Интегрирующий множитель

.      (2.4)

Применяя признак полного дифференциала к уравнению (2.2), находим, что интегрирующий множитель должен удовлетворять уравнению

.     (2.5)

Запишем это уравнение в развернутом виде:

,

или

.    (2.6)

Это - уравнение с частными производными с известной функцией .

Тем самым мы выясняли роль интегрирующего множителя для получения уравнения в полных дифференциалах. Докажем, что при некоторых условиях, гарантирующих существование общего интеграла существует и интегрирующий множитель.

Теорема (о существовании интегрирующего множителя). Если уравнение

(2.7)

имеет общий интеграл

       (2.8)

в некоторой области , не содержащей внутри себя точек, где и обращаются одновременно в нуль, причем функция имеет и интегрирующий множитель.

Действительно, так как есть общий интеграл уравнения (2.7), то в силу этого уравнения, т.е. мы имеем:

,    (2.9)

где определяется уравнением (2.7), так что и удовлетворяют системе уравнений:

(2.10)

Эта однородная система имеет ненулевое решение (ибо , как дифференциал независимой переменной произволен). Поэтому

(2.11)

или

.    (2.12)

Отсюда:

, .    (2.13)

Поэтому

, (2.14)

т.е. левая часть уравнения (2.7) становиться полным дифференциалом после умножения на функцию , определяемую равенством (2.12). Следовательно, есть интегрирующий множитель уравнения (2.7).

Пример 1. Дано уравнение

.    (2.15)

Интегрируя это линейное уравнение, получаем общий интеграл в виде

.     (2.16)

Отсюда, согласно (2.12):

.    (2.17)

С другой стороны, наше уравнение есть однородное. Поэтому оно имеет интегрирующий множитель

,   (2.18)

а соответствующим ему общим интегралом будет

.    (2.19)

В рассмотренном примере мы нашли два интегрирующих множителя для одного и того же уравнения. Кроме того, бросается в глаза связь между найденными интегралами: . Эти свойства «неединственности» интегрирующего множителя и наличия зависимости между интегралами одного и того же уравнения имеют место и для всякого уравнения, у которого обеспечено существование общего интеграла.

Теорема (о неединственности интегрирующего множителя). Если есть интегрирующий множитель уравнения (2.1), а соответствующий ему интеграл, то

,     (2.20)

где - любая непрерывная функция тоже является интегрирующим множителем уравнения (2.1). Действительно, умножая левую часть уравнения (2.1) на функцию (2.20) получаем:

 

.     (2.21)

Левая часть уравнения стала полным дифференциалом функции , следовательно, функция , определяемая формулой (2.20), есть интегрирующий множитель уравнения (2.1). Так как функция произвольная, то мы имеем бесчисленное множество интегрирующих множителей.

Возникает вопрос: содержатся ли все интегрирующие множители в формуле (2.20)?

Заметим, что так как каждому интегралу уравнения (2.1) соответствует некоторый интегрирующий множитель и обратно – каждому интегрирующему множителю, по самому определению, соответствует некоторый интеграл уравнения (2.1), то естественно ожидать, что зависимость между интегрирующими множителями есть следствие зависимости между интегралами уравнения (2.1).

Теорема (об общем виде интегрирующего множителя и её следствие). Два любых интегрирующих множителя и уравнения (2.1): , связаны соотношением (2.20):

.

Пусть и - интегралы, соответствующие интегрирующим множителям и , т.е. имеем равенства:

(2.22)

Деля второе из этих равенств на первое, получаем:

.     (2.23)

Так как, , причем Ф – непрерывно дифференцируемая функция, то

,

откуда ясно, что и связанны соотношением (2.20). Теперь мы можем утверждать, что все интегрирующие множители уравнения (2.1) содержатся в формуле (2.20).

Заметим, что в этой формуле мы можем заменить интеграл любым интегралом , ибо любой интеграл уравнения является функцией от , а функцию всё равно произвольна, так что будет произвольной функцией от .

Следствие. Если и - два существенно различных интегрирующих множителя уравнения (2.1), то равенство

(2.24)

является общим интегралом уравнения (2.1).

В самом деле, согласно формуле (2.20), мы имеем:

.    (2.25)

Равенство есть общий интеграл уравнения (2.1), следовательно, и (2.24) есть общий интеграл этого уравнения.

В частности, если уравнение (2.1) есть уравнение в полных дифференциалах и известен интегрирующий множитель , отличный от постоянной, то есть общий интеграл этого уравнения, так как за можно взять 1. Например, если уравнение (2.1):

 

однородное и в полных дифференциалах, то его общий интеграл дается равенством

,    (2.26)

если только левая часть этого равенства не обращается тождественно в постоянную величину.

Пример 2. Дано уравнение

.     (2.27)

Здесь , , поэтому - общий интеграл.

Пример 3.

.    (2.28)

Это уравнение однородное и в полных дифференциалах. Поэтому есть общий интеграл.

 

 

 

2.2. Один общий способ нахождения интегрирующего множителя

 

Предположим, что левую часть уравнения

(2.29)

можно разбить на две группы:

,   (2.30)

причем так, чтобы для каждой группы можно было легко найти интегрирующий множитель. Пусть и - эти множители, а и - соответствующие им интегралы. Тогда, согласно (2.20) из п.2.1, все интегрирующие множители первой группы содержаться в формуле

,     (2.31)

а все интегрирующие множители второй группы – в формуле

.     (2.32)

Если удастся выбрать произвольные функции и так, чтобы

(2.33)

(причем одну  из функций  и можно полагать равной единице), тогда будет интегрирующим множителем всего уравнения (2.29). Заметим, что группы, на которые мы разбиваем левую часть уравнения (2.29), не обязательно должны быть полными, т.е. содержать и , и .

