Математические модели и их свойства

Fнаиб = 272 – 13 * 16 – 64 (тыс. руб.)

 

Отдельно следует остановиться на случаях  использования ЭВМ  при решении задач оптимизации. Рассмотрим это на примере решения следующей задачи:

Задача 4.

В обработку поступила партия из 150 досок длиной по 7.5 м. каждая, для

изготовления комплектов из 4-х деталей. Комплект состоит из:

• 1 детали длиной 3 м.
• 2-х деталей длиной 2 м.
• 1 детали длиной 1.5 м

Как распилить все доски, получив наибольшее возможное число комплектов?

Решение.

 Для решения  этой задачи воспользуемся редактором  электронных таблиц EXCEL

 

Вводим в ячейки B3:D10  варианты возможного распила одной доски. В ячейках E3:E10 ставим по умолчанию количество  досок по одной. В ячейках F3:H10 суммируем получившиеся распиленные детали.

 

 

Способы	3м	2м	1,5м	Количество	3м	2м	1,5м
1	2	0	1	1	2	0	1
2	0	3	1	1	0	3	1
3	0	0	5	1	0	0	5
4	1	0	3	1	1	0	3
5	1	2	0	1	1	2	0
6	0	2	2	1	0	2	2
7	1	1	1	1	1	1	1
8	0	1	3	1	0	1	3
				8	5	9	16
						1
						23
						11

 

В ячейках E11:H11 суммируем количество досок и деталей.

Вводим формулы:

G11 -   ABS(2*F11-G11)

G12 -   ABS(G11-2*H11)

G13 -   ABS(F11-H11)

Входим во встроенную функцию EXCEL  Поиск Решения

Устанавливаем Целевую ячейку  E11

Ставим ограничения:

E3:E10=>0

E3:E10= ЦЕЛЫЕ

         G12<=1

G13<=1

G14<=1

Даем команду Выполнить

Машина выдает разультаты

Способы	3м	2м	1,5м	Количество	3м	2м	1,5м
1	2	0	1	34	68	0	34
2	0	3	1	33	0	99	33
3	0	0	5	0	0	0	0
4	1	0	3	0	0	0	0
5	1	2	0	47	47	94	0
6	0	2	2	24	0	48	48
7	1	1	1	12	12	12	12
8	0	1	3	0	0	0	0
				150	127	253	127
						1
						1

 

Видно, что для полных 127 комплектов не хватает  одной двухметровой детали.

То есть максимальное число комплектов – 126. Остаток – по одной детали всех типов.

Ответ: максимальное число комплектов – 126

 

3. Использование свойств квадратичной функции при решении экстремальных задач

          Задача 5.

Окно имеет форму прямоугольника ,завершенного полукругом. Периметр фигуры равен 6м .Каковы должны быть размеры окна,чтобы окно пропускало наибольшее количество света?

Решение.

Окно будет обладать наибольшей пропускной способностью,если при заданном периметре будет иметь максимальную площадь.

                                                         

       

 

 

                                                              Пусть AB=x, AD=y,тогда                      

                                                               P=AB+BC+AD+   DMC

                                                                P=x+2y+0,5  p  x  (1)

                                                               S=AB*BC+p  x /8

                                                               S=xy+     x  p/8    (2)

                                                               Из (1),(2) следует, что

                                                                S(x)=-(p/8 +1/2)x  +3x

Известно,что квадратный трехчлен принимает наибольшее значение при

x   =-b/2a,т.е. x  =12/(p +4), y= 6/ (p +4).

 

Ответ.Размеры окна 6/(p +4),12/(p +4).

 

Задача 6.

На учебном полигоне произведен выстрел из зенитного орудия в вертикальном

направлении не разрывающимся снарядом. Требуется определить наибольшую высоту

подъема снаряда, если начальная скорость снаряда ν0 = 300 м/с. Сопротивлением воздуха

пренебречь.

Решение.

Из курса физики известно, что путь s, пройденный телом при равноускоренном движении,  изменяется в зависимости от времени по закону s = s0 +  ν0 t + at2/ 2, где s0 – начальный путь, ν0 – начальная скорость, a – ускорение, t – время.

В рассматриваемом случае s =0,v  =300 м/с, а=-5 м/с  ,значит,S(t) = 300t – 5t2 .

Функция S(t) принимает наибольшее значение при

                            S(30)= 300*30-5*302  =4500(м)

Наибольшая высота подъема снаряда равна 4500 м.

