Автор работы: Пользователь скрыл имя, 04 Декабря 2011 в 09:58, контрольная работа
1.основные задачи на плоскость
2.Основные задачи на прямую в пространстве
1.Основные задачи на плоскость
1. Общее уравнение плоскости
Ax + By + Cz + D = 0. (1)
Если в этом уравнении D = 0, то плоскость проходит через начало координат, и ее уравнение будет таким
Ax + By + Cz = 0. (2)
При C = 0 уравнение (1) примет вид
Ax + By + D = 0, (3)
и плоскость параллельна оси Oz.
При B = 0 уравнение (1) запишется в виде
Ax + Cz + D = 0. (4)
В этом случае плоскость параллельна оси Oy, а при A = 0 уравнение (1) приобретает вид
By + Cz + D = 0, (5)
и плоскость параллельна оси Ox.
Следует запомнить, что если плоскость параллельна какой-нибудь координатной оси, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью. Если в уравнениях (3), (4) и (5) окажется, что D = 0, то эти уравнения имеют вид
Ax +
By = 0, (6)
Ax + Cz = 0, (7)
By + Cz = 0. (8)
Уравнение (6) - уравнение плоскости, проходящей через координатную ось Oz; (7) - уравнение плоскости, проходящей через ось Oy, а (8) - уравнение плоскости, проходящей через ось Ox. Если в уравнении (1) A = 0 и B = 0, то оно приобретет вид
Cz + D = 0, (9)
и плоскость параллельна координатной плоскости xOy. При B = 0 и C = 0 уравнение (1) запишется в виде
Ax + D = 0, (10)
а определяемая
им плоскость параллельна
By + D = 0, (11)
и плоскость (11) параллельна координатной плоскости xOz.
Если окажется, что в уравнениях (9), (10) и (11) D = 0, то эти уравнения примут вид
z = 0, (12)
x = 0, (13)
y = 0 (14)
и будут уравнениями самих координатных плоскостей, соответственно xOy, yOz и xOz.
Пример 1. Выяснить геометрический смысл коэффициентов A, B и C в общем уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
Решение.
1. Рассмотрим вектор с проекциями на координатные оси, соответственно равными A, B и C, т. е. .
2. Возьмем на плоскости Ax + By + Cz + D = 0 две произвольные точки M(x1, y1, z1) и N(x2, y2, z2) и рассмотрим вектор . Этот вектор лежит в плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Его проекции на координатные оси соответственно равны x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1 и .
3. Так как точки M и N лежат в плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то имеют место равенства
Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0
и
Ax2 + By2 + Cz2 + D = 0.
Вычитая первое уравнение из второго, получим
A(x2 - x1) + B(y2 - y1) + C(z2 - z1) + D = 0. (1)
Скалярное произведение вектора на вектор равно
A(x2 - x1) + B(y2 - y1) + C(z2 - z1).
Так как на основании (1) это скалярное произведение равно нулю, то вектор перпендикулярен вектору , а тем самым и той плоскости, в которой лежит этот вектор, т. е. вектор перпендикулярен плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
Геометрическое значение коэффициентов A, B и C в общем уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0 состоит в том, что они являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz вектора, перпендикулярного этой плоскости.
2. Уравнение плоскости в нормальном виде
где , и - углы между координатными осями Ox, Oy и Oz и перпендикуляром, опущенным из начала координат на плоскость, а p - длина этого перпендикуляра.
3. Для приведения общего уравнения плоскости (1) к нормальному виду (15) обе его части следует умножить на нормирующий множитель
Пример2. Уравнение плоскости 5x + 7y - 34z + 5 = 0 привести к нормальному виду.
Решение.
Для приведения общего уравнения плоскости Ax + By + Cz + D = 0 к нормальному виду надо обе его части умножить на нормирующий множитель , выбрав перед корнем знак, противоположный знаку свободного члена в общем уравнении плоскости. В нашем случае перед корнем следует выбрать знак минус. У нас A = 5; B = 7; C = -34, и для N получаем
а уравнение принимает вид
выбрав перед корнем знак, противоположный знаку свободного члена в уравнении (1).
4. Уравнение плоскости в отрезках на осях
Пример3. Какие отрезки на координатных осях отсекает плоскость 2x + 3y - 5z + 30 = 0?
