Инверсия и ее применение к решению задач элементарной геометрии

Костанайский  государственный педагогический институт

Факультет заочного обучения

Кафедра высшей математики

 

 

 

Наурзалинова  Акмарал Асылбековна

Специальность 5В010900 «Математика», 1 курс

Зачетная  книжка № 803612

Дисциплина  «Аналитическая геометрия »

 

Тема:

Инверсия и  ее применение

к решению задач 

элементарной  геометрии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                             Проверил:  Утина Р.К.

 

 

 

 

 

Дата выполнения – 2.05.2013.

Дата подачи на проверку - 7.05.2013

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание  работы

1. Введение. _________________________________________________3
2. Определение инверсии.______________________________________4
3. Свойства инверсии и построение._____________________________5
4. Окружность и задача Аполлония.______________________________12
5. Применение инверсии к решению

задач на построение и доказательство.__________________________16

     6.Задача Аполлония ____________________________________________21

7Заключение.__________________________________________________30

8Литература.__________________________________________________ 31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

       В геометрии основную роль играют различные преобразования фигур. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые преобразуются в прямые, а окружности – в окружности. Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности и наоборот. Такой подход позволяет дать в применении к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения. Это, прежде всего, относится к задачам на построение и к теории пучков окружностей.

Применение  инверсии позволяет получить красивые и сравнительно простые решения  задач элементарной геометрии. Цель курсовой работы – изучить основные свойства инверсии, рассмотреть и решить методом инверсии некоторые трудные задачи элементарной геометрии. Этот метод является мощнейшим среди методов решения задач на построение, которые могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника, ведь ни один вид задач не дает, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащихся как геометрические задачи на построение.

 Мною изучены основные свойства инверсии, рассмотрены решения некоторых задач на построение с помощью метода инверсии. Так же особое внимание в работе уделено окружности Аполлония и задаче Аполлония

        В первой главе подробно изучается преобразование инверсии: рассматриваются основные свойства инверсии. Во второй главе рассматривается применение инверсии к решению задач на построение, отдельно рассматривается задача Аполлония и вспомогательные задачи, применяемые к решению этой задачи.

        В конце второй главы в работе  представлено приложение, в котором  предложено решение некоторых  задач, решаемых с помощью инверсии.

Работа включает в себя также введение, заключение и список используемой литературы.

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Определение инверсии

       Рассмотрим на плоскости окружность ω с центром О и радиусом R и произвольную точкуА₁, отличную от центра О. Дадим следующее определение.

      Определение. Точка А₂  называется симметричной точке А₁ относительно окружности ω с центром О и радиусом κ , если точка А₂ лежит на луче ОА₁ и ОА₁     ∙ ОА₂ = R²

Из определения  непосредственно следуют следующие  утверждения.

1.Для каждой точки плоскости,  кроме центра  O,  существует единственная точка,   симметричная   ей   относительно    окружности  ω.

2.Для центра O симметричной точки не существует.

3.Если точка A₂  симметрична точке A₁ относительно окружности ω, то и точка A₁ на симметрична точке A₂ относительно окружности ω.

4.Каждая  точка, лежащая на окружности ω, симметрична сама себе.

5.Если A₁ и A₂ — различные симметричные точки, то одна из них лежит внутри окружности ω, а другая —снаружи.

     Теперь можно рассмотреть отображение плоскости на себя, которое переводит любую точку, кроме центра O, в точку, симметричную ей относительно окружности ω. Это преобразование и называется инверсией плоскости относительно окружности ω. Вопрос о судьбе центра окружности O оставим пока открытым. Будем рассматривать плоскость с выколотой точкой O. На такой «проколотой плоскости» инверсия полностью и однозначно определена для всех точек.

    Наглядно представить себе инверсию можно как результат «выворачивания» плоскости через окружность ω. Все точки окружности инверсии остаются на месте, все точки, находившиеся внутри окружности ω, оказываются снаружи, а все точки, располагавшиеся снаружи окружности, попадают внутрь.

