Лекции по "Математике"

Примером  является выборочный контроль качества производственных изделий, при котором  отбор изделий для пробы производится по схеме случайной повторной выборки, т.е. когда проверенные изделия возвращаются в исходную партию. Тогда количество нестандартных изделий среди отобранных есть случайная величина с биномиальным законом распределения вероятностей. 

Биномиальное  распределение определяется двумя  параметрами: n  и  p. Cлучайная величина, распределенная по биномиальному закону, имеет следующие основные числовые характеристики:

            (22)

Распределение Пуассона. Дискретная случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если она имеет бесконечное счетное множество возможных значений 0, 1, 2, ... , m, …,  а соответствующие им вероятности определяются формулой:

        (23)

Примерами случайных явлений, подчиненных  закону распределения Пуассона, являются: последовательность радиоактивного распада  частиц, последовательность отказов  при работе сложной компьютерной системы, поток заявок на телефонной станции и многие другие.  
Закон распределения Пуассона (23) зависит от одного параметра а , который одновременно  является и математическим ожиданием, и дисперсией случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона. Таким образом, для распределения Пуассона имеют место следующие основные числовые характеристики:

          (24)

 
Геометрическое распределение. Дискретная случайная величина Х имеет геометрическое распределение, если ее возможные значения 0, 1, 2, ... , m, … , а вероятности этих значений:

          (25)

где 0 < p < 1,  q = 1 – p ;  m = 0, 1, 2, ... .

Вероятности Рm для последовательных значений m образуют геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q, откуда и название «геометрическое распределение».

В качестве примера рассмотрим стрельбу по некоторой цели до первого попадания, причем вероятность попадания при каждом выстреле не зависит от результатов предыдущих выстрелов  и сохраняет постоянное значение р (0 < p < 1). Тогда количество произведенных выстрелов будет случайной величиной с геометрическим распределением вероятностей. 

Геометрическое  распределение определяется одним  параметром р. Cлучайная величина, подчиненная геометрическому закону распределения, имеет следующие основные числовые характеристики:

           (26) 

Гипергеометрическое распределение. Дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение с параметрами  a, b,  n,  если ее возможные значения  0, 1, 2, ... , m, … , а  имеют вероятности:

            (27)

 
Гипергеометрическое распределение  возникает, например, когда из урны, содержащей  а  черных и  b белых шаров, вынимают n шаров. Случайной величиной, подчиненной гипергеометрическому закону распределения, является число белых шаров среди вынутых. Основные числовые характеристики этой случайной величины:

 

Равномерное распределение. Непрерывная величина  Х  распределена равномерно на интервале (a, b), если все ее возможные значения находятся на этом интервале и плотность распределения вероятностей постоянна:

            (29)

 
Для случайной величины Х , равномерно распределенной в интервале (a, b) (рис. 4), вероятность попадания в любой интервал (x1, x2), лежащий внутри интервала (a, b), равна:

           (30) 
  
Рис. 4. График плотности равномерного распределения 

 

Примерами равномерно распределенных величин  являются ошибки округления. Так, если все табличные значения некоторой  функции округлены до одного и  того же разряда  , то выбирая наугад табличное значение, мы считаем, что ошибка округления выбранного числа есть случайная величина, равномерно распределенная в интервале   

Показательное распределение. Непрерывная случайная величина  Х  имеет показательное распределение, если плотность распределения ее вероятностей выражается формулой:

          (31)

График  плотности распределения вероятностей (31) представлен на рис. 5.

  
Рис. 5. График плотности показательного распределения 

 

Время Т безотказной работы компьютерной системы есть случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром λ , физический смысл которого – среднее число отказов в единицу времени, не считая простоев системы для ремонта.

Нормальное (гауссово) распределение. Случайная величина  Х  имеет нормальное (гауссово) распределение, если плотность распределения ее вероятностей определяется зависимостью:

            (32)

где m = M(X) ,  .

При    нормальное распределение называется стандартным.

График  плотности нормального распределения (32) представлен на рис. 6.

  
Рис. 6. График плотности нормального  распределения 

 

Нормальное  распределение является наиболее часто  встречающимся в различных случайных  явлениях природы. Так, ошибки выполнения команд автоматизированным устройством, ошибки вывода космического корабля  в заданную точку пространства, ошибки параметров компьютерных систем и т.д. в большинстве случаев имеют  нормальное или близкое к нормальному распределение. Более того, случайные величины, образованные суммированием большого количества случайных слагаемых, распределены практически по нормальному закону.

 

Теорема Пуассона

 

 

Теорема Пуассона в теории вероятностей описывает способ получения распределения Пуассона как предел биномиальных распределений.

Формулировка  Править

Пусть есть   Пусть также дана последовательность   такая, что

Тогда

Уточнённая теорема  Пуассона  Править

Пусть   и   Тогда

Замечания  Править

• Таким образом функция вероятности биномиального распределения   сходится к функции вероятности распределения Пуассона 
• Уточнённая теорема Пуассона позволяет оценить качество приближения распределения Пуассона биномиальным распределением для фиксированных   и 

 

Локальная и интегральная теоремы  Лапласа

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)

Для определения значений φ(x) можно  воспользоваться специальной таблицей.

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, приближенно равна

P(k₁;k₂)=Φ(x'') - Φ(x')

Здесь

-функция Лапласа

Значения функции Лапласа находят  по специальной таблице.

 

Определения

Определение:

Cлучайные величины   и   называются независимыми, если   события   и   независимы.

Иначе говоря, две случайные  величины называются независимыми, если по значению одной нельзя сделать  выводы о значении другой.

Независимость в  совокупности

Определение:

Случайные величины   называются независимы в совокупности, если события   независимы в совокупности[1].