Задачи и приёмы суммирования

 

то существует ряд Маклорена противоположной функции:

 

Коэффициенты этого ряда можно найти, перемножив эти два равенства и применив метод неопределённых коэффициентов. Получится бесконечная треугольная система линейных уравнений, из которой последовательно найдутся искомые коэффициенты.

Аналогичным, но более громоздким, образом можно найти коэффициенты ряда обратной функции:

 

При этом используется соотношение , то есть весь ряд для подставляется вместо x в ряд для g(x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 3.ПРАВИЛА И ЗАКОНЫ СУММИРОВАНИЯ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ

3.1 Правила и законы суммирования

Существует 3 основных закона суммирования:

1.Распределительный  закон 

 

2.Сочетательный закон

 

                        3.Переместительный закон

 

                         где p(k) – некая перестановка множества k.

Для любых множеств К и  К’ если они конечны и входят     в состав натурального ряда

 

Справедливо правило изменения порядка суммирования

 

Частный случай правила изменения порядка суммирования 

 

Общий распределительный закон сложения.

 

Возможна ситуация когда внутренний индекс суммирования принимает значение, зависящее от внешнего индекса суммирования

 

Данное равенство будет справедливым в том случае, если выполнено условие:

 

В частности простейшая реализация этого равенства возможна при  выполнении условия:

 

3.2 Использование свойств конечных  сумм, для получения модификации  неравенств Чебышёва

  Одно из основных неравенств для монотонных последовательностей или функций. В случае конечных последовательностей        

    

 оно имеет вид:

 

 

         

 Пример: Пусть даны две последовательности чисел{an}:a1,a2,…, an и {bn}:b1, b2, …, bn. Рассмотрим суммы следующего вида:

 

Сложив их, получим:

 

 

 

 

 

 

В результате получаем:

 

Пусть теперь последовательности и являются монотонными. Если характер монотонности у этих последовательностей одинаков, то, а вместе с тем .

 

Если характер монотонности у этих последовательностей различен, то, а вместе с тем .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 4.ПРИЁМЫ СУММИРОВАНИЯ ОСНОВАННЫЕ НА СВОЙСТВАХ ПРОГРЕССИИ

4.1 Арифметическая прогрессия и связанные с ней приёмы суммирования

 

 

 

Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда для любых натуральных чисел n, p, k, t соответствует равенство

 , 

 

Пример: Докажите, что для всякой арифметической прогрессии с положительными членами справедливо равенство:

 

Левая часть:

 

 

 

 

 

Пример 2:

 

Левая часть:

 

 

 

 

 

Пример 3:

 

 

d - разность прогрессии, р - количество множителей в каждом знаменателе.

 

 

 

и так далее.

 

 

Суммируем левые и правые части записанных равенств и получаем:

 

 

4.2 Геометрическая прогрессия и связанные с ней приёмы суммирования

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле: , ,

 

 

 

 

 

Характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Если справедливо, что для любого

 

, то есть каждый член равен среднему геометрическому равноудаленных от него членов геометрической прогрессии с неотрицательными элементами. Для прогрессий общего вида свойство выглядит так:

 то

 

 

4.3 Приёмы суммирования основанные  на использовании двух различных прогрессий

1) Сумма парных произведений элементов двух арифметических прогрессий с одинаковыми номерами:

Пусть даны две арифметические прогрессии {ап} и {вп}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n-количество слагаемых.

Sn=2*3+6*5+10*7+…+(2+4k)(3+2k)

{an}:an=1+4(n-1), bn=3+2(n-1); (2+4(n-1))=2+4k, n-1=k, n=k+1; 3+2k=3+2(n-1), k=n-1, n=k+1

 

 

 

 

{ап} - арифметическая прогрессия

{вп} - геометрическая прогрессия

2) Введём  формулу суммы парных произведений членов арифметической и геометрической прогрессий с одинаковыми номерами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 5.ФОРМУЛЫ СУММИРОВАНИЯ ВЫВОДИМЫЕ МЕТОДОМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

Метод математической индукции называется так потому, что доказательство сложных формул, теорем или произвольных утверждений по данному методу основано на поэтапном выводе этих формул и теорем из простейших случаев этих же формул и теорем путем пошаговой, последовательной их проверки для всех предыдущих случаев.

Пример1: Дана сумма первых членов арифметической прогрессии методом математической индукции 
нужно доказать равенство суммы первых натуральных чисел от 1 до n:

 

Доказательство при n=1 равенство справедливо

 

Предположим, что равенство справедливо для номера

 n-1

 

 

Докажем его истинность для номера n

 

 

Здесь мы в квадратные скобки подставили выражение из предыдущего равенства, затем раскрыли скобки и привели подобные, и снова разложили на множители. Получилось выражение того же вида, в котором n-1 заменено на n.

Что и требовалось доказать.

