Методы построения периодических и почти периодических решений некоторых классов Д.У.

Page 1

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Нижегородский государственный университет
им. Н.И. Лобачевского
Механико-математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений и математического
анализа
Дипломная работа
Методы построения периодических и почти
периодических решений некоторых классов
Д.У.
Исполнитель:
студент группы 651
Иванов Ф.С.
Научный руководитель:
к.ф.-м.н., доцент каф. ДУиМА
Сидоров Е.А.
Нижний Новгород
2012г.

---

Page 2

Содержание:
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Необходимые сведения о периодических почти периодических
решениях некоторых. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Периодические и субгармонические решения д.у. видаx = x
k
+p(t)
О периодических и субгармонических решениях дифференци-
альных уравнений вида x = |x| + p(t) + λ. . . . . . . . . . .
О зависимости от параметра периодических решений диффе-
ренциальных уравнений x = |x| + p(t) + ϵ . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

---

Page 3

Введение
Дифференциальные уравнения с модулями представляют собой на вид
довольно простой объект,однако струтура и свойства их решений мо-
гут быть очень сложны.В данной курсовой работе рассмотрена задача
о существовании,количестве и некоторых свойствах поведения периоди-
ческих решений дифференциальных уравнений с модулями.Этот класс
дифференциальных уравнений имеет довольно широкое применение во
многих теоретических и прикладных задачах динамики и не только.
В работе для уравнения x = |x| + p(t) проведена подробная клас-
сиффикация возможных типов периодических решений.При этом особое
внимание уделено случаю зависимости от параметра знакопеременных
периодичских решений.Также в 3м разделе конструктивно получен под-
класс рассматриваемых уравнений для которого существует знакопере-
менное субгармоническое решение,с порождённым им семейством,причём
его выражение получено в конечном виде в отличие от [6].Во 2-м разделе
для для дальнейших исследований получены некоторые свойства пери-
одических и субгармоничских решений уравнений вида x = x
k
+ p(t)
2

---

Page 4

1 Периодические(субгармонические) и почти
периодические решения простейших неод-
нородных Д.У. и их представления.
В данном разделе работы приведены важные результаты относитель-
но периодических (п.п) решений и их выражений (удобных для даль-
нейшего) простейших неоднородных уравнений 2-го порядка,в частно-
сти линейного однородного Д.У,свойства которого широко применяются
в методах построения периодических решений для некоторых классов
Д.У.При этом вывод самих формул проведён более простым способом
нежели [2].
Лемма 1 Уравнение
ÿ = y + p(t)
(1.1)
,где p(t)-почти периодическая,имеет единственное ограниченное реше-
ние y = ϕ(t) t ∈ R которое является почти периодическим и может
быть представленно в виде:
ϕ(t) =
1
2
· (e
t
t
∫
∞
e
−τ
p(τ)dτ − e
−t
t
∫
−∞
e
τ
p(τ)dτ)
(1.2)
и справедлива следующая оценка:||ϕ(t)|| ≤ ||p(t)||.
Доказательство:
Выражение общего решения уравнения вида (1.1) легко получается
методом вариации произвольных постоянных:
y(t) = e
t
(
1
2
t
∫
0
e
−τ
p(τ)dτ + ˜c
1
) − e
−t
(−
1
2
t
∫
−∞
e
τ
p(τ)dτ + ˜c
2
) ≡ A(t) + B(t)
Из вида решения, легко заключается,что для ограниченности y(t) необ-
ходимо чтобы функции A(t) и B(t) были ограниченными при t → ±∞.
1)При t → +∞ получаем
||B(t)|| < e
−t
(
1
2
||p(t)||(e
t
− 1))
,то есть B(t)-ограниченная(за счет множетеля e
−t
) . А ограниченности
функции A(t) можно добиться соответствующим выбором постоянной
3

---

Page 5

˜c
1
= −
1
2
∫
∞
0
e
−τ
p(τ)dτ(причем даннный интеграл сходится,что легко уста-
навливается).
2)Аналогично при t → −∞ имеем: A(t)-ограниченная за счет множетеля
e
t
.И при соответствующем выборе ˜c
2
=
1
2
∫
0
−∞
e
τ
p(τ)dτ, функция B(t)
также ограниченна.
В итоге получаем что у уравнения (1.1) существует единственное огра-
ниченное решение:
y(t) =
1
2
· (e
t
t
∫
∞
e
−τ
p(τ)dτ − e
−t
t
∫
−∞
e
τ
p(τ)dτ)
причём:
|y(t)| ≤
+∞
∫
−∞
|e
−|t−s|
||p(s)|ds ≤ G ·
+∞
∫
−∞
e
−|t−s|
ds
,где G = sup
s
|p(s)|
Если τ = τ
p
(ϵ) есть ϵ почти период функции p(t) то имеем:
y(t + τ) =
1
2
∞
∫
−∞
e
−|t+τ−s|
p(s)ds = −
∞
∫
−∞
e
−|t−s|
p(s + τ)ds
Отсюда получаем:
|y(t+τ)−y(t)| = |
∞
∫
−∞
e
−|t−s|
[p(s+τ)−p(s)]ds| ≤ sup
s
|p(s+τ)−p(s)|
∞
∫
−∞
e
|t−s|
ds < ϵ
Следовательно,y(t) почти периодическая и справедлива оценка ||y(t)|| ≤
||p(t)||.
Замечания:
1)Уравнение (1.1) тесно связанно с рассматриваемыми далее урав-
нениями с кусочно линейной правой частью,так как они имеют схожие
виды почти периодических решений на соответсвующих областях изме-
нения;2)Полученные формула (1.2) и справедливы и для периодического
случая.
Так же для дальнейших исследований нам потребуется оценка снизу
нормы периодического(с перидом T) решения (1.2) при некоторых вспо-
могательных условиях.
4

