Контрольная работа по "Прикладная математика"

То есть в нашем случае взаимосвязь между  признаками тесная и прямая.

Коэффициент детерминации

Данный коэффициент указывает, что вариация значений у на 57,6% из 100% предопределена вариацией значений фактора х; роль других факторов, влияющих на у оценивается в 42,4% - достаточно большая величина.

Составим  уравнение линии регрессии  по :

 

- уравнение эмпирической линии регрессии. Построим ее график:

Задача 45

Для двух городов по независимым выборкам объемом n₁ = 60 и n₂ = 50 найдены средний возраст и нарушителя уголовного законодательства и дисперсия и = 45,7 возраста нарушителя. Значимо ли различие средних? Принять уровень значимости равным α = 0,05.

Решение

Воспользуемся критерием Стьюдента. В случае с незначительно отличающимся размером выборки применяется упрощённая формула приближенных расчётов:

 

Табличное значение t_крит равняется 2,1 при допущении возможности риска сделать ошибочное суждение в пяти случаях из ста (уровень значимости 5% или 0,05).

В эксперименте t = 0,76, табличное t=2,1, 2,1 > 0,76, откуда следует вывод, что гипотеза о значимости различий средних может быть отклонена.

 

Задача 55

Составить математическую модель линейной производственной задачи, в которой матрица удельных затрат А, вектор объемов ресурсов В  и вектор дельной прибыли С  при возможном выпуске двух видов  продукции с использованием трех видов сырья таковы:

Решение

Обозначим через х₁ и х₂ количество единиц продукции первого и второго вида. Прибыль при таком плане выпуска будет равна

L = 2x₁ + 3x₂

Ограничения по запасам сырья могут  быть выражены системой неравенств:

Математическая модель задачи:

L = 2x₁ + 3x₂

 

Это задача линейного программирования, которую можно решить графическим  методом:

 

 

Заштрихованный многоугольник  показывает множество допустимых решений. Построим вектор-градиент N = (2; 3). Для нахождения оптимального плана построим линию нулевого уровня 2х₁ + 3х₂ = 0 – красная линия на графике – и будем передвигать ее параллельно самой себе в направлении вектора N. Оптимальная точка находится в точке пересечения прямых   и . Это точка х*(4; 8), соответственно максимальная прибыль равна L_max = 2 * 4 + 3 * 8 = 32

 

Задача 65

Составить оптимальный план перевозок, при  котором транспортные издержки минимальны. Стоимость перевозки единицы  груза, его запасы (первый столбец) и  потребности в нем (первая строка) указаны в следующей таблице:

	40	20	10	30
30	10	8	12	11
60	9	6	3	5
10	7	4	1	2

Решение

Примем  некоторые обозначения:

i - индекс строки

j - индекс столбца

m - количество поставщиков

n - количество потребителей

X_i,j - перевозка между поставщиком A_i и потребителем B_j.

D_i,j - ограничение пропускной способности коммуникации между поставщиком A_i и потребителем B_j.

Исходная  таблица:

Поставщик	Потребитель				Запасы   груза
	B1	B2	B3	B4
A1	10 0	8 0	12 0	11 0	30
A2	9 0	6 0	3 0	5 0	60
A3	7 0	4 0	1 0	2 0	10
Потребность	40	20	10	30

 

 

 

Транспортная  задача имеет закрытый тип, так как  суммарный запас груза равен  суммарным потребностям.

Находим опорный план для задачи с ограничениями.

Введем  некоторые обозначения:

A_i^* - излишек нераспределенного груза от поставщика A_i

B_j^* - недостача в поставке груза потребителю B_j

D_i,j - ограничение пропускной способности коммуникации между поставщиком A_i и потребителем B_j

Находим незанятую клетку с минимальным  тарифом: (3,3).

Помещаем  туда меньшее из чисел A₃^*=10, B₃^*=10

Находим незанятую клетку с минимальным  тарифом: (2,4).

Помещаем  туда меньшее из чисел A₂^*=60, B₄^*=30

Находим незанятую клетку с минимальным  тарифом: (2,2).

