Математические модели и их свойства

Новоуренгойский филиал

негосударственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

 «Российский  новый университет»

 

 

 

 

по дисциплине: «Методы оптимальных решений»

 

на тему:

 

 

 

Выполнила:

студентка НУ13П1ЭФ-Б

Степанова И.Л.

 

 

 

 

 

г.Новый Уренгой

2013г

 

                              1. Математические модели и их свойства

 

Прежде чем решать какую – либо жизненную задачу, человек старается взвесить имеющуюся у него информацию, выбрать из нее существенную. И только потом, когда станет более или менее ясно, из чего исходить и на какой результата рассчитывать, он приступает к решению  задачи. Иногда описанный процесс называют «уяснением задачи», фактически же это замена исходной жизненной задачи ее моделью. В осмыслении простейшей жизненной ситуации присутствует модельный подход, хотя человек обычно не замечает своей деятельности по созданию моделей – настолько она для него естественна. Иное дело, если возникающая задача затрагивает ключевые моменты жизни одного человека или какого – либо сообщества людей. Разнообразие информационных аспектов в каждой такой задаче настолько велико, что бывает сложно из всего многообразия информации об изучаемом явлении или объекте выбрать наиболее существенные. В таких случаях необходимо сделать упрощающее предположение, чтобы выделить исходные данные, определить, что будет служить результатом и какова связь между исходными данными и результатом. Все это – предположения, исходные данные, результаты, связи между ними – их называют моделью задачи.

Если построенная модель дает удовлетворительные результаты при решении жизненных задач, то говорят, что модель адекватна рассматриваемому объекту (процессу или явлению). Нередко для решения модельной задачи требуется некоторый инструментарий. Этот инструментарий обычно организуется в виде единого объекта, называемого исполнителем. Чтобы исполнитель мог получить ответ, ему нужны указания, что и как делать. Такие указания часто представляются в виде алгоритма, в котором задаются математические соотношения, связывающие исходные данные и результат. В этом случае говорят о построении математической модели задачи.

Обычно модель возникает как необходимый этап решения конкретной задачи. Однако в дельнейшем может происходить обособление модели от задачи, и модель начинает жить самостоятельно. Примером может служить сюжет движения с постоянной скоростью, который возникал в человеческой деятельности столь часто, что в конце концов обособился от задач и стал составляющей физического знания, называемого «равномерное прямолинейное движение». Теперь при необходимости решить какую – либо задачу, связанную с равномерным движением пользуются этой готовой моделью процесса. В одних задачах результатом может оказаться время, в других – пройденный путь, в третьих скорость. Остальные параметры модели процесса станут исходными данными.

Если же в задаче фигурирует не равномерное движение, а равноускоренное, то физика и здесь предложит готовую модель в виде формулы:   S = V0t + at2

2

Соответственно говоря, все естественные науки, использующие математику, можно считать математическими моделями явлений. Например, гидродинамика является моделью движения жидкости, математическая экономика – моделью процессов экономики и т.д. До появления ЭВМ математическое моделирование сводилось к построению аналитической теории явления. Не всегда математическую теорию явления удавалось доводить до возможности вывода формул. Природа оказывалась сложнее возможностей аналитических методов математики. Приходилось вносить значительные упрощения в модель явления, а тем самым обеднять выводы. В этом веке математика пополнилась мощным математическим методом исследования: моделированием сложных систем на ЭВМ. Теперь исследователь ставит перед собой не ту цель, что раньше – вывод расчетной формулы. Теперь он стремится вычислять те или иные параметры, характеризующие явление. Таким путем были исследованы сложные вопросы, связанные с термоядерными реакциями, поведением самолетов в критических ситуациях, влиянием различных факторов на экологические системы, распространением эпидемий и пр.

В настоящее время широко используется математическое моделирование и тогда, когда о физической структуре процесса известно крайне мало. В этом случае строится гипотетическая модель и на ее основе выводятся следствия уже доступные наблюдению. Если такие модели не оправдываются опытом, то они живут недолго и отмирают, уступив место другим моделям, позволяющим познать природу вещей точнее. История науки показывает, сколь большую роль сыграли научные гипотезы и построенные на их основе математические модели явлений.

Математический аппарат, применяемый при построении моделей, весьма разнообразен. Кроме классических разделов математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисление) широко используются современные разделы математики, в которых изучаются методы, позволяющие находить оптимальные решения: линейное, нелинейное и динамическое программирование. Для анализа многих операций применяют аппарат теории вероятностей. Это вызвано тем, что исследования проводятся в условиях, определенных не полностью, зависящих от случайных причин. В тех случаях, когда в центре внимания находятся вопросы динамики явлений, широко применяют аппарат дифференциальных уравнений, а в более сложных случаях используется метод статистического моделирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Практические задачи, приводящие  к исследованию линейной                   функции

 

          Задача 1 .

Расстояние между двумя шахтами А и В по шоссейной дороге 60 км. На шахте А добывается 200 т руды в сутки, на шахте В – 100 т в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наименьшим?

 

Выясняем, что суммарное количество тонно-километров изменяется в зависимости от места нахождения завода, вычислив его, например, для случаев, когда завод находится от пункта А на расстоянии 30 км, 20 км, 10 км. Далее приступаем к решению задачи, обозначив расстояние от завода С до шахты А через х:

 

           х                                  60 - х

                                                                                              АС = х

                                                                                              ВС = 60 - х

A_____________________________B      

 

 

 

Количество тонно-километров, пройденных транспортом от А до С за каждый день, составляет 200 х т/км, а от В до С – 100 (60 – х) т/км. Суммарное количество тонно-километров выразится функцией у = 200х + 100 (60 – х) = 100х + 6000, которая определена на сегменте [0; 60].