 

Как видно из примеров, решение экстремальных задач дает возможность установить более тесную межпредметную связь алгебры, геометрии и физики. При их решении можно приобрести не только математическую информацию, но и знания из курса физики. Решение физических задач поучительно с точки зрения математики, так как можно показать тонкости тех или иных математических приемов в действии, в их практическом приложении. В частности, эти задачи помогают осознать, что функция, заданная аналитической формулой, может выражать зависимости между реальными величинами в самых различных явлениях и процессах. 

Задача 7.

Арка моста имеет форму параболы (высота 4 м, наибольшая ширина 20 м). Составьте уравнение этой параболы

Решение.

Уравнение параболы в данном случае имеет вид y = ax2 + c. Для определения a и c

 

 

 

 

 

 

подставим в этом уравнение координаты точек B и C (рис. 1), т.е.

4 = c                                             c = 4                                       c = 4,        

                                    Þ                                            Þ                              

0 = 100a + c                                 100a = -4                                a = - 0,04  

 

Парабола имеет вид: y = - 0,04x2 + 4.                 

            

                                                                                  у

 

 

 

 

                                                                                                                                     х

4.Применение методов дифференциального  исчисления при решении прикладных  задач.

 

Задача 8.

Проектируется канал оросительной системы с прямоугольным сечением в 4,5 м2. Каковы должны быть размеры сечения, чтобы для облицовки стенок и дна пошло наименьшее количество материала?

Решение.

        

 

Пусть стенки канала имеют длину x м., а дно канала – y м.

 

 

Тогда:

x*y=4,5      y=4,5/x

S= L*(2x+y) S=L*(2x+4,5/x)

 

 

Найдем производную.

                      Так как  S’=0, и L(длина канала)-положительное число,то

            x=1,5        Легко убедиться, что   при данном x значение S минимально

 

Ответ: x=1,5 м.    y=3 м.

 

Задача 9.

 

Какова должна быть скорость парохода, чтобы общая  сумма расходов на один км. пути была наименьшей,  если расходы на топливо за один час пропорциональна квадрату скорости.

 

Решение.

Расходы на 1км пути на эксплуатацию парохода состоят из расходов на топливо и других расходов (содержание команды, амортизация). Ясно, что чем быстрее движется  пароход, тем больше расход топлива. Остальные  расходы от скорости движения не зависят.

Обозначим через S-сумму расходов в час

                              V- скорость судна

Расходы на 1км выразится формулой  S/V

По условию имеем  S=KV2+b, где

K- коэффициент пропорциональности,

          b- расходы, кроме расходов на топливо.

         

Y=S/V     Y=(KV2+b)/V=KV+b/V

 

Надо найти значение V, при котором функция Y=KV+b/V имеет наименьшее значение.

 

Y¢=K=b/V2      Y¢=0

V=Öb/V            

Таким образом общая сумма расходов на 1 км. пути будет наименьшей при V=Öb/V.

Значение коэффициентов b и K определяются из опыта  эксплуатации парохода.

Задача 10.

Над центром круглого стола радиусом r висит лампа. На какой высоте h следует повесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность?

Из физики известна формула E=k*sinj/(h2+r2)

sinj=h/Ö(h2+r2)

Для упрощения решения задачи вместо функции

                                                   E=k*sinj/(h2+r2)=k*h/(h2+r2)3/2  возьмем функцию

 

                                                   T=1/k2*E2=h2/(h2+r2), для упрощения формулы заменим

                                                    h2=z

                                                     тогда:

                                                     T=z/(z+r2)3     T¢= ((z+r2)3-z*3*(z+r2)2)/ (z+r2)6=

 

                                                                                =(z+r2-3*r)/ ((z+r2)4

 

 

                                                       T¢=0® r2-2*r=0® z=r2/2    h=r/Ö2

Ответ. Освещенность максимальная, если h=r/Ö2

 

 

Задача 11.

Нахождение гидравлически наиболее выгодного трапециидального сечения русла.

Из всех сечений русла, представляющих собою равнобедренную трапецию, имеющих одинаковую площадь w и уклон i, найти то, которое будет пропускать наибольший расход Q.

Пояснение:

1. Расход  Q –это количество воды, проходящее через поперечное сечение русла в единицу времени

           2. Расход Q определяется  по формуле:  Q=w*cÖr*j    

w-площадьсечения

 c-коэффициент

 r-гидравлический радиус

 i-уклон дна русла

3. Гидравлический  радиус  есть отношение площади  сечения к смоченному периметру c:   r=w/c

  4. Смоченный  периметр есть линия соприкосновения  жидкости с поверхностью канала.

   5. Крутизна 1/m откоса есть отношение высоты откоса к заложению (АО).

Решение. Расход Q  зависит от r, и он будет наибольшим при rmax , что будет тогда, когдаcmin