Лекции по "Математике"

Определение

Пусть дано вероятностное пространство  , и на нём определена случайная величина   с распределением  . Тогда функцией распределения случайной величины   называется функция  , задаваемая формулой:

.

То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины   называют функцию  , значение которой в точке   равно вероятности события  , то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых  .

Свойства

 непрерывна справа:^[1]

 не  убывает на всей числовой прямой.

.

.

Распределение случайной  величины   однозначно определяет функцию распределения.

Верно и обратное: если функция   удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что   является её функцией распределения.

По определению непрерывности  справа, функция   имеет правый предел   в любой точке  , и он совпадает со значением функции   в этой точке.

В силу неубывания, функция   также имеет и левый предел   в любой точке  , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция   либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

 

1. Дискретная случайная  величина, закон и функция распределения

Дискретной называют случайную величину, значения которой изменяются не плавно, а скачками, т.е. могут принимать только некоторые заранее определённые значения. Например, денежный выигрыш в какой-нибудь лотерее, или количество очков при бросании игральной кости, или число появления события при нескольких испытаниях. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счётным множеством) 
Для сравнения - непрерывная случайная величина может принимать любые значения из некоторого числового промежутка: например, температура воздуха в определённый день, вес ребёнка в каком-либо возрасте, и т.д.

Закон распределения дискретной случайной величины представляет собой перечень всех её возможных значений и соответствующих вероятностей. Сумма всех вероятностей Σp_i = 1. Закон распределения также может быть задан аналитически (формулой) и графически (многоугольником распределения, соединяющим точки (x_i; p_i)

Функция распределения случайной величины - это вероятность того, что случайная величина (назовём её ξ) примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x: 
F(X) = P(ξ < X). 
Для дискретной случайной величины функция распределения вычисляется для каждого значения как сумма вероятностей, соответствующих всем предшествующим значениям случайной величины. Ниже будет приведён пример, разъясняющий смысл сказанного.

2. Числовые характеристики  дискретных случайных величин

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности: 
M(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + x_np_n

Свойства математического  ожидания. 
1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине: 
М(С) = С 
2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: 
М(СХ) = С·М(Х) 
3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: 
М(Х₁ + Х₂ + …+ Х_n) = М(Х₁) + М(Х₂) + ... + М(Х_n) 
4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: 
М(Х₁ · Х₂ · ... · Х_n) = М(Х₁) · М(Х₂) · ... · М(Х_n)

Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: 
D(X) = (x₁ - M(X))²p₁ + (x₂ - M(X))²p₂ + ... + (x_n- M(X))²p_n = x²₁p₁ + x²₂p₂ + ... + x²_np_n - [M(X)]²

Свойства дисперсии. 
1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0 
2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С² · D(Х) 
3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х₁ ± Х₂ ± ... ± Х_n) = D(Х₁) + D(Х₂) + ... + D(Х_n)

Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии: 
σ(X) = √D(X)

Мода дискретной случайной величины Mo(X) - это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность. На многоугольнике распределения мода - это абсцисса самой высокой точки. Бывает, что распределение имеет не одну моду.

Коэффициент вариации случайной величины - это относительная мера вариации. 
V(X) = |σ(X)/M(X)| · 100%

Асимметрия (коэффициент асимметрии) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) As(X) - величина, характеризующая степень асимметрии распределения относительно математического ожидания. Коэффициент асимметрии дискретной случайной величины вычисляется по формуле: 
As(X) = [(x₁-M(X))³p₁ + (x₂-M(X))³p₂ + ... + (x_n-M(X))³p_n]/σ³ 
Если коэффициент асимметрии отрицателен, то либо большая часть значений случайной величины, либо мода находятся левее математического ожидания, и наоборот, если As(X)>0, то правее.

