Креслення на уроках математики

 

 

2.1 Базові задачі на  побудову на площині

 

В процесі вивчення геометрії особливе місце займають задачі на побудову. Вони є важливими, бо вимагають від учня саме діяльності (провести, відкласти, поділити тощо).

Розв’язання задач на побудову полегшує початок розвитку просторової уяви, бо аналіз в задачі на побудову – це міркування в процесі пошуку способів розв’язання, коли учень «робить вигляд», що шукана побудова відбулася [1].

Такі задачі також сприяють формуванню в учнів вміння виділяти окремі кроки в процесі розв’язання та фіксувати їх в процесі його пояснення, бо при розв’язанні задач на побудову такі кроки пов’язані з практичною діяльністю.

З іншого боку, задачі на побудову у старших класах сприяють формуванню строгості логічного мислення (відокремлення аналізу умови від саме побудови, а останнього від доведення; необхідної умови від достатньої), а їх запис – вміння обґрунтовано та лаконічно формулювати думку.

Свідченням математичної культури учнів є чітке усвідомлення умови задачі, вміння моделювати розв’язання та виділяти логічні кроки доведень, лаконічність записів розв’язування задач, правильне і раціональне використання позначень та математичної символіки.

Відомо, що при обґрунтуванні логічних кроків розв’язання задач як на доведення, так і на обчислення, учні повинні спиратись на опорні факти.

Опорні факти — це відомі математичні твердження, співвідношення, які є підставою для логічних висновків. Ними можуть бути:

• математичні твердження, що містить теоретичний матеріал шкільного підручника (аксіоми, теореми, ознаки, означення);
• базові (опорні) задачі, на які учні в процесі навчання спиралися при розв’язанні складених задач;
• відомості, одержані учнями поза шкільною програмою під керівництвом вчителя або самостійно.

 Опорними задачами (фактами) геометричних побудов є: побудова перпендикуляра до заданої прямої, що проходить через задану точку (на даній прямій, або поза нею); кута, що дорівнює даному; знаходження середини відрізка; побудова бісектриси кута та інші. Розглянемо ці задачі більш детально.

 

 

1. Побудова перпендикуляра із даної точки до прямої:

• із даної точки С проводять дугу кола довільного радіуса так, щоб вона пересікала пряму, задану відрізком АВ, в точках D і F;

• із цих точок описують дві дуги кола радіусом R, дещо більшим половини відрізка DF, до перетину в точці Е;
• точки С і Е з’єднують прямою, яка і буде шуканим перпендикуляром (див. рис. 2.1).

Рисунок 2.1 – Побудова перпендикуляра із даної точки до прямої

 

2. Побудова кута, що дорівнює заданому

Нехай даний кут АВС. Необхідно побудувати такий же кут, але зі стороною DE і вершиною в точці D. Для цього:

• із вершини В даного кута проведемо дугу кола довільного радіусу R, яка пересікає сторони 1 і 2;
• з вершини D шуканого кута тим же радіусом R проведемо дугу кола, яка пересікатиме відрізок DE в точці 3;
• з точки 3 проведемо дугу радіусом r, який дорівнює довжині відрізка 12, до перетину з раніше проведеною дугою радіуса R в точці 4;
• через отриману точку 4 і точку D проводимо сторону шуканого кута, якої не вистачає (див. рис. 2.2).

Рисунок 2.2 – Побудова кута, що дорівнює заданому

 

3. Ділення відрізка на дві і чотири рівні частини:

• з кінців відрізка А і В циркулем проводять дві дуги кола радіусом R, дещо більшим від половини відрізка, до взаємного перетину в точках а і b;

• через отримані точки а і b проведемо пряму, яка пересікає відрізок АВ в точці С, яка ділить відрізок на дві рівних частини;
• проводимо аналогічні побудови для відрізків АС і СВ, отримуємо точки D і F. Точки С, D і F ділять відрізок АВ на чотири рівні частини (див. рис. 2.3).

