Контрольная работа по "Теории вероятности и математической статистике"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ФИО клиента:	Большакова Виктория Валерьевна
Тема работы / вариант:	КН3 и КН4  в.8
Дисциплина:	Теория вероятности и матстатистика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 3.

 

1. В двух ящиках находится по 16 деталей. Причем в первом ящике находится 9 стандартных деталей, а во втором – 12. Из первого ящика наугад извлекли одну деталь и переложили во второй ящик.

Найти вероятность того, что деталь, наугад извлеченная после этого из второго ящика, будет стандартной.

 

Обозначим события:

А – выбранная наугад деталь из 1-го ящика - стандартная;

 – выбранная наугад деталь  из 1-го ящика - нестандартная;

В – выбранная наугад деталь из 2-го ящика - стандартная;

 

По определению классической вероятности событий:

      

Вероятности выбора стандартной детали из второго ящика в зависимости от того, оказалась ли добавленная из первого ящика деталь стандартной или нет:

               

По формуле полной вероятности искомая вероятность:

 

2. Электронная система состоит из 2000 элементов. Вероятность отказа любого из них в течение года равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов.

Найти вероятность отказа за год работы:

а) двух элементов;

б) не менее двух элементов.

 

n = 2000  p = 0,001 q = 1 – p = 0,999

Т.к.  n достаточно большое, а p – маленькое, то используется формула Пуассона:

  , где

а) k = 2                 

б)

Вероятность отказа менее 2-х элементов:

Вероятность отказа не менее 2-х элементов:  

 

3. При установившемся технологическом процессе среди изготавливаемой продукции оказывается в среднем 15 % бракованных шин. Сколько шин нужно отобрать для проверки, чтобы с вероятностью 0,9876 число бракованных шин отклонилось от своего среднего значения не более, чем на 15 штук?

 

В качестве оценки неизвестного значения генеральной доли р берем ее состоятельную оценку w=0,15 (15%).  В качестве оценки точности генеральной доли берем (где - точность средней в повторной выборке).

По таблице значений функции Лапласа, для надежности значение аргумента t=2,5.

По формуле объема повторной выборки для генеральной доли:

          Число шин в повторной выборке:         

 

4. Даны две случайные величины Х и Y, причем Х имеет биномиальное распределение с параметрами p=0,2 и n=5, а Y – распределение Пуассона с параметром . Пусть Z=2Х-Y.

Необходимо:

а) найти математическое ожидание М(Z) и дисперсию D(Z);

б) оценить вероятность с помощью неравенства Чебышева.

 

а) Математические ожидания и дисперсии случайных величин (при условии их независимости):

М(Х) = np = 5.0,2 = 1      D(Х) = npq = 5.0,2.(1-0,2) = 0,8

М(Y) = = 0,5            D(Y) = = 0,5

Математическое ожидание и дисперсия Z:

М(Z) = M(2X-Y) = 2M(X)-M(Y) = 2.1 - 0,8 = 1,2

D(Z) = D(2X-Y) = D(2X)+D(-Y) = 22. D(X)+(-1)2.D(Y) = 4. 0,8+0,5=3,7

б) По неравенству Чебышева оценка нижней и верхней границ вероятности нахождения величины Z в данном интервале:

P(|Z – M(Z)| 1) ≥ 1 – D(Z)/12 = 1 – 3,7/1 = -2,7

P(|Z – M(Z)| 2) D(Z)/22 = 3,7/4 = 0,925

  

 

5. Функция распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

Найти:

а) параметр ;

б) плотность вероятности ;

в) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х).

Построить графики функций и F(х).

б) Функция плотности  вероятности:

а) По свойству плотности вероятности:

                  

   в)  

Графики:

 

 

Контрольная работа №4

 

1. С целью изучения дневной выработки ткани (м) по схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 100 ткачих комбината из 2000. Результаты обследования представлены в таблице.

