Инверсия и ее применение к решению задач элементарной геометрии

Задача 6. Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей, проходящих через одну общую точку Р.

    Если принять  общую точку трех данных окружностей  ω_1, ω_2, ω₃ за центр инверсии, то эти окружности преобразуются в три прямые. Таким образом, задача сводится к построению окружности, касающейся трех построенных прямых. Искомая окружность – образ этой окружности в данной инверсии.

   Переходим к решению  задачи Аполлония в общем случае, причем остановимся лишь на  основных моментах этого решения,  не вникая в отдельные его  детали.

Решение, которое мы дадим, основано на предварительном решении  двух вспомогательных задач (представляющих предельный и частный случаи общей  задачи).

1-я вспомогательная задача: построить окружность, касающуюся  двух параллельных прямых и  данной окружности.

  Задача обычно решается  методом геометрических мест. Пусть  а и b – данные прямые, ω (О, r) – данная окружность (рис. 39).

Рис. 31

Из произвольной точки  А на прямой а опускаем перпендикуляр АВ на прямую b. Через середину С отрезка АВ проводим прямую с параллельно а. Cтроим окружность d (О, r + АС) (или радиуса │r - АС│). Отмечаем точку пересечения этой окружности с прямой с; это и будет центр искомой окружности.

Эта задача может иметь  до четырех различных решений.

2-я вспомогательная задача: построить окружность, касающуюся  трех данных окружностей, если  две из них взаимно касаются.

Эта задача решается методом  инверсии. Пусть ω₁ , ω_{2 ,} ω₃ – данные окружности, причем ω₁ и ω₂    касаются в точке Т (рис. 32).

 

Рис. 33.

     Примем точку Т за центр инверсии, а за радиус инверсии – произвольный отрезок (удобно избрать его так, чтобы базисная окружность ω пересекла окружности ω₁ и ω₂). При инверсии окружности ω₁ и ω₂ преобразуются в пару параллельных прямых ωω₁ и ωω₂, а окружность ω₃ – в некоторую окружность (или прямую) ωω₃. Построить окружность ωω, касающуюся прямых  и гґ2 и линии гґ3, мы умеем (см. 1-ю вспомогательную задачу). При инверсии этой окружности она преобразуется в окружность (или прямую) г, которая будет касаться трех данных окружностей г1, г2 и г3.

      Решение  задачи Аполлония в общем случае  сводится к этой 2-й вспомогательной  задаче. Мы воспользуемся для  этого приемом, иногда называемым  «методом расширения».

Для определенности рассмотрим тот случай, когда каждая из трех данных окружностей расположена  вне двух других (рис. 41).

 

Рис. 42

В других случаях решение  проводится аналогично.

Пусть ω₁ (О₁, r₁), ω₂ (О₂, r₁ r₂ r₁) и ω₃ (О₃, r₃) –данные окружности. Пусть, далее, прямая О₁ О₂ пересекает окружность ω₁ в точках А₁ и А ω₁, а окружность ω₂ – в точках А₂ и А ω₂. из четырех отрезков А₁ А₂, А ω₁А ω₂, А ω₁А₂ и А₁ А ω₂ выберем кратчайший. Пусть это будет отрезок А₁ А₂. обозначим через Т его середину. Увеличим радиусы всех данных окружностей на отрезок А₁ Т, то есть построим окружности ωω₁ (О₁, r₁ + А₁ Т), ω ω₂ (О₂, r₂ + А₁ Т), ω ω₃ (О₃, r₃ + А₁ Т). из них окружности ω₁ и ω ω₂ касаются в точке Т. Мы можем теперь построить окружность ω ω, касающуюся трех окружностей ωω₁, ωω₂ и ωω₃ (см. 2-я вспомогательную задачу). Обозначим центр окружности ωω^' через О, а радиус - через r . Если затем построить концентрическую ей окружность ω (О, r₁ + А₁  Т), то эта последняя будет касаться трех данных окружностей.

   Число всех возможных решений задачи Аполлония зависит от взаимного расположения данных окружностей. Приведем без доказательства несколько примеров.