Пример 2: Докажем, что для любого справедливы:

 

 

 

 

 

2.Предположим, что 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3:

 

 

 

 

Дополнительно установим количество k всех членов арифметической прогрессии, входящих в сумму в скобках:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 6.СУММИРОВАНИЕ ЧЛЕНОВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЗАДАННЫХ РЕКУРРЕНТНЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ

Данный метод предложен для вычисления сумм вида

 

где функции Fk(x) связаны рекуррентным соотношением

,

для некоторых функций α(n,x) и β(n,x).

Определим вспомогательные переменные yk следующими соотношениями:

 

 

 

Если разрешить эту систему относительно ck, и подставить полученные выражения в исходную формулу для f(x), то после сокращения получим:

 

6.1 Последовательность Фибоначчи

Числа Фибоначчи  или последовательность Фибоначчи - числовая последовательность, обладающая рядом свойств. Например, сумма двух соседних чисел последовательности дает значение следующего за ними (например, 1+1=2; 2+3=5 и т.д.), что подтверждает существование так называемых коэффициентов Фибоначчи, т.е. постоянных соотношений.

Последовательность Фибоначчи начинается так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

Последовательность Фибоначчи является решение соотношения

 

 

 

 

 

Из этого следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Опираясь на определение чисел Фибоначчи, бином Ньютона, метод математической индукции, можно установить выполнение для её членов следующие утверждения:

3. +
7. =.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 7.ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА

Формула Эйлера имеет вид:

 

 

 

 

Данная формула позволяет либо точно вычислять, либо точное значение:

 

Когда функция обладает всеми необходимыми производными, вплоть до порядка включительно, либо находить приближённые для этой функции с приемлемой точностью за счётом отбрасывания в формуле Эйлера остаточного члена (будет показано, что при достаточно большом т , среднее значение остаточного члена близко к 0).

{x}т.е. наибольшее целое число не превосходящее х при этом вычитается из самого х.

{4,1}=0,1; {-3,7}= -3,7-(-4)=0,3

Замечание: формула Эйлера является точным равенством, когда функция f обладает всеми производными вплоть до порядка т для значений

.

Если же производная отсутствует где либо на отрезке , можно оценить величину остаточного члена и вычислить левую часть приближённо.

Доказательство: сначала покажем, что формула Эйлера дана при

 

Доказательство методом математической индукции по т.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формула Эйлера верна для

Предположим, что для формула Эйлера справедлива при

Докажем, что тогда формула Эйлера верна при

Доказать справедливость формулы Эйлера при означает, показать что, достаточно доказать, что из

 

 

 

 

 

Покажем, что (

Ранее было доказано

 

 

 

 

 

 

I.В последнем равенстве число n – нечётно:

 

Такое равенство очевидно будет верным, если

Это так, согласно определению многочленов Бернулли, где

 

Сочетание с рекуррентным соотношением для чисел Бернулли, согласно которому

 

II. n-чётно, тогда

Тогда : , но в I.

Равенство верно, а с ним верна и формула Эйлера, а с ним и в случае

 .

Легко показать , то формула Эйлера верна при

Достаточно сделать замену переменной

Тем самым формула Эйлера будет представлять собой верное равенство на отрезках единичной длины:

 

Остаётся лишь сложить левую и правую части этих равенств, соответственно получая при этом общую формулу Эйлера.

Замечание: Остаточный член формулы Эйлера Rm можно переписать в виде:

При этом .

Аналогично равенство 0 будет достигаться на любом другом единичном отрезке с целыми концами. Потому На любом отрезке имеет значение равное 0.

А значит величина остаточного члена Rm максимальна, что позволяет его отбрасыванием в формулу Эйлера получать приближённые результаты.

Проверим, действует ли формула Эйлера:

 

 

m=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе приведены различные подходы к решению задач суммирования как общего, так и частного характера. Данные подходы проиллюстрированы примерами и подробными доказательствами основных формул.

Рассматриваются задачи суммирования не только как самостоятельные, но и в ситуации, когда они являются этапом в решении более серьёзных комплексов задач.

Применение указанных методов решения не только ускоряет процесс решения основной задачи, делают его более компактным и наглядным, но и позволяет зачастую обнаружить, по ходу решения основной задачи, как принципиально новые ходы в развитии решения, так и новые элементы взаимосвязи с другими задачами.

Последний факт даёт возможность расширить сферу применения результатов, полученных при решении основной задачи, тогда как источником появления такой возможности явилось использование приёмов суммирования.

Другая существенная выгода от их использования, это снижение количества стандартных шагов при реализации алгоритма.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Вересова Е.Е., Денисова Н.С., Практикум по решению математических задач, Просвещение -   1979, 238 с.
2. Гельфонд А.О., Исчисление конечных разностей, Государственное издательство технико-теоритической литературы, Москва – 1952, 478 с.
3. Грэхем Р., Кнут Д., Поташник О., Конкретная математика, Москва «Мир» - 1998, 703 с.
4. Иванов Б.Н., Дискретная математика, Москва «Известия» - 2011.
5. Поздняков С.Н., Рыбин С.В., Дискретная математика, Академия – 2008.