Лекции по высшей математике

При этом важно отметить, что скалярное произведение дает объем параллелепипеда иногда с положительным, а иногда с отрицательным знаком. Положительный знак получается, если угол между векторами и острый; отрицательный – если тупой.

Таким образом, смешанное произведение есть число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда, построенного на векторах , , как на ребрах

Знак произведения положителен, если векторы  , , образуют систему, одноименную с основной, и отрицателен в противном случае.

Абсолютная величина смешанного произведения остается той же, в каком бы порядке мы ни брали сомножители. Что касается знака, то он будет в одних случаях положительным, в других – отрицательным; это зависит от того, образуют ли наши три вектора, взятые в определенном порядке, систему одноименную с основной, или нет. Заметим, что у нас оси расположены так, что они следуют одна за другой против часовой стрелки, если смотреть во внутреннюю часть трехгранного угла. Порядок следования не нарушается, если мы начнем обход со второй оси или с третьей, лишь бы он совершался в том же направлении, т.е. против часовой стрелки. При этом множители переставляются в круговом порядке (циклически). Таким образом, получается следующее свойство:

Смешанное произведение не меняется при круговой (циклической) перестановке его сомножителей. Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения:

.

Наконец, из геометрического смысла смешанного произведения непосредственно  следует следующее утверждение.

Необходимым и достаточным  условием компланарности векторов , , является равенство нулю их смешанного произведения:

.

 

6. Матрицы. Основные  понятия. Сложение и разность  матриц.

Таблица чисел  вида

,

обозначаемая кратко (i = 1, 2, 3, …, m; j = 1, 2, 3, …, n), состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размера . Числа называются ее элементами. Это прямоугольная матрица. В частности, когда m = 1, n > 1, мы имеем однострочечную матрицу , которую называют матрицей-строкой. Если же m > 1, n = 1, мы имеем одностолбовую матрицу, которую называют матрицей-столбцом. Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом.

Матрица, в которой все элементы кроме главной диагонали равны  нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, в которой  все элементы на диагонали равны 1, называется единичной.

Если в матрице число  строк равно числу столбцов (m = n), то такую матрицу называют квадратной, причем число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. Например, матрица

есть квадратная матрица второго  порядка, а матрица

есть квадратная матрица третьего порядка.

Матрицу для краткости будем  обозначать одной буквой. Например, буквой A.

Две матрицы A и B называются равными (A = B), если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов) и их соответствующие элементы равны. Так, если

  и   ,

то A = B, если , , , .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну строну от главной диагонали, равны нулю.

 

Сложение матриц. Матрицы одинакового размера можно складывать.

Суммой двух таких матриц A и B называется матрица C, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц A и B. Символически будем записывать так: A + B = C.

Так, если

  и   ,

то их суммой называется матрица

Легко видеть, что сложение матриц подчиняется переместительному  и сочетательному законам:

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуль-матрицей и обозначается (0) или просто 0.

Нуль-матрица при сложении матриц выполняет роль обычного нуля при сложении чисел: A + 0 = A

A – A = 0

 

Вычитание матриц. Разностью двух матриц A и B одинакового размера называется матрица C, такая, что

C + B = A.

Из этого определения следует, что элементы матрицы C равны разности соответствующих элементов матриц A и B.

Обозначается разность матриц A и B так: C = A – B.

Матрица – A = (–1)A называется обратной.

Разность матриц можно записать так: A – B = A + (–1)B.

 

7. Матрицы. Основные  понятия. Умножение на число  и произведение. Элементарные преобразования матриц.

Основные понятия в 6 главе.

 

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A на число называется матрица, элементы которой равны произведению числа на соответствующие элементы матрицы A.

Отсюда следует, что при умножении  матрицы на нуль получается нуль-матрица.

 

Умножение матриц. Рассмотрим правило умножения двух квадратных матриц второго и третьего порядков. Пусть даны две матрицы

, .

Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C = AB, элементы которой составляются следующим образом:

.

Это правило сохраняется для  умножения квадратных матриц третьего и более высокого порядка, а также для умножения прямоугольных матриц, в которых число столбцов матрицы-множимого равно числу строк матрицы-множителя.

В результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько  строк, сколько их имеет матрица-множимое, и столько столбцов, сколько их имеет матрица-множитель.

При умножении матриц второго порядка  особое значение имеет квадратная матрица

.

Матрица E называется единичной матрицей.

При умножении любой квадратной матрицы A второго порядка на матрицу E снова получится матрица A.

Если в матрице A сделать все строчки столбцами с тем же номером, то получим матрицу , называемую транспонированной к матрице A.