Эксцесс (коэффициент эксцесса) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) Ex(X) - величина, характеризующая степень островершинности или плосковершинности распределения, т.е. степень так называемого «выпада». Коэффициент эксцесса дискретной случайной величины вычисляется по формуле: 
Ex(X) = [(x₁-M(X))⁴p₁ + (x₂-M(X))⁴p₂ + ... + (x_n-M(X))⁴p_n]/σ⁴ - 3

 

 

 

Непрерывные случайные  величины  
 
     Интегральная функция (функция распределения)  

     

Свойства:     

1)  ;     

2)  ;     

3)  ;     

4)  .

 
     Дифференциальная  функция распределения (плотность  вероятности)  

где F(x) - интегральная функция.     

Свойства:     

1)  ;     

2)  ;     

3)  ;     

4)  .

 
     Числовые характеристики непрерывной случайной величины  
 
     Математическое ожидание  

 
     Дисперсия  

Свойства математического  ожидания

 

            1) Математическое ожидание постоянной  величины равно самой постоянной.             

2) Постоянный множитель  можно выносить за знак математического  ожидания.            

3) Математическое ожидание  произведения двух независимых  случайных величин равно произведению  их математических ожиданий.           

 Это свойство справедливо  для произвольного числа случайных  величин.           

4) Математическое ожидание  суммы двух случайных величин  равно сумме математических ожиданий  слагаемых.        

Это свойство также справедливо  для произвольного числа случайных  величин.        

Пусть производится п независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р.            

Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.            

Однако, математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.           

 Это отклонение равно  разности между случайной величиной  и ее математическим ожиданием.  При этом математическое ожидание  отклонения равно нулю. Это объясняется  тем, что одни возможные отклонения  положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного  погашения получается ноль. 

Свойства дисперсии

1)      Дисперсия постоянной величины равна нулю.           

2) Постоянный множитель  можно выносить за знак дисперсии,  возводя его в квадрат.           

3) Дисперсия суммы двух  независимых случайных величин  равна сумме дисперсий этих  величин.           

4) Дисперсия разности  двух независимых случайных величин  равна сумме дисперсий этих  величин.           

 Справедливость этого  равенства вытекает из свойства 2. 

 

 

            Теорема. Дисперсия числа появления  события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления события в каждом испытании.  

 

Определения

Если дана случайная величина   определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

• -м нача́льным моментом случайной величины   где   называется величина

если математическое ожидание   в правой части этого равенства определено;

• -м центра́льным моментом случайной величины   называется величина

• -м абсолю́тным и  -м центральным абсолютным моментами случайной величины   называется соответственно величины

 и 

• -м факториальным моментом случайной величины (Стефенсен)   называется величина

если математическое ожидание в  правой части этого равенства  определено.^[1]

Абсолютные моменты могут  быть определены не только для целых  , но и для любых положительных действительных в случае, если соответствующие интегралы сходятся.

 

Вычисление моментов

• Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью   имеем:

если 

а для дискретного распределения с функцией вероятности 

если 

 

 

 

Мода — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле:

где:

•  — значение моды
•  — нижняя граница модального интервала
•  — величина интервала
•  — частота модального интервала
•  — частота интервала, предшествующего модальному
•  — частота интервала, следующего за модальным

Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот   , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

М_е = (n_{(число признаков в совокупности)} + 1)/2,

в случае четного числа  признаков медиана будет равна  средней из двух признаков находящихся  в середине ряда).

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем — значение медианы по формуле:

где:

•  — искомая медиана
•  — нижняя граница интервала, который содержит медиану
•  — величина интервала
•  — сумма частот или число членов ряда
•  - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному
•  — частота медианного интервала

 

 

Распределения дискретных случайных  величин

Биномиальное распределение. Дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение, если ее возможные значения 0, 1, 2, ... , m, … , n,  а соответствующие им вероятности равны:

             (21)

где  0 < p < 1,  q = 1 – p ;  m = 0, 1, 2, ... , n.   

Как видно из (21), вероятности Рm вычисляются, как члены разложения бинома Ньютона  , откуда и название «биномиальное распределение».