Если точки A₁ и A₂ меняются при этом местами, то по определению симметричных   точек OA₁• OA₂ = R², то есть OA₂ =.

     Значит, чем больше величина OA₁, тем меньше величина OA₂ и наоборот. Чем ближе точка расположена к центру инверсии, тем дальше её образ от этого центра. Если придвигать точку A₁ всё ближе и ближе к центру O, тем самым приближая величину OA₁ к нулю,то величина OA₂ будет неограниченно возрастать и, в конце концов, точка A₂ «уйдёт в бесконечность» (рис. 2).

Уместно также пояснить, почему мы называем точки A₁  и A₂  симметричными.  Для этого рассмотрим такую точку A₁, что OA₁ мало отличается от R, то есть точку, лежащую близко к окружности инверсии. Её образ A₂ также лежит недалеко от окружности инверсии, но по другую сторону. Если при этом сделать радиус R очень большим (как говорят, достаточно большим), чтобы видимая часть окружности ω стала весьма похожей на прямую (так же как видимая нами часть земной поверхности весьма похожа на плоскость), то точки A₁ и A₂ станут «весьма похожи» на точки, симметричные относительно этой «почти прямой» (рис.3).

 

Ограничимся пока этими расплывчатыми рассуждениями, а в дальнейшем сформулируем и докажем ряд строгих утверждений, придающих смысл словам, взятым в кавычки.

1. Рассмотрим на координатной плоскости точку A₁( x ₁, y ₁) и окружность ω: x² + y² = R². Найдите координаты точки A₂, симметричной точке A₁ относительно окружности ω.

 

Рис.3

2.Свойства инверсии и построение.

       Образы прямых и окружностей при инверсии. Согласно определению инверсии, каждый луч с началом в центре O инверсии отображается этой инверсией на себя. Поэтому прямая ,проходящая через центр О инверсии, отображается на себя. Очевидно, также, что окружность радиуса ОМ, концентричная окружности ω инверсии, переходит в концентричную ей окружность радиуса ОМ^'. Найдем образ окружности γ содержащей центр инверсии (рис.4).Построим образ A^' конца A диаметра OA окружности γ и через A^' проведем прямую  l 

Рис.4

перпендикулярно OA.

   Пусть M —произвольная точка окружности γ  (M ≠ O) и прямая OM пересекает l в точке N. Из подобия прямоугольных треугольников OAM и OA^'N имеем: OA:OM=ON:OA^' откуда OM · ON =OA · OA^' = R² Следовательно, точка N есть образ точки M и обратно. Это значит, что окружность γ и прямая l соответствуют друг другу при инверсии относительно окружности ω^/ Итак, образом окружности, содержащей центр инверсии, является прямая,

перпендикулярная  линии центров этой окружности и  окружности инверсии. Образом прямой, не содержащей центр инверсии, является окружность, проходящая через центр  инверсии. Ее диаметром является отрезок OA, где A—образ основания перпендикуляра, опущенного из центра инверсии на данную прямую. Пусть теперь данная окружность γ не проходит через центр инверсии (рис.5).Возьмем ее диаметр AB, принадлежащий линии центров окружностей ω и γ Если M^' —образ произвольной точки M Î γ и A^'.B^' —образы точек A,B, то OM · OM' = OA · OA^' = OB · OB^' = R² (R — радиус окружности ω).

Тогда

. Следовательно, D OMA =  DOM'A^' и DOMB = DOM^'B^', откуда Ð OMA = ÐOA^' M^' и ÐOMB = ÐOB'M^' ,и поэтому Ð BMM^' = Ð M^' B^' A^'. Так как сумма трех углов при вершине M равна сумме углов ∆ A^' B^' M' и угол AMB прямой (опирается на диаметр AB) ,то угол A^' M'B^' также прямой. Отсюда следует, что если точка M пробегает окружность γ, то ее образ M^' пробегает окружность γ^' построенную на отрезке A'B^' как на диаметре.

