Комплексные числа

2.6. Деление  комплексных чисел

Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: для любых комплексных чисел z1 и z2  0 существует, и притом только одно, число z, такое, что zz2 = z1, т. е. это уравнение относительно z имеет только один корень, который называется частным чисел z1 = z2 и

обозначается z1 : z2, или z = , т. е. z = z1 : z2 =

              Комплексное число нельзя делить на нуль.

Уравнение  z2z = z1 для любых комплексных чисел z1 и z2  0 имеет только один корень.

Частное комплексных чисел z1 и z2  0 можно найти по формуле

Каждое комплексное число z, не равное нулю, имеет обратное ему число w, такое, что z * w = 1. Если z = a * bi и w = х * уi, то это равенство принимает вид

(a + bi) (х + уi) = 1 или (ах – bу) + (bх + ау)i = 1.

Из последнего равенства получаем систему

ах – bу = 1

bх + ау = 0,

решая которую находим х = а/а2 , у = -b/ а2 + b 2.

              Заметим, что а2 + b 2 0, то число, ему обратное, принимает вид

w = 1/ z = а/ а2 + b 2  – b/ а2 + b 2  * i.

Если z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, то формула получается умножением числителя и знаменателя дроби a1 + b1i/ a2 + b2i на число сопряженное со знаменателем.

Например,

              По определению умножения комплексных чисел

i3 = i2 * i = (– 1)i = – i;

i4 = i3 * i = – i * i = – i2 = – (– 1) = 1;

i5 = i4 * i = 1 * i = i;

Вообще i4n + k = (i4) n * i k = 1n * ik = ik, т. е.  i4n + k = ik.

Например, i23 = i4*5 + 3 = i3 = – i.

2.7. Комплексная плоскость

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число а + bi можно рассматривать как пару действительных чисел (а;b). Поэтому естественно комплексные числа изображать точками плоскости.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число z = а + bi изображается точкой плоскости с координатами (а;b), и эта точка обозначается той же буквой z (см. приложение 1).

Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу а + bi соответствует одна точка плоскости с координатами (а;b) и, наоборот, каждой точке плоскости с координатами (а;b) соответствует одно комплексное число а + bi. Поэтому слова  «комплексное число» и «точка плоскости» часто употребляются как синонимы. Так, вместо слов «точка, изображающая число 1 + i». Можно, например, сказать «треугольник с вершинами в точках i, 1 + i, -i».

При такой интерпретации действительные  числа а, т. е. комплексные числа а + 0i, изображаются точками с координатами (а;0), т. е. точками оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью. Чисто мнимые числа bi = 0 + bi изображаются точками с координатами (0; b), т. е. точками оси ординат, поэтому ось ординат называют мнимой осью. При этом точка с координатами (0; b) обозначается bi. Например, точка (0;1) обозначается i, точка (0;-1) – это –i, точка (0;2) – это точка 2i (см. приложение 2). Начало координат – это точка 0. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

Отметим, что точки z и – z симметричны относительно точки 0 (начала координат), а точки z и z   симметричны относительно действительной оси.

Пусть z = а + bi. Тогда -z = -а – bi, z = а – bi. Точки z и – z имеют координаты соответственно (а;b) и (-а;-b), следовательно, они симметричны относительно начало координат.  Точка z имеет координаты (а;-b), следовательно, она симметрична точке z относительно действительной оси (см. приложение 3).

Комплексное число z = а + bi можно изображать вектором с начало в точке 0 и концом в точке z. Этот вектор будем обозначать той же буквой z, длина этого вектора равна z.

Число z1 + z2 изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов z1 и z2 , а вектор z1 - z2 можно построить как сумму векторов z1 и -z2 (см. приложение 4).

2.8. Геометрический смысл модуля комплексного числа

Выясним геометрический смысл z.

Пусть z = а + bi. Тогда по определению модуля z = a2  + b2  . Это означает, что z - расстояние от точки 0 до точки z.

Например, равенство z = 4 означает, что расстояние от точки 0 до точки z равно 4 (см. приложение 5). Поэтому множество всех точек z, удовлетворяющих равенству z = 4, является окружностью с центром в точке 0 радиуса 4. Уравнение z = R является уравнением окружности с центром в точке 0 радиуса R, где R – заданное положительное число.

2.9. Геометрический смысл модуля разности комплексных чисел

Выясним геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел, т. е. z1 - z2. Пусть z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i. Тогда z1 - z2=                                = (a1 – a2)2 + (b1 – b2) 2.

Из курса геометрии известно, что это число равно расстоянию между точками с координатами (а1;b1) и (а2;b2).

Итак, z1 - z2 - расстояние между точками z1 и z2.

Например, расстояние между точками 1 и -3 + 3i равно

1 – (-3 + 3i) = 4 - 3i =  42 + (-3) 2 = 5.

Покажем, что z – z0 = R – уравнение окружности с центром в точке z0 радиуса R, где z0 – заданное комплексное число, R – заданное положительное число.

Так как z – z0- расстояние между точками z и z0, то множество всех точек z , удовлетворяющих уравнению z – z0 = R, - это множество всех точек, расстояние от которых до точки z0 равно R.

Например, z + i = 2 – уравнение окружности с центром в точке –i радиуса 2, так как данное уравнение можно записать в виде z – (i) = 2.

Глава III

Практическая часть

3.1 Анкетирование

Было проведено анкетирование среди учащихся 9 класса А МБОУ «Гимназия» г. Гая Оренбургской области, в котором участвовало 24 человека.

Вопросы анкеты:

1. Есть ли корень у квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом?

2. Интересно ли вам узнать о числах недействительных (мнимых)?

По первому вопросу ответили «нет» - 24 человека, что составляет 100% (см. приложение 6).

На второй вопрос «да» ответили 18 человек, то есть 75 %, «нет» ответили 6 человек – 25% (см. приложение 7).

Вывод: учащиеся не знают о комплексных числах, но многие о них хотят узнать.

Заключение

В ходе написания данной работы передо мной были поставлены цели, и задачи в соответствии с которыми я работала. Занимаясь изучением литературы по данной теме, я провела систематизацию и обобщение этого материала, отразив его в своей работе. Расширенный спектр полученных знаний позволил более глубоко изучить и усвоить данный материал.

Мне представилась возможность больше поработать с интересной, для меня, темой комплексных чисел и выйти за рамки школьной программы. Прочитав и изучив другую литературу, я узнала много нового  и, как считаю, важного для меня. И в заключении я хотела бы сказать, что в будущем собираюсь продолжить изучать и исследовать данную тему.

Список использованной литературы

1. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И.// Алгебра и начала анализа 11 класс; 2002

2. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И.// Алгебра и начала математического анализа 11 класс; 2009

3. http://das-it-super.ucoz.ru

4. http://www.bestreferat.ru

Приложения

Приложения  1

Приложения  2

Приложения  3

Приложения  4