Решение.
У точки, лежащей на оси Ox, координаты y и z равны нулю.
Полагая в уравнении плоскости y = z = 0, получим для определения величины отрезка, отсекаемого плоскостью на оси Oy, полагаем в уравнении плоскости x = 0 и z = 0 и получаем 3y + 30 = 0, или y = -10. Наконец, величину отрезка, отсекаемого на оси Oz, найдем, положив в уравнении плоскости x = 0 и y = 0. Получим -5z + 30 = 0 и z = 6.
Этим заканчивается решение задачи. Можно было бы поступить и проще, преобразовав данное уравнение к виду в отрезках на осях
Для этого перенесем в правую часть равенства свободный член. Данное уравнение запишется в виде 2x + 3y - 5z = -30.
Разделим теперь обе его части на -30 и получим
Величины отрезков, отсекаемых на координатных осях, равны:
a = -15;
b = -10; c = 6.
где a, b и c - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.
5. Уравнение связки плоскостей, проходящей через точку M(x1, y1, z1), имеет вид
A(x - x1) + B(y - y1) + C(z - z1) = 0. (18)
Пример 4 . Через точку M(2, 3, -1) провести плоскость, параллельную плоскости 2x - 3y + 5z - 4 = 0.
Решение.
Уравнение связки плоскостей, проходящих через данную точку, имеет вид A(x - x1) + B(y - y1) + C(z - z1) = 0. В нашем случае оно будет таким:
A(x - 2) + B(y - 3) + C(z + 1) = 0.
Из условия (22) параллельности двух плоскостей получаем
Заменяя в последнем уравнении A, B и C величинами, им пропорциональными, будем иметь
2k(x - 2) - 3k(y - 3) + 5k(z + 1) = 0,
или окончательно после упрощений
2x - 3y + 5z + 10 = 0.
Можно решить задачу и иначе: если плоскости параллельны, то их уравнения можно преобразовать так, что они будут отличаться только свободным членом. Тогда уравнение семейства плоскостей, параллельной данной плоскости, запишется так:
2x - 3y + 5z + D = 0. (1)
Подставляя в это уравнение вместо текущих координат x, y и z координаты точки M(2, 3, -1), через которую проходит плоскость, получим уравнение, содержащее одно неизвестное D: 2*2 - 3*3 + 5*(-1) + D = 0, D = 10. Это значение подставляем в (1) и получаем то же, что и раньше:
2x - 3y +
5z + 10 = 0.
Давая коэффициентам A, B и C в уравнении (18) различные значения, мы получим различные плоскости, проходящие через тчоку M(x1, y1, z1).
6. Угол между двумя плоскостями
A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0 (19)
определяется по формуле
Пример 5 .
Найти острый угол
между двумя плоскостями
5x - 3y + 4z - 4 = 0, (1)
3x - 4y - 2z + 5 = 0. (2)
Решение.
По формуле
получим, если учесть, что на основании (1) A1 = 5; B1 = -3; C1 = 4, а из (2) A2 = 3; B2 = -4; C2 = -2.
В формуле (А) следует взять абсолютную величину правой части, так как надо найти острый угол между плоскостями и, значит, .
7. Условие перпендикулярности двух плоскостей (19) имеет вид
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0. (21)
8. Условие параллельности двух плоскостей (19) имеет вид
9. Расстояние от точки N(x1, y1, z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 определяется по формуле
Пример
6 . Найти расстояние
от точки A(2, 3, -1) до плоскости
7x - 6y - 6z + 42 = 0.
Решение.
Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле
в которой следует положить A = 7; B = -6; C = -6; x1 = 2; y1 = 3; z1 = -1. Подставляя эти значения в формулу (1), будем иметь
10. Система двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными:
Приведем относящиеся сюда формулы:
где t - произвольное число, а, по крайней мере, один из определителей, входящих в (25), не равен нулю.
11. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3) имеет вид
Пример
7. Найти уравнение плоскости,
проходящей через точки
M1(1, 2, -1);
M2(-1, 0 , 4);
M3(-2, -1, 1).
Решение.
На основании уравнения (26) можно уравнение искомой плоскости написать в виде