4. Побудова бісектриси кута:

• із вершини кута проводять дугу кола довільного радіусу r до перетину зі сторонами кута в точках D і F;
• з отриманих точок проводять дві дуги радіуса R, величина якого більша половини довжини дуги  DF, до взаємного перетину в точці К;
• пряма, що проходить через вершину В і точку К – шукана бісектриса даного кута (див. рис.2.4).

Рисунок 2.3 – Ділення відрізка на дві і чотири рівні частини

Рисунок 2.4 – Побудова бісектриси кута

2.2 Побудови фігур при  розв’язанні задач із стереометрії

 

В старших класах учні вивчають розділ геометрії, в якому розглядаються як плоскі, так і об’ємні фігури. Одна із труднощів, з якою зустрічаються в стереометрії, це зображення об’ємних тіл на площині. Саме тут можуть знадобитись знання, отримані з курсу креслення, особливо розділ – паралельне проектування [6].

У всіх випадках, коли розглядаються просторові фігури, доводиться будувати їх зображення на горизонтальній площині: спочатку зображення основи фігури, а потім решти її елементів (висот, твірних, вершин, ребер тощо). Іноді можна обмежитися зображенням відповідного перерізу фігури, наприклад, коли розглядаються конус, циліндр, фігури обертання, комбінації фігур обертання з многогранниками тощо.

Дуже часто в учнів викликають труднощі в  записі розв'язування задач  з стереометрії. Ці труднощі полягають у тому, що тематика геометричних задач дуже різноманітна, а способи розв'язування важко піддаються алгоритмізації, як це можна спостерігати при розв'язуванні рівнянь, нерівностей, їх систем, дослідженні функцій тощо. Однією з причин цього є складність, пов'язана з використанням малюнка до задачі, тобто з правильним усвідомленням змісту задачі, просторової форми фігури, про яку йдеться в ній, іншими словами, з уміннями зробити геометричний запис того, що дано в умові задачі.

Малюнок у геометричній задачі відіграє надзвичайно важливу роль. Він має допомогти учневі конкретніше уявити собі ті абстрактні геометричні об'єкти, які даються в умові задачі, розібратись у взаємному положенні всіх тих ліній, кутів, площин, які йому треба розглянути, щоб розв'язати задачу.

Добре виконаний малюнок сприяє розвитку просторової уяви учня, його окоміру, допомагає правильно встановити співвідношення між частинами фігури та її елементами, тобто дає можливість швидше визначити план і шлях розв'язування задачі.

Малюнок тільки тоді може виконувати позитивну роль, коли він правильно і наочно відображає форму і співвідношення між елементами даної геометричної фігури.

Щоб малюнок став справді ефективним засобом розв'язування геометричної задачі, в процесі його виконання мають бути реалізовані такі вимоги:

1) правильність, яка означає, що існує такий спосіб проекції, при якому зображення фігури  подібне до одержання проекції;

2) наочність, яка передбачає, що образ фігури створює те  саме враження, що і її прообраз;

3) простота побудови, яка  полягає в тому, що при виконанні  додаткових побудов не доводиться  користуватися складними допоміжними  побудовами;

4) повнота, суть якої полягає  в тому, що за розташуванням  всіх елементів геометричної  фігури на малюнку можна судити про розташування цих елементів у просторі;

5) метрична визначеність, яка означає, що малюнок визначає  зображену геометричну фігуру  з точністю до подібності.

Реалізувати ці вимоги допомагають правила побудови зображень геометричних фігур.

При побудові стереометричних фігур більшість учнів вдається до довільної паралельної проекції, але часто без урахування інваріантних її властивостей, що знижує якість виконання робіт.

Зображенням фігури (прообразу) називається будь-яка фігура (образ), подібна до паралельної проекції даної фігури на деяку площину.