1. Если окружность ω₂ расположена внутри окружности ω₁, а окружность ω₃ вне окружности ω₁ (рис. 42), то задача Аполлония вовсе не имеет решения. Это относится в частности, и к случаю, когда все три данные окружности концентрические.

2. Если две окружности  ω₁ и ω₂ касаются, а третья окружность ω₃ пересекает их в точке их касания, то задача Аполлония имеет два решения Г₁ и Г₂ (рис. 43).

3. Если каждая из данных  окружностей расположена вне  двух других, причем касательная  к каждым двум из данных  окружностей не имеет обшей  точки с третей окружностью,  то задача имеет восемь решений  (рис. 44).

4. Если три данные окружности  попарно касаются в одной точке,  то можно провести бесконечно  много окружностей, касающихся  каждой из данных (рис. 45).

Рис. 43

 

Рис. 44

Рис. 45

 

Рис. 46

Полное исследование показывает, что если задача Аполлония имеет  лишь конечное число решений, то их не более восьми.

 

 

 

Заключение.

     Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Задачи на построение, решаемые с помощью инверсии обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Такие задачи удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащиеся приобретают много полезных чертежных навыков.

     Геометрические построения в настоящее время не связаны непосредственно с наиболее актуальными проблемами математики. Но в процессе изучения усваиваются понятия и приобретаются некоторые навыки, имеющие значения и за пределами этого вопроса.

    Одним из широко распространенных в современной математике понятий является понятие алгоритма. Изучение геометрических построений является хорошим средством подготовки к усвоению этого понятия. Действительно, цель решения каждой геометрической задачи как раз и состоит в получении некоторого алгоритма. Разрешимость геометрической задачи на построение понимается именно как алгоритмическая разрешимость. Весьма поучительно рассмотрение задач, связанных с доказательством невозможности выполнения какого-либо построения данными средствами, так как вопросы разрешимости той или иной задачи при тех или иных допущениях встречающихся в самых различных разделах математики. Геометрические построения играют также особую роль, как средство доказательства существования геометрической фигуры обладающей указанными свойствами. Геометрические построения составляют также теоретическую основу практической графики.

      Инверсия используется при обработке фотографий, так же в прогнозе изменения коллекторских свойств указанных пород, и в настоящее время является одним из наиболее эффективных методов для прогнозирования геологического разреза.

        Инверсия используется в кондитерской промышленности, инверсия сахара зависит от рН и типа кислоты. Так же применение метода инверсии позволяет свести исходную физическую задачу к задаче о заряде в центре проводящей сферы с кольцевой щелью переменной ширины.

      Инверсия широко применяется и в математических моделях в программе логического проектирования. Частные виды задач на построение прививают интерес учащихся к предмету, развивают логическое мышление, проблематика таких задач подготавливает детей к научно – исследовательской деятельности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

 

1.      А. Адлер, Теория геометрических построений, М., Учпедгиз, 1940;

2.      Б. И. Аргунов, М. Б. Балк, Геометрические построения на плоскости, изд. 2, Учпедгиз, 1957;

3.      Н. Ф. Четверухин, Методы геометрических построений, М., Учпедгиз, 1952;

4.      Б. И. Аргунов, М. Б. Балк, Элементарная геометрия, М., Просвещение, 1966;

5.      А. В. Погорелов, Геометрия, изд.2, М., Наука, 1984;

6.      И. Я. Бакельман, Инверсия;

7.      С. Л. Певзнер, Инверсия и ее приложения, Хабаровск, 1988;

8.      И. М. Яглом, Геометрические преобразования, Т.П.М., Гостехиздат, 1956;

9. П. С. Моденов, А.  С. Пархоменко, Геометрические преобразования, М., изд. ПГУ, 1961;

10. И. И. Александров,  Сборник геометрических задач  на построение, М., Учпедгиз, 1957;

11. Л. С. Атанасян, Т.  Б. Гуревич и др., Сборник задач  по элементарной геометрии, М., Учпедгиз, 1958.