 

Ясно, что  это уравнение может иметь бесконечно много решений. Естественно  здесь поставить вопрос – найти дешевый вариант перевозок.

 

Исследуя функцию у = 100х + 6000 на сегменте [0; 60], получим уmin = 6000.

 

Эта линейная функция будет иметь минимальное значение при х = 0, уmin = 6000 т/км. Завод надо строить возле шахты А.

 

Для лучшего понимания этой задачи целесообразно дополнительно выяснить вопрос, где нужно бы построить завод, если бы:

 

а) в шахте А добывалось 100 т, а в шахте В – 200 т руды;

 

б) в шахте А – 200 т, а в шахте В – 190 т;

 

в) в шахте А и шахте В – по 200 т руды;

 

Чтобы решить этот вопрос, нужно найти на сегменте [0; 60] минимум функции:

 

а) у = 100х + 200(60 – х) = - 100х + 12000;

 

б) у = 200х + 190(60 – х) = 10х + 11400;

 

в) у = 200х + 200(60 – х) = 12000.

 

Из всего этого можно сделать такой вывод: если в шахте А добывается руды больше, чем в шахте В, то завод надо строить возле шахты А; если же количество руды в этих шахтах одинаковое, то завод можно строить в любом месте вблизи шоссейной дороги между шахтами А и В.

 

Задача 2.

На колхозной ферме нужно провести водопровод длиной 167 м. Имеются трубы длиной 5 м и 7 м. Сколько нужно использовать тех и других труб, чтобы сделать наименьшее количество соединений (трубы не резать)?

 

Учитывая, что количество как  одних, так и других труб может изменяться, количество 7 – метровых труб обозначим через х, а 5 – метровых – через у. Тогда  7х – длина 7-метровых труб, 5у – длина 5-метровых труб. Отсюда получаем неопределенное  уравнение

 

                                            7х + 5у = 167

 

Выразив, например, переменную у через переменную х, получим:

 

        

          Так как х, у Є Z, то методом перебора легко найти соответствующие пары значений х и у, которые удовлетворяют уравнение 7х + 5у = 167.

 

               (1; 32), (6; 25), (11; 18), (16; 11), (21; 4).

 

Из этих решений наиболее выгодное последнее, т.е. х = 21, у = 4.

 

 

 

 

 

 

Задача 3 .

Для изготовления двух видов изделий Аи В завод расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, запас которых ограничен. На изготовление указанных изделий заняты токарные и фрезерные станки в количестве, указанном в таблице.

 

Таблица

 

Затраты на одно изделие		А	В	Ресурсы
Материалы	Сталь (кг)	10	70	320
Материалы	Цветные металлы (кг)	20	50	420
Оборудование	Токарные станки (станко-ч)	300	400	6200
Оборудование	Фрезерные станки (станко-ч)	200	100	3400
Прибыль на одно изделие (в тыс.руб.)		3	8

 

                                                                                                             

                             Необходимо определить план выпуска  продукции, при котором будет  достигнута максимальная прибыль, если время работы фрезерных  станков используется полностью.

  

Решение.

 

Посмотрим математическую модель задачи. Обозначим через х число изделий вида А, а через у – число изделий вида В. На изготовление всей продукции уйдет (10 х +70у)кг стали и (20 х +50у) кг цветных металлов. Так как запасы стали не превышают 320 кг, а цветных металлов – 420 кг, то

10х +70у £ 320

 

20х + 50у  £  420

 

(300х +400у) ч – время обработки всех  изделий на токарных станках:

 

300х + 400 £ 6200

Учитывая, что фрезерные станки используются максимально, имеем:

 

200х +100у = 3400

 

Итак, система ограничений этой задачи есть:

 

10х  + 70у £ 320

  20х  +  50у £ 420

                                                    300х  +  400у £ 6200                                        (1)

      200х  + 100у = 3400

                                                             х  £ 0, у £ 0.

 Общая  прибыль фабрики может быть  выражена целевой функцией

 

                                                       F = 3х + 8у.                                                    (2)

 

Выразим у через x из уравнения 200х + 100у = 3400 и подставим полученное выражение вместо у в неравенства и целевую функцию:

 

  х +7(34 –2х) £  32

    2х + 5(34 – 2х) £ 42

       3х + 4( 43 – 2х) £ 62

                                                у = 43 – 2х                                                       (3)

                                                х ³ 0

34 – 2х ³ 0,

 

F = 3х + 8(34 – 2х) = -13+272                 (4)

Преобразуем систему ограничений (3):

 

                                                             11

13х  ³ 206                                    х³ 5 13

                                                                                                

8х  ³ 218                                      х ³ 16                           

                                                             4

5х  ³ 174                                     х £ 4 5                       

                                                                                                           16 £ х  £ 17

         5х ³ 74            Û                      0 £ х £ 17                          Û         

                                                                                                             у = 34 – 2х

          0 £ х £ 17                              

                                           

           у =34  - 2х                                 у = 34 – 2х 

 

Очевидно, что F =272 –3х принимает наибольшее значение, если х=16.