Транспонированная матрица обладает свойствами:

 

Свойства:

1. AB BA.  Произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону. Если все же AB = BA, то матрицы A и B называются перестановочными.
2. A(BC) =(AB)C Умножение матриц подчиняется сочетательному закону.
3. Произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице.
4. A(B + C) =AB + AC
5. (A + B)C =AC + BC

 

Элементарные преобразования матриц.

1. Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы.
2. Умножение всех элементов ряда на число отличное от нуля.
3. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

 

Матрицы A и B называются эквивалентными, когда одна получается из другой путем элементарных преобразований. Эквивалентность двух матриц обозначается с помощью символа следования, т.е. .

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, в которой на главной диагонали стоит 1, а все остальные элементы равны 0. такую матрицу называют канонической.

 

Если A – квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условиям:

, ,

где E – единичная матрица.

Утверждение. Квадратная матрица имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда .

Утверждение. Элементы обратной матрицы , если она существует, можно найти по формуле              или ,

где – алгебраическое дополнение к элементу матрицы , - алгебраическое дополнение к элементу транспонированной матрицы .

Примеры.

Найти матрицу  обратную к , если .

Решение. Прежде всего, вычислим определитель матрицы , чтобы убедиться в возможности существования обратной матрицы.

Следовательно, для  существует обратная матрица.

Воспользуемся теперь формулой, выражающей элементы обратной матрицы  через алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы. Для имеем .

Вычислим последовательно  элементы :

,  ,

 

,  ,

,  ,

 

,  ,

.

С учётом полученного обратная к  матрица имеет вид: .

 

8. Определители. Правила  вычисления. Ранг матрицы. Свойства ранга.

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка  .

Определение. Определителем второго порядка, соответствующим матрице A, называется число, равное . Определитель обозначается символом (кратко ). Таким образом, . (1)

Элементы матрицы A называются элементами определителя , элементы образуют главную диагональ, а элементы – побочную.

Из равенства (1) видно, что для вычисления определителя второго порядка надо из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Величина определителя

1. не меняется, если заменить его строки соответствующими столбцами,
2. не меняется, если к элементам какой-либо его строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и то же число,
3. меняет знак, если поменять местами его строки или столбцы,
4. увеличивается в раз, если элементы какого-либо его столбца или строки увеличить в раз, т.е. общий множитель, имеющийся в строке или столбце, можно выносить за знак определителя,
5. равна нулю, если элементы какого-либо его столбца или строки равны нулю,
6. равна нулю, если элементы двух строк или столбцов соответственно равны.

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице A, называется число, равное

  (2)

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства следует брать со знаком «плюс», какие – со знаком «минус», полезно правило, называемое правилом треугольника.

Определение. Минором какого-либо элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит этот элемент. Минор элемента определителя обозначается через .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор, взятый со знаком .

Например, алгебраическим дополнением элемента определителя является определитель, взятый со знаком «минус». Алгебраическое дополнение элемента обозначается как . Следовательно, .

Определение. Матрицей из m строк, n столбцов называется прямоугольная таблица чисел ; - элемент матрицы; i-номер строки; i=1,…,m; j-номер столбца, j=1,…,n; m, n – порядки матрицы. При m = n – квадратная матрица.

Теорема 1. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

  (3)

Формула (3) называется разложением  определителя по элементам первой строки.

Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим матрице , называется число .

Для вычисления определителя можно использовать элементы произвольной строки или столбца.

Определение. Дополнительным минором элемента матрицы называется определитель матрицы n-го порядка, полученный из матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

.

Определение. Минор -го порядка матрицы называется её базисным минором, если он не равен нулю, а все миноры матрицы порядка и выше, если они существуют, равны нулю.

Определение. Наибольший порядок не равного нулю минора матрицы называется рангом матрицы . Ранг матрицы – это порядок её базисного минора. Для ранга матрицы используются такие обозначения: .

Определение. Если – ранг матрицы , то любой не равный нулю минор - го порядка, называется базисным минором.

Для нахождения ранга  матрицы, вообще говоря, можно проверить  равенство нулю всех миноров (любого порядка) данной матрицы, однако такой способ требует большого объёма вычислений. Более экономичным является способ, основанный на использовании того факта, что ранги эквивалентных матриц совпадают. Дело в том, что ранг матрицы совпадает с числом линейно-независимых строк (столбцов), а это число не меняется при элементарных преобразованиях. По этому способу матрица приводится к диагональному виду, из которого не равный нулю минор наивысшего порядка находится без затруднений.