 

 

 

 

 

Рис.5

 

Итак ,образом окружности γ не содержащей центр инверсии, является окружность γ также не содержащая центр инверсии. Центры окружностей ω, γ, γ^'  коллинеарны. Заметим, что центры S и Q окружностей γ и не γ^' соответствуют друг другу при этой инверсии.

Свойства  углов и расстояний.

      1.Сохранение величин углов при инверсии. Инверсия обладает замечательным свойством: она сохраняет величину угла между линиями. Угол между двумя линиями равен углу между их образами при инверсии. Это свойство называется свойством конформности инверсии.

      Так как угол между двумя кривыми по определению равен углу между касательными прямыми к этим кривым в их общей точке, то достаточно доказать сформулированное свойство конформности для двух прямых и их образов при инверсии. Если обе данные прямые проходят через центр инверсии, то доказывать нечего. Если одна из данных

прямых a и b содержит центр O инверсии, а другая его не содержит, то первая отображается на себя. а вторая - на окружность, проходящую через точку  О (рис. 6)

      Касательная к окружности в точке O параллельна прообразу окружности, откуда и следует равенство углов Ð (a, b) = Ð(a^', b^').Когда центр O инверсии не принадлежит ни одной из данных прямых a и b, то их образами будут две окружности a^' и b^' пересекающиеся в центре O инверсии и некоторой точке P^' - образе точки P пересечения данных прямых a и b.Углы между окружностями a^' и b^' в точках O и P^' равны. Поэтому можно рассматривать угол между касательными a^' Рис.7

и b^' в точке O. А эти касательные параллельны соответственно данным прямым a и b (рис.7).В частности, если две данные прямые, две окружности, прямая и окружность ортогональны, то иx образы при инверсии также ортогональны. Если две данные окружности касаются,то их образами будут или две касающиеся окружности, или касающиеся окружность и прямая, или две параллельные прямые.

       Изменение расстояний при инверсии.

      Если при инверсии с центром O и радиусом R точки A и B отображаются соответственно на точки A^' и B^', то OA · OA^' =OB · OB^' =R²,откуда   ^{.Поэтому} когда точки O,A,B неколлинеарны, треугольники OAB и OA^' B^' подобны. Их подобие дает: или A'B^' =AB  .Но OA^' = и поэтомуA^' B^' = AB ·.

     Эта зависимость остается в силе и в случае,когда точки O,A,B коллинеарны.

Построение. Из определения симметричных точек следует, что для любой точки плоскости (слова «кроме центра O» будем в дальнейшем пропускать) однозначно определена симметричная ей точка. Хотелось бы, однако, не просто быть уверенным в её существовании, но и уметь достаточно быстро её построить циркулем и линейкой. Самое известное построение вытекает из следующего утверждения.

Утверждение. Пусть точка A лежит снаружи окружности  ω с центром O, AM и AN — касательные к окружности ω, прямые OA и MN пересекаются в точке B. Тогда точки A и B симметричны относительно окружности ω (рис. 8).

Доказательство этого утверждения  совсем не сложно.

Рис.8 Рис. 9

 

     Из подобия прямоугольных треугольников OMA и OBM следует пропорция OM/OB = OA/OM, или OA· OB = OM², что и требовалось доказать.

Теперь можно построить точку, симметричную любой точке плоскости относительно данной окружности. Это легко сделать по заданной окружности как для точки A, расположенной внутри окружности, так и для точки B, расположенной вне её.

Однако несмотря на простоту построения оно, пожалуй, обладает определённым недостатком. Точки A и B названы симметричными относительно окружности, а вот само построение в каком-то смысле «несимметрично». Действительно, если точка A лежит снаружи окружности ω, то для построения надо сначала провести касательную, а потом опустить на прямую O A перпендикуляр из точки касания. Если же данная точка лежит внутри окружности, то построение ведётся в обратном порядке; сначала — перпендикуляр, потом —касательная.

Хотелось бы найти такое построение, чтобы оно действовало совершенно одинаковым образом, независимо от того, как именно расположена исходная точка: внутри или вне окружности. Это построение получается из следующей важной задачи.