Пример 1. Рассмотрим уравнение

.   (2.34)

Разобьем левую часть на две группы:

.  (2.35)

Находим для каждой группы интегрирующие множители и соответствующие им интегралы:

,  ;  ,  .  (2.36)

Условие (2.33) принимает вид

.    (2.37)

Возьмем , , тогда . Следовательно, . Умножая данное уравнение на найденный интегрирующий множитель и используя формулу (1.26) из п.1.3, полагая в ней , найдем общий интеграл:

,  .  (2.38)

Пример 2. Дано уравнение

.   (2.39)

Разобьем левую часть на две группы:

.   (2.40)

Для первой группы, состоящей из одного слагаемого, очевидно, интегрирующий множитель равен 1, ибо есть полный дифференциал от , общим решением уравнения является или , так что мы имеем , . Для второй группы легко найти интегрирующий множитель, так как соответствующее её уравнение есть уравнение с разделяющими переменными. Мы имеем здесь , . Составим соотношение (2.33). Имеем:

.    (2.41)

Чтобы правая часть была функцией только одного , возьмем . Тогда . Умножая уравнение (2.39) на и используя формулу (1.27) из п.1.3, полагая в ней , , найдем общий интеграл:

.     (2.42)

 

 

2.3. Случай интегрирующего множителя, зависящего только от и только от

 

Предположим, что уравнение (2.29) имеет интегрирующий множитель, зависящий только от , . В этом случае , так что уравнение

(2.43)

принимает вид

,     (2.44)

или

.     (2.45)

Отсюда следует, что для существования интегрирующего множителя вида необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при представлял собою функцию только от , т.е.

.     (2.46)

Если это условие выполняется, то мы имеем:

,     (2.47)

следовательно, функция

(2.48)

является интегрирующим множителем уравнения (2.29).

Пример 1. Найдем интегрирующий множитель линейного уравнения

.    (2.49)

Перепишем это уравнение в дифференциальной форме:

.

Проверяя выполнение условия (2.46), имеем:

.

Следовательно, функция

(2.50)

есть интегрирующий множитель линейного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение .

Очевидно, что данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Попытаемся найти интегрирующий множитель . Поскольку выражение

 

не зависит от , то уравнение для определения примет вид

 

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными одним из решением которого, является функция . Умножая обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель , получаем уравнение в полных дифференциалах:

 

Интегрируя его, находим общее решение:

 

 

Найдем условие, при котором интегрирующий множитель зависит только от : . в этом случае уравнение (2.43) принимает вид

,    (2.51)

или

.     (2.52)

Если коэффициент при является функцией только от , т.е.

,     (2.53)

то интегрирующий множитель дается формулой

.     (2.54)

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение

 

Имеем

.

А значит, интегрирующий множитель существует и равен

.

Умножим исходное уравнение на , получим

.

Это уравнение в полных дифференциалах и оно интегрируется обычным образом.

 

 

2.4. Случай интегрирующего множителя вида

 

Рассмотрим более общий случай, когда интегрирующий множитель представляет собой функцию от заданной функции переменных и : .

В этом случае уравнение (2.43) для интегрирующего множителя можно переписать так:

(2.55)

или

.    (2.56)

Если коэффициент при представляет собою функцию только от :

,    (2.57)

то

.  (2.58)

Случаи интегрирующего множителя, зависящего только от или только от , содержаться в рассматриваемом случае при , .

Пользуясь условием (2.57), мы можем найти условие существования интегрирующего множителя наперед заданного вида.

Например, интегрирующий множитель, зависящий только от произведения существует, если

(здесь ).  (2.59)

Условие существования интегрирующего множителя, имеющего вид , запишется так:

().   (2.60)

и т.д.

Пример 1. Решить уравнение

Очевидно, найти интегрирующий множитель, зависящий только от одной переменной нельзя. Будем искать интегрирующий множитель в виде .

Пусть, тогда уравнение для нахождения примет вид

,

интегрируя, которое находим

 

Умножая обе части исходного уравнения на данный интегрирующий множитель, получаем уравнение в полных дифференциалах:

 

Интегрируя полученное уравнение, находим общее решение:

 

 

 

2.5. Интегрирующий множитель и особые решения

 

Зная интегрирующий множитель, мы можем найти не только общий интеграл уравнения, но также и все особые решения. Действительно, пусть дано уравнение (2.29):

 

и известно, что есть его интегрирующий множитель, так что

.

Тогда мы имеем:

.    (2.61)

Поэтому данное уравнение можно переписать так:

.     (2.62)

Это уравнение распадается на два:

.    (2.63)

Первое из них приводит к общему интегралу , а второе может привести к особому решению. Итак, особым решением уравнения может быть только такое решение, вдоль которого интегрирующий множитель обращается в бесконечность.

Отсюда получаем простое правило нахождения особых решений:

1) найти  линии, вдоль которых  обращается в ;

2) проверить, являются ли найденные линии  интегральными кривыми, т.е. представляют  ли они рения уравнений;

3) проверить, содержится ли найденные решения  в общем решении или нет.

Т.е. из найденных решений, которые не содержаться в общем решении, и будут особыми решениями. Если окажется, что не обращается в бесконечность (или обращается в бесконечность лишь в отдельных точках), то уравнение не имеет особых решений. Отсюда, в частности, опять получаем, что линейное уравнение , где – непрерывная функция, не имеет особых решений, так как его интегрирующий множитель (2.54) не обращается в бесконечность в промежутке непрерывности .