---

Page 6

Лемма 2 Для периодического решения Y
T
уравнения (1.1) ,где p(t)-непрерывная
T-периодическая с ограниченной производной (|p (t)| < N) sup{p(t)} =
p(t
∗
) = p
∗
> 0 и ∃U
δ
(t
∗
) такая что |p(t) | < α (α- достаточно мало) при
t ∈ U
δ
(t
∗
) справедлива следующая оценка:
1)Если
∫
T
0
p(s)ds = λ = 0, то ||Y
T
|| ≥
|λ|
T
;
2)Если
∫
T
0
p(s)ds = 0, то ||Y
T
|| ≥
δ(p
∗
·δ−α
δ
2
+2
;
Доказательство:
Пусть Y
T
-периодическое решение (1.1),интегрируя его по периоду по-
лучаем:
0 =
T
∫
0
y(s)ds =
T
∫
0
y(s)ds +
T
∫
0
p(s)ds
1)Из условия вытекает что
∫
T
0
y(s)ds = −λ,отсюда следует:
||
T
∫
0
y(s)ds|| ≤ ||y|| ·
T
∫
0
ds = ||y|| · λ ⇒ ||Y
T
|| >
|λ|
T
2)Так как при t ∈ U
δ
(t
∗
) справедливо ||y(s) || ≥ p
∗
−α·δ−||y|| (последнее
имеет смысл при ||y|| <
p
∗
2
),то приращение производной в рассматривае-
мой окрестности можно оценить следующим образом:
y (t
1
) − y (t
∗
) =
t
∗
+δ
∫
t
∗
y (s)ds ≥ δ · (p
∗
− α · δ − ||y||),t
1
∈ U
δ
(t
∗
)
откуда y (t
1
) ≥ δ · (p
∗
− α · δ − ||y||).Из полученной оценки вытекает:
y(t
2
) − y(t
∗
) ≥ δ
2
· (p
∗
− α · δ − ||y||),t
2
∈ U
δ
(t
∗
)
Тогда для произвольной точки t
0
справедливо следующее:|y(t
0
)| >
δ
2
·(p
∗
−α·δ−||y||)
2
Из последнего получаем:
|y(t
0
)| +
δ
2
2
· ||y|| >
δ(p
∗
· δ − α)
2
⇒ ||y|| ·
δ
2
+ 2
2
>
δ(p
∗
· δ − α)
2
Откуда и вытекает справедливость оценки ||Y
T
||.
Следствия:
1)Из полученных оценок следует что ∃
¯
t : y(
¯
t) > h(где h-соответствующая
оценка нормы периодического решения) тогда, так как в силу уравнения
5

---

Page 7

y < ||y|| + ||p|| на промежутке фиксированной длины I = (
¯
t,
¯
t + ρ) будет
справедливо следующее:
|y (t)−y (
¯
t)| = y (t) < (||y||+||p||)·ρ и так как |y(t)−y(
¯
t)| < ρ·max
t∈I
|y (t)|,
то y(t) > y(
¯
t) − max
t∈I
|y (t)| > h − (h + ||p||) · ρ
2
=
¯
h
Последнее означает что ||Y
T
|| >
¯
h на некотором промежуткe
2)Если p
1
= γ · p > p и p
∗
1
> p
∗
, то тогда ||Y
T
1
|| > γ · ||Y
T
||, то есть
норма возмущения и норма периодического решения в некотором смысле
пропорциональны.
Далее коротко приведём сведения о субгармонических решениях од-
ного из классов Д.У 2-го порядка,схожих по некоторым свойствам с рас-
сматриваемым далее. (следуя [?] и [?]):
Рассмотрим уравнения(системы) следующего вида:
x + g(x) = p(t)
(1.3)
где g(x) - липшицируемая p(t)- непрерывная периодическая с периодом
T = ω.
Определение:
Функция ϕ(t) ∈ C(−∞,+∞) называется субгармоническим решени-
ем уравнения (1.3)(сокращенно - сг.решение),если является его перио-
диским решением с минимальным периодом T = k · ω(k > 1) ,то есть с
периодом кратным периоду возмущения.
Для выведения необходимых и достаточных условий существования
сг.решений уравнения (1.3) сначала приведём некоторые свойства реше-
ний:
Лемма 3 Если p(t) чётная функция,то решение уравнения (1.3) x =
ϕ(t) удовлетворяющее условию- ˙ϕ(0) = ˙ϕ(
k
2
· ω) = 0 (k ∈
N
) имеет
период T = k · ω.
Теорема 1 Пуссть p(t)-чётная,а для функции g(x) выполнено следую-
щее условие:
lim
|x|→∞
g(x)
x
= +∞
Тогда при любом натуральном n существует бесконечно много ре-
шений уравнения (1.3) с периодом T = n · ω,и никакое число вида m ·
ω (m < n) не является периодом этих решений.
Замечания:1)Аналогичные лемма и теорема справедливы при условии
нечётности функций g(x) и p(t).
6

