), определённая таким образом, будет решением уравнения Формула (1) есть прямой аналог формулы Ньютона-Лейбница, выражающей связь между первообразной и определённым интегралом.

1.2 Случаи элементарного суммирования.

Если функция является какой-то комбинацией элементарных функций, то можно по аналогии с интегральным исчислением пытаться привести задачу суммирования функции к суммированию, т.е. к суммированию функций, суммы для которых известны.

Продемонстрируем этот метод на небольшом числе примеров, так как метод элементарного суммирования в теории конечных разностей играет значительно меньшую роль.

Из определения конечной разности

 с помощью вычислений легко получим формулы:

1)

2)

3)

4).

С помощью преобразований, легко получаем формулы:

1)Геометрической прогрессией

 

2) Методом математической индукции

 

3)

 

4)

 

Таких формул можно было бы привести очень много, но уже из приведённых видно, что формулы являются громоздкими и не особо удобными в обращении.

Большую роль в теории конечных разностей играет уже известная обобщённая степень

(k – целое). Для обобщённой степени, формулы суммирования выглядят очень просто. Как уже знаем,                                                          (2) поэтому

 

Аналогично можно определить обобщённые отрицательные степени (k-целое положительное число):

  

Найдём : 

 

(5)

Отсюда получим соответствующую формулу

 

Из приёмов элементарного суммирования отметим преобразование Абеля-аналог интегрирования по частям. Преобразованием Абеля называется тождество

 

 

Для доказательства этого тождества заметим, что или

 

Суммируя от т до п, получаем (7).

С помощью преобразования Абеля можно просуммировать, например, функцию Положим тогда , поэтому

 

 

 

Пока мы действовали по аналогии с интегральным исчислением, но эта аналогия прекращается, как только мы сталкиваемся со случаем, когда среди элементарных функций нельзя найти такую функцию F(x), чтобы

Глава 2.МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ И ОБЛАСТЬ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ

Метод неопределённых коэффициентов ― это метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций.

Рассмотрим сумму каждое слагаемое которой, является многочленом натуральной переменной со степенью не выше чем k, причём количество слагаемых задаётся выражением в виде многочлена той же самой натуральной переменной k, со степенью не выше чем s. Очевидно, что в результате такая сумма даёт многочлен переменной п, степень которой не превосходит числа k+s.

Пример: В сумме всякое слагаемое есть многочлен п не выше чем 2, а количество слагаемых той же переменной в степени не выше чем 1, тогда сумма представляет собой многочлен степени не выше чем k+s, т.е. 3. А потому

, где A, B, C, D- неопределённые коэффициенты.

Потребуем, чтобы набор коэффициентов A, B, C, D при любом натуральном k обеспечивал выполнение равенств вида: M(k)-M(k-1) =k2, где M(n)=An3+Bn2+Cn+D,

Если k=1, M(1) - M(0) =12         

Если k=2, M(2) - M(1) =22          +

Если k=3, M(3) - M(2) =32

Если k=n, M(n)- M(n-1) =n2

M(n)- M(0) =Sn, Sn = M(n)-DD=0

Подробно распишем условие M(k)- M(k-1) =k2:

Ak3+Bk2+Ck - A(k-1)3-B(k-1)2-C(k-1)=k2

   Ak3 + Bk2 + Ck

- A(k3 - 3k2 + 3k-1)-

-B(        k2 - 2k+1)-

-C(                  k-1)= k2

(B+3A-B) k2+(C - 3A + 2B - C)k + A – B + C = k2

3Ak2- (3A + 2B)k + A – B + C = k2, так как последнее равенство является тождеством двух многочленов, то у них должны соответственно равняться коэффициенты при каждой из них. Тогда А, В, С подчиняются системе:

     

Делаем подстановку для нахождения суммы: 

 

 

 

2.1 Разложение дроби на простейшие

Классическим примером применения метода неопределённых коэффициентов является разложение правильной рациональной дроби в комплексной или вещественной области на элементарные дроби.

Пусть P и Q — многочлены с комплексными коэффициентами, причём степень многочлена P меньше степени многочлена Q. Будем полагать, что степень многочлена Q равна n, коэффициент при старшем члене многочлена Q равен 1, а zk, ― различные корни многочлена Q с кратностями , соответственно. Отсюда имеем

 

.

Функция представима, и притом единственным образом, в виде суммы элементарных дробей

 

где ― неизвестные пока комплексные числа (их число равно n). Для их отыскания обе части равенства приводят к общему знаменателю. После его отбрасывания и приведения в правой части подобных членов получается равенство, которое сводится к системе линейных уравнений относительно .

Примечание. Нахождение коэффициентов упрощается, если Q имеет только некратные корни zk, k=1,…,n, т.е. все и

 

После умножения на последнего равенства и подстановки непосредственно получаем значение соответствующего коэффициента

Пример: Используем метод разложения на простейшие. Разложим функцию на простейшие слагаемые:  
 
 
          Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях х, стоящие слева и справа должны совпадать  
 
 
Решая эту систему, находим:  
 

2.2 Обращение ряда

Если функция , не равная нулю при x=0 разложена в ряд Маклорена: