Методы оптимальных решений

 

Общие требования

 

Семестровая работа по курсу «Методы оптимальных решений» состоит из решения задач по основным разделам курса. Каждая задача должна быть решена по индивидуальному варианту, определяемому последней цифрой, или двумя цифрами в списке группы.

Полученное решение – выписано и проанализировано. Все вычисления по ходу решения задач должны быть подробно записаны.                                                                                                                            Семестровая работа оформляется в тетради, или на формате А4 и сдается преподавателю. Проверенную работу студент должен исправить в соответствие со сделанными преподавателем замечаниями и защитить на консультации.

Задание 1. Графический метод решения задач линейного программирования.

 

1. Составить математическую модель по условию задачи.
2. Решить  задачу  геометрическим способом.
3. Сделать выводы.

 

Вариант 1. Фабрика выпускает продукцию двух видов: П1 и П2. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства этой продукции используются два исходных продукта – А, В. Расходы сырья А, В на 1 тыс. изделий П1 и П2 и их запасы приведены в таблице.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на 1 тыс. изделий (т)		Максимально возможный запас (т)
	П1	П2
А	8	13	104
В	26	16	208
Цена, тыс. руб.	6	2

 

Изучение рынка сбыта показало, что спрос на изделие П1 более 6 тыс. шт. в сутки, а изделия П2 не более 7 тыс. в сутки. Какое количество изделий (в тыс. шт.) каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

 

Вариант 2. В торговом зале необходимо выставить для продажи товары Т1 и Т2. Рабочее время продавцов не превышает 340 часов, а площадь торгового зала, которую можно занять, не превышает 120 м2. Каждая реализованная единица товара приносит прибыль соответственно в 80 и 50 руб. Нормы затрат ресурсов на единицу проданного товара составляют:

 

Ресурсы	Т1	Т2
Рабочее время, ч	0,4	0,6
Площадь, м2	0,2	0,1

 

Найти оптимальную структуру товарооборота (сколько продавать товаров Т1 и Т2), обеспечивающую максимальную прибыль.

 

Вариант 3. Прядильная фабрика для производства 2 видов пряжи использует три типа сырья – чистую шерсть, капрон и акрил.

 

Тип сырья	Нормы расхода сырья на 1 т пряжи		Количество сырья
	Вид 1	Вид 2
Шерсть Капрон Акрил	5 1 4	2 4 2	600 620 500
Прибыль от реализации пряжи	90	110

 

Требуется составить оптимальный план производства пряжи с целью максимизации суммарной прибыли.

 

Вариант 4. Чаеразвесочная фабрика выпускает чай сорта А и В, смешивая 3 ингредиента: индийский, грузинский и краснодарский чай.

 

Ингредиенты	Нормы расхода (кг/т)		Объем запасов (кг)
	А	В
Индийский чай Грузинский чай Краснодарский чай	5 2 3	2 6 2	600 870 430
Прибыль от реализации 1 т продукции	320	290

 

Требуется составить план производства чая, максимизирующий прибыль.

 

Вариант 5. Фирма производит два безалкогольных широко популярных напитка "Колокольчик" и "Буратино". Для производства 100 л. "Колокольчика" требуется 4 ч. работы оборудования, а для "Буратино" – 1 ч.  Расход специального ингредиента на 100 л составляет 1 кг на «Колокольчик» и  4 кг  на «Буратино». Ежедневно в распоряжении фирмы 16 кг.  специального ингредиента и 24 ч. работы оборудования. Прибыль от продажи 1 л. "Колокольчика" составляет 4 руб., а "Буратино" – 9 руб.

Определите ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальную прибыль от продажи.

 

Вариант 6. Магазин продает два вида безалкогольных напитков: Кока–Колу и квас. Доход от одной банки колы составляет 5 центов, а от кваса — 7 центов. В среднем магазин продает не более 500 банок обоих напитков ежедневно. Несмотря на то, что Кока-Кола известная торговая марка, покупатели предпочитают квас, поскольку они значительно дешевле и вкуснее. Отделом продаж определено, что объемы продаж колы и кваса в натуральном исчислении должны соотноситься не менее чем 1:2. Кроме того, известно, что магазин продает не более 100 банок колы в день.

Как наилучшим образом спланировать руководству магазина запасы напитков в начале дня, чтобы получить максимальный доход?

 

Вариант 7.  Фабрика выпускает два вида каш для завтрака ²Gruncy² и ²Ghewy². Используемые для производства обоих продуктов ингредиенты в основном одинаковы и, как правило, не являются дефицитными. Основным ограничением, накладываемым на объём выпуска, является наличие фонда рабочего времени в каждом из трёх цехов фабрики. Управляющему производством необходимо разработать план производства в месяц. В приведённой ниже таблице указаны общий фонд рабочего времени и число человеко-часов, требуемое для производства 1 т. продукта.

 

Цех	Необходимый фонд рабочего времени (чел.-ч./т)		Общий фонд рабочего времени (чел.-ч. в месяц)
	²Gruncy²	²Ghewy²
А. Производство В. Добавка приправ С. Упаковка	10 3 2	4 2 5	1000 360 600

 

Доход от производства 1т. ²Gruncy² составляет 150 у.е., а от производства ²Ghewy² - 75 у.е. На настоящий момент нет никаких ограничений на возможные объёмы продаж. Имеется возможность продать всю произведённую продукцию. Требуется определить объёмы производства каш ²Gruncy² и ²Ghewy², максимизирующие общий доход фабрики за месяц.

 

Вариант 8. Швейная мастерская изготовляет простые и утепленные куртки и использует три вида сырья А,Б,С (см. таблицу).  Реализация  простой куртки дает предприятия 4 тыс. руб. прибыли, а утепленной  - 5 тыс. руб. 

Цех	Затраты ткани на 1 куртку, м		Запас ткани, м
	утепленные	простые
А. Нейлон Б. Синтепон С. Флис	11 13 3	9 8 4	99 104  Не менее 12

Составить оптимальный объем производства курток, чтобы предприятие получило максимальную прибыль.

 

Вариант 9. Компания Woodco производит столы и стулья, которые делаются из дуба и из сосны. Компания имеет в своем распоряжении 150 кв. м. дуба и 210 кв. м. сосны. Для производства одного стола требуется  17 кв.м. дуба и 30 кв.м. сосны. Для производства одного стула необходимо 5 кв.м. дуба и 13 кв.м. сосны. Стоимость одного стола $40, одного стула — $15. Требуется определить: каким образом компания Woodco может максимизировать свою прибыль.

 

Вариант 10. Компания Bloomington Brewery производит пиво и эль. Пиво продается по цене $5 за декалитр, а эль — $2. Для производства одного декалитра пива необходимо 5 кг. зерна и 2 кг. хмеля, а для производства эля — 2 кг. зерна и 1 кг хмеля. В распоряжении компании имеется 60 кг. зерна и 25 кг. хмеля. Необходимо определить, каким образом оптимально распределить производство напитков, чтобы компания получила максимальную прибыль.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2.Симплексный метод решения задач линейного программирования.

 

Для изготовления четырех видов продукции  используют  три  вида  сырья. Запасы  сырья,  нормы  его  расхода и прибыль от реализации  каждого продукта приведены в таблице.

1. Составить математическую модель задачи (сформировать систему ограничений и целевую функцию);
2. Привести систему ограничений к каноническому виду, обозначив и введя дополнительные переменные;
3. Построить симплексную таблицу и заполнить её первоначальным опорным планом;
4. Пользуясь алгоритмом симплексного метода, найти оптимальное решение задачи;
5. Сделать выводы.
6. Составить двойственную задачу, решить ее на основе теорем двойственности.  

 

Вариант 1

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие				Запасы сырья
	А	Б	В	Г
I	1	2	1	0	18
II	1	1	2	1	30
III	1	3	3	2	40
Цена изделия	12	7	18	10

 

Вариант 2.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие				Запасы сырья
	А	Б	В	Г
I	1	0	2	1	180
II	0	1	3	2	210
III	4	2	0	4	800
Цена изделия	9	6	4	7

 

Вариант 3.

Тип Сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие			Запасы сырья
	А	Б	В
I	4	2	1	180
II	3	1	3	210
III	1	2	5	244
Цена	10	14	12

 

Вариант 4.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие				Запасы сырья
	А	Б	В	Г
I	2	1	3	2	200
II	1	2	4	8	160
III	2	4	1	1	170
Цена изделия	5	7	3	8