---

Page 8

2 О периодических и субгармонических ре-
шениях дифференциальных уравнений ви-
да x = x
k
+ p(t).
В данном разделе курсовой работы рассматривается задача о числе и
виде периодических,субгармонических решений следующего уравнения:
x = x
k
+ p(t)
(2.1)
,где p(t)- периодическая с периодом T = ω, k ∈
N
.
I.Для начала приведём некоторые результаты для нечётного k = 2 · m +
1,m ∈
N
.В этом случае вопрос о возможном числе периодических(п.п)
решений решается сравнительно легко,тогда как сами условия их суще-
ствования и выражения удаётся определить только в случае задания кон-
кретной правой части.Для оценки числа периодических решений спра-
ведливо следуещее утверждение:
Теорема 2 Уравнение (2.1) ,при нечётном k, может иметь не более
одного периодического решения.
Доказательство:
Предположим противное,то есть существованиие 2-х различных перио-
дических решений x = ϕ
1,2
(t).Заметим,чтобы установить справедливость
утверждения нужно раccмотреть 2 случая:1)функции ϕ
1
(t) и ϕ
2
(t) име-
ют один и тот же период
˜
T; 2)функции ϕ
1
(t) и ϕ
2
(t) имеют различные
периоды T
1
и T
2
соответственно.
1)Так как ϕ
1
= ϕ
2
(t) не нарушая общности предположим что ϕ
2
(t) >
ϕ
1
(t) при некоторых t ∈ {t
n
}.Рассмотрим (ϕ
2
− ϕ
1
)(t),которая будет яв-
лятся T-периодической,а следовательно будет иметь максимальное зна-
чение на периоде при t = t
∗
∈ {t
n
} и
(
ϕ
2
− ϕ
1
)(t
∗
) ≤ 0.
C другой стороны в силу уравнения (2.1) имеем:
(ϕ
2
− ϕ
1
)|
t=t
∗
= (ϕ
2
− ϕ
1
) · (ϕ
k−1
2
+ ϕ
k−2
2
· ϕ
1
+ ... + ϕ
k−1
1
)|
t=t
∗
Правая часть последнего строго положительна в силу предположения,что
приводит к противоречию.
2)В случае когда T
1
и T
2
соизмеримы,то для решений ϕ
1,2
будет суще-
ствовать общий период T и рассуждения сводятся к предыдущим.
Если же T
1
и T
2
несоизмеримы,то функция ϕ = ϕ
2
−ϕ
1
яввляется по-
чти периодической и имеет экстремумы в частности максимумы(обосно-
вание чего приведено ниже).Тогда в точке максимума получим противо-
речие аналогично п.1 доказательства.
7

---

Page 9

Замечания:
1)Любая отличная от постоянной п.п функция x = ϕ(t) имеет беско-
нечное множество экстремумов. Действительно,предположим противное
то есть отсутствие экстремумов x = ϕ(t) на промежутке (t
0
,+∞),что
означает строгую монотонность(например возрастание) на нём.Тогда по
определению п.п.функции для ε = ϕ(t
1
) − ϕ(t
2
),t
1
> t
0
найдётся такое
L(ε), что ∀a на промежутке [a,a + L(ε)] существует ε-п.период T(ε),то
есть ∀t |ϕ(t + T(ε)) − ϕ(t)| < ε.Что немедленно приводит к противоре-
чию с монотонным возрастанием при a = (t
0
− t
1
) и t = t0.
2)Утверждение теоремы справедливо и в почти периодическом слу-
чае.
3)Аналогичные рассуждения справедливы и для уравнения x = x
1
2m+1
+
p(t),m ∈
N
.
Следствие 1 Для уравнения вида (2.1) ,при k-нечётном, не может
существовать субгармонических решений.
Действительно,если x = ϕ(t) - субгармоническое решение порядка n
данного уравнения,то решениями являются также ϕ(t),ϕ(t