Комплексные числа

Научно-практическая конференция

«Первые шаги»

Секция: математика

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

Комплексные числа

Выполнила:

Андреева Елизавета

ученица 9 класса А

МБОУ «Гимназия» г. Гай

Оренбургская область

Руководитель: Вахнина                                           

Галина Викторовна

учитель математики

высшей категории

МБОУ «Гимназия» г. Гай

Оренбургская область

г. Гай

2011 - 2012 учебный год

Содержание

Введение..........................................................................................................3                                                                  

Глава I.  Теоретические аспекты понятия «Комплексные числа»                                                                     

1.1. История комплексных чисел..................................................................5-6

1.2. Понятия и определения...........................................................................7

Глава II.  Применение комплексного числа на практике                                                 

2.1 . Равенство комплексных чисел..............................................................9

2.2. Сложение и умножение комплексных чисел.......................................10

2.3. Комплексно сопряженные числа...........................................................11

2.4. Модуль комплексного числа..................................................................12

2.5. Вычитание комплексных чисел.............................................................13

2.6. Деление комплексных чисел..................................................................14-15

2.7. Комплексная плоскость..........................................................................16-17

2.8. Геометрический смысл модуля комплексного числа..........................18

2.9. Геометрический смысл модуля разности комплексных чисел...........19

Глава III.  Практическая часть

3.1. Анкетирование.........................................................................................21

Заключение......................................................................................................22 Список использованной литературы.............................................................23 Приложения.....................................................................................................24-30

Введение

                                                                                Мнимые числа – это прекрасное и чудесное

убежище божественного духа,

почти сочетание бытия с небытием.

(Г. Лейбниц)

Решение многих задач математики, физики и практики приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами.

Выясним предварительно, какой вид должны иметь комплексные числа. Будет считать, что на множестве комплексных чисел квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом имеют корни. Обозначим эти корни буквой i. Таким образом, i – такое комплексное число, что                     i2 = -1.

Цель: определение теоретического и практического обоснования понятия комплексного числа и способов решения задач.

Задачи:

1.      Изучить литературу по данной теме.

2.      Провести анализ собранного материала.

3.      Сделать выводы.

Методы исследования:

1.       Изучение и анализ учебной, публицистической, периодической литературы.

2.       Технические средства и Интернет по теме «комплексные числа»

3.       Систематизация и обобщение материала.

Глава I

Теоретические аспекты понятия «комплексные числа»

1.1. Историческая справка

В VIII в. ученые знали, что у положительного числа существуют два квадратных корня: один – положительное число, другой – отрицательное, но считали, что из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратный корень.

В XVI в. в связи с изучением кубических уравнений возникла необходимость извлечения квадратных корней из отрицательного числа. В 1545 г. итальянский математик Дж. Кардано (1501-1576) опубликовал работу «Великое искусство», в которой привел формулу корней кубического уравнения x3  + px + q = 0. Для этой формулы понадобились числа новой природы, которые он записал в общем виде: a + -b  (b > 0). В этой же работе Кардано предложил установить действия над такими числами по правилам обычной алгебры, в частности для b > 0 предложили считать -b   * -b    = -b. Числа вида  -b    (b > 0) автор назвал «чисто отрицательными» или «софистически отрицательными» и считал их бесполезными. Однако уже в 1572 г. в книге другого итальянского математика Р. Бомбелли (1530-1572) были изложены правила арифметических действий над комплексными числами практически в том виде, в каком они известны и нам. В те времена комплексные числа называли мнимыми. Такое название ввел в обиход Р. Декарт, а обозначать мнимую единицу   буквой i (первой буквой франц. сл. imaginaire – мнимый) предложил в 1777 г. Л. Эйлер. В математической литературе символ i широко стал использоваться после публикации в 1831 г. работы немецкого математика К. Гаусса (1777-1855) «Теория биквадратных остатков». В этой работе Гаусс заменил название «мнимые числа» на комплексные (впервые этот термин был введен в 1803 г. французом Л. Карно) и  окончательно закрепил для науки геометрическую интерпретацию комплексного числа  a + bi как точки координатной плоскости с координатами (a; b). Позднее комплексные числа также стали изображать с помощью векторов на координатной плоскости с началом в начале координат и концом в точке М (а; b).

Понятия «модуль» и «аргумент» комплексного числа ввел французский математик Д’Аламбер (1717-1783), а сами термины были введены в обиход после широкого их использования в своих работах швейцарским математиком Ж. Арганом (1768-1822) и французским математиком О. Коши.

В начале XVIII в. была построена теория корней n-й степени из отрицательных и комплексных чисел, основанная на выведенной в 1707 г. английским математиком А. Муавром (1667-1754) формуле

(cos  + i sin )n = cos n + I sin n.

С помощью этой формулы Л. Эйлер в 1748 г. вывел формулу e ix = cos x + i sin x, которая связывает показательную функцию с тригонометрическими. С помощью этой формулы, получившей название формулы Эйлера, стало возможным возводить число e в любую комплексную степень, находить синусы, косинусы, логарифмы комплексных чисел. Таким образом была выстроена теория функций комплексной переменной. С помощью этой решены этой теории  были решены многие задачи аэро- и гидродинамики, радиотехники, теории упругости и др.

Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н.Е. Жуковский (1847–1921) при разработке теории крыла, автором которой он является.

1.2. Понятия и определения

Комплексные числа – выражения вида a + bi, где a и b – действительные числа, а i – некоторый символ такой, что i2 = -1.

Название «комплексные» происходят от слова «составное» - по виду выражения  a + bi.

Число a называется действительной частью комплексного числа         a + bi, а число b – его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей.

Например, действительная часть комплексного числа 2 + 3i равна 2, мнимая часть равна -3. Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа.

Глава II

Применение комплексного числа на практике

2.1. Равенство комплексных чисел

Два комплексных числа a + bi и c + di называются равными тогда и только тогда, когда a = b и c =  d, т. е. когда равны их действительные и мнимые части.

Например,

2.2. Сложение и умножение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число (а + с) +  (b + d)i, т. е.

(a + bi) + (c + di) =  (а + с) +  (b + d)i

(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i.

Произведением двух комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число (ас - bd) +  (аd + bс)i, т. е.

(a + bi)(c + di) =  (ас - bd) +  (аd + bс)i

(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i.

Из этих формул следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами.

Поэтому нет необходимости запоминать формулы сложения и умножения комплексных чисел, их можно получить по обычным правилам алгебры, считая, что i2 = -1.

Принято считать, что а + 0 * i = а, т. е. комплексное число а + 0i – это действительное число а.

Число вида 0 + bi обозначают bi, т. е. 0 + bi = bi, его называют чисто мнимым числом.

Комплексное число 0 + 0i = 0 является единственным числом, которое одновременно и действительное, и чисто мнимое.

Комплексное число принято обозначать одной буквой, чаще всего z. Запись  z = a + bi означает, что комплексное число a + bi обозначено буквой z.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают такими же свойствами, как и операции для действительных чисел.

2.3. Комплексно сопряженные числа

Сопряженным с числом z = a + bi  называется комплексное число a – bi, которое обозначается z , т. е.

z = a + bi = a – bi                                                            

Например, 3 + 4i = 3 - 4i, i = -i.

Отметим, что a - bi = a + bi, поэтому для любого комплексного числа  z имеет место равенство

(z) = z

Равенство z = z справедливо тогда и только тогда, когда z – действительное число.

Пусть z = a + bi  . Тогда  z   =  a – bi, и равенство a + bi = a – bi по определению равенства комплексных чисел справедливо тогда и только тогда, когда  b = -b, т. е. b = 0, а это и означает, что z = a + bi = а + 0i =             = а – действительное число.

Из определения следует, что

z1 + z2 = z1 + z2

2.4. Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = a + bi называется число a2  + b2  ,т. е.

z = a + bi = a2  + b2 

Например. 3 + 4i = 32  + 42  = 5, i =  02  + 12   = 1

Из формулы следует, что z  0 для любого комплексного числа z, причем  z = 0 тогда и только тогда, когда z = 0, т. е. когда a = 0 и b = 0.

Для любого комплексного числа z справедливы формулы

z = z,  z z = z2 

2.5. Вычитание  комплексных чисел

Комплексное число (-1)z называется противоположным комплексному числу z и обозначается – z.

Если z = a + bi, то -z = -a – bi. Например, -(3 – 5i) = -3 + 5i.

Для любого комплексного числа z выполняется равенство

z + (-z) = 0.

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел z1 и z2 существует, и притом только одно, число z, такое, что

z + z2 = z1,

т.е. уравнение имеет только один корень.

              Прибавим к обеим частям равенства число (-z2), противоположное числу z2.

z + z2 + (-z2) = z1 + (-z2), откуда z = z1 + (-z2).

              Число z = z1 + (-z2) обычно обозначают z = z1 - z2 и называют разностью чисел  z1 и z2.

Если z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, то разностью z1 - z2 имеет следующий вид:

(a1 + b1i) – (a2 + b2i) = (a1 - a2) + (b1 - b2)i.

Эта формула показывает, что разность комплексных чисел можно находить по правилам действий с многочленами.

Например, (1 + 3i) – (-4 + 5i) = 1 + 3i + 4 - 5i = 5 - 2i.