Форма її зображення залежить, перш за все, від положення зображуваної фігури по відношенню до площини проекції, а також від вибору напрямку проектування. Способи побудови зображення фігури ґрунтуються на властивостях паралельного проектування (мається на увазі загальний випадок, коли проектування здійснюється паралельно прямій, не паралельній прямим чи відрізкам, що проектуються):

1) проекція точки —  точка;

2) проекція прямої —  пряма;

3) проекція паралельних прямих — паралельні;

4) відношення довжин відрізків  прямої (що проектується) дорівнює  відношенню довжин їх проекцій;

5) відношення довжин проекцій  двох паралельних відрізків дорівнює  відношенню довжин відрізків, що  проектуються.

Паралельне проектування можна розглядати також як геометричне перетворення з деякими інваріантами, найважливіші з них:

а) прямолінійність відрізків, променів, прямих;

б) паралельність відрізків, променів, прямих;

в) відношення довжин відрізків однієї і тієї ж прямої;

г) відношення довжин відрізків двох паралельних прямих.

Отже, якщо відрізок, що зображується, паралельний площині малюнка, то його проекція паралельна і дорівнює даному відрізку, в решті випадків — проекція не паралельна зображуваному відрізку, а її довжина залежить від величини кута нахилу прямих, що проектуються. Якщо площина кута, що зображується, паралельна площині, то проекцією є кут, який дорівнює куту, що зображується, в решті ж випадків — кут-прообраз і кут-образ не будуть рівними.

 

 

 

2.3 Приклади геометричних побудов при паралельному проектуванні

 

1. В рівносторонньому  трикутнику АВС проведіть висоту АН [6].

Розв’язок: зауважимо, що під час паралельного проектування не зберігається величина кута і співвідношення відрізків, які лежать на прямих, що пересікаються. Отже, рівносторонній трикутник АВС може бути зображений як довільний трикутник А1В1С1. Так як точка Н – середина відрізка ВС (в рівносторонньому трикутнику висота є і медіаною), то і точка Н1 – середина відрізка В1С1 (див. рис. 2.5).

Отже, відрізок А1Н1 і є зображенням висоти.

Рисунок 2.5 – Зображення висоти в рівносторонньому трикутнику при паралельному проектуванні

 

2. Для квадрату ВСРН побудуйте ОК – радіус вписаного кола.

Розв’язок: центром вписаного в квадрат кола є точка перетину його діагоналей, а радіус – це відрізок, який сполучає точку перетину діагоналей з серединою його сторони. Тому зобразимо квадрат у вигляді паралелограма (не зберігається величина кута і відношення відрізків на прямих, що пересікаються), проведемо його діагоналі, визначимо середини сторони та діагоналі, проведемо відрізок, який сполучає ці дві точки (див. рис. 2.6).

Рисунок 2.6 – Зображення радіуса вписаного в квадрат кола при паралельному проектування

 

3. Побудувати діаметр  кола.

Розв’язок: якщо у колі провести дві паралельні хорди і провести ще одну хорду, яка проходить через середини двох раніше проведених хорд, то остання хорда і є діаметром кола. Коло при паралельному проектуванні зображується у вигляді еліпса.

Відрізок АВ – діаметр кола (див. рис. 2.7).

Рисунок 2.7 – Зображення діаметра кола при паралельному проектуванні

4. Побудувати переріз  трикутної піраміди ОАВС, який проходить через точки М, Н, Р, за умови, що точка Р лежить на відрізку ОА, точка М лежить на відрізку АВ, точка Н лежить на відрізку ВС.

Розв’язок:

• площина перерізу пересікає площину грані (АОВ) по прямій МР;
• площина перерізу пересікає площину грані (АВС) по прямій МН;
• прямі МН і АС пересікаються в точці Х;
• площина перерізу пересікає площину грані (АОС) по прямій РХ;
• пряма РХ пересікає відрізок ОС в точці К.

Чотирикутник МРКН – шуканий переріз (див. рис. 2.8).

Рисунок 2.8 – Побудова перерізу трикутної піраміди