 

Дневная выработка, м	Менее 55	55-65	65-75	75-85	85-95	95-105	Более 105	Итого
Число ткачих	8	7	15	35	20	8	7	100

 

Найти:

а) границы, в которых с вероятностью 0,9883 заключена средняя дневная выработка ткачих комбината;

б) вероятность того, что доля ткачих комбината, вырабатывающих в день не менее 85 м ткани, отличается от доли таких ткачих в выборке не более, чем на 0,05 (по абсолютной величине);

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для средней дневной выработки (см. п.а) можно гарантировать с вероятностью 0,9942.

 

а) Чтобы все интервалы имели одинаковую длину, заменяется интервал «менее 55» на «45-55» , а интервал «более 105» на «105-115». Середины интервалов: xicр 

 

xi	45-55	55-65	65-75	75-85	85-95	95-105	105-115	Итого
xicр	50	60	70	80	90	100	110
ni	8	7	15	35	20	8	7	100

 

Средняя выборки:

Средняя арифметическая квадратов значений:

Выборочная дисперсия:

Средняя квадратическая ошибка бесповторной выборки для средней:

 

 =>  -  По таблице значений функции Лапласа

Предельная ошибка :   

Искомый доверительный интервал: 

           

б) Выборочная доля:

Средняя квадратическая ошибка бесповторной выборки для доли:

Искомая вероятность:

в) Объем бесповторной выборки:

В качестве неизвестного значения берем состоятельную оценку

 => По таблице значений функции Лапласа :    

 

 

2. По данным задачи 1, используя критерий -Пирсона, на уровне значимости =0,05, проверить гипотезу о том, что случайная величина Х

дневная выработка ткани – распределена по нормальному закону.

  Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и  соответствующую нормальную кривую.

 

Параметры нормального закона и неизвестны. Заменяем их выборочной средней и выборочной дисперсией . .

 

i	Интервал	Эмпирические частоты	Вероятности	Теоретические частоты
1	-∞-55	8	0,0470	4,70	10,89	2,317
2	55-65	7	0,1080	10,80	14,44	1,337
3	65-75	15	0,2063	20,63	31,697	1,536
4	75-85	35	0,2576	25,76	85,378	3,314
5	85-95	20	0,2130	21,30	1,69	0,079
6	95-105	8	0,1158	11,58	12,816	1,107
7	105-∞	7	0,0523	5,23	3,133	0,599
		100	1	100	-	10,289

 

Расчет вероятности с использованием таблицы значений функции Лапласа:

 

 

Число степеней свободы k = m – r – 1= 7 – 2 – 1 = 4, где m = 7 – число интервалов, r = 2 – два параметра нормального закона распределения. Соответствующее критическое значение статистики:

    => гипотеза о нормальном распределении опытных данных отклоняется.

 

Выравнивающая нормальная кривая построена по точкам  , где  - середины интервалов.

Максимум выравнивающей кривой в точке :

 

3. Распределение 50 однотипных предприятий по основным фондам Х (млн руб.) и себестоимости единицы продукции Y (млн руб.) представлены в таблице.

 

Х    \   Y		1	2	3	4	5	Итого
	30-80			1	2	3	6
	80-130			1	4	3	8
	130-180		4	8	3	1	16
	180-230	2	5	4			11
	230-280	3	4	2			9
Итого		5	13	16	9	7	50

 

Необходимо:

1) Вычислить групповые  средние  и  , построить эмпирические линии регрессии.

2) Предполагая, что между  переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить себестоимость выпускаемой продукции на предприятии с основными фондами 270 млн руб.

 

1) Групповые средние:

   l = 5, m = 5

 

Y   X												ni
		1		2		3		4		5
30	55					1		2		3		6	4,33
80
80	105					1		4		3		8	4,25
130
130	155			4		8		3		1		16	3,06
180
180	205	2		5		4						11	2,18
230
230	255	3		4		2						9	1,89
280
nj		5		13		16		9		7		50
		235,0		205,0		170,6		110,6		90,7