Помещаем  туда меньшее из чисел A₂^*=30, B₂^*=20

Находим незанятую клетку с минимальным  тарифом: (2,1).

Помещаем  туда меньшее из чисел A₂^*=10, B₁^*=40

Находим незанятую клетку с минимальным  тарифом: (1,1).

Помещаем  туда меньшее из чисел A₁^*=30, B₁^*=30

Поставщик	Потребитель				Запасы   груза
	B1	B2	B3	B4
A1	10 30	8	12	11	30
A2	9 10	6 20	3	5 30	60
A3	7	4	1 10	2	10
Потребность	40	20	10	30

 

Целевая функция F=670

Решаем  задачу c ограничениями методом потенциалов:

Этап 1

Так как  суммарная величина нераспределенного 0, то текущий план является опорным  планом транспортной задачи с ограничениями.

Этап 2

Опорный план является вырожденным, так как  число занятых клеток, удовлетворяющих  условию 0 < X_i,j < D_i,j меньше, чем m+n-1=6.  
Перечислим эти клетки: (1,1) (2,1) (2,2) (2,4) (3,3)

Сделаем план невырожденным, добавляя (в случае X_i,j = 0) или отнимая (в случае X_i,j = D_i,j) бесконечно малые, не равные между собой фиктивные перевозки. в клетки с координатами (i,j): (3,4)

Введение  в план фиктивных перевозок необходимо для избежания зацикливания в  ходе решения задачи. При их введении будем модифицировать потребности/запасы груза соответствующих потребителей/поставщиков  для сохранения баланса между  запасами/потребностями

Поставщик	Потребитель				Запасы   груза
	B1	B2	B3	B4
A1	10 30	8	12	11	30
A2	9 10	6 20	3	5 30	60
A3	7	4   M	1 10	2 e	10
Потребность	40	20	10	30

 

Полагая потенциал U₁=0, определяем остальные потенциалы из соотношения U_j+V_i=C_i,j(i=1..m, j=1..n), просматривая все занятые клетки. 
Потенциалы U_i: U₁=0

V₁=C_1,1-U₁= 10

U₂=C_1,2-V₁= -1

V₂=C_2,2-U₂= 7

V₄=C_2,4-U₂= 6

U₃=C_4,3-V₄= -4

V₃=C_3,3-U₃= 5

Определяем  значения оценок S_i,j=C_i,j-(V_j-U_i) для всех свободных клеток: 
Для случая X_i,j = 0 условие оптимальности оценки S_i,j определяется следующим образом: S_i,j >=0.

Для случая X_i,j = D_i,j условие оптимальности оценки S_i,j определяется следующим образом: S_i,j <=0.

оценки S_i,j для всех клеток, удовлетворяющих условию: X_i,j = 0 (неоптимальные выделены курсивом)

S_1,2 = c_1,2 - (v₂ + u₁) = 1.

S_1,3 = c_1,3 - (v₃ + u₁) = 7.

S_1,4 = c_1,4 - (v₄ + u₁) = 5.

S_2,3 = c_2,3 - (v₃ + u₂) = -1.

S_3,1 = c_3,1 - (v₁ + u₃) = 1.

S_3,2 = c_3,2 - (v₂ + u₃) = 1.

Если  имеются неоптимальные оценки и  для случая X_i,j = 0, и для случая X_i,j = D_i,j, то наиболее потенциальной(неоптимальной) из них считается максимальная по модулю оценка. Если имеется несколько клеток с одним и тем же наиболее неоптимальным значением оценки, то из них выбирается клетка, имеющая наименьший тариф. Наиболее потенциальной является клетка (2,3). Для нее оценка равна -1.

Строим  для этой клетки цикл, помечая клетки цикла знаками "плюс" и "минус".

Поставщик	Потребитель				Запасы   груза
	B1	B2	B3	B4
A1	10 30	8	12	11	30
A2	9 10	6 20	+ 3	- 5 30	60
A3	7	4	- 1 10	+ 2 e	10
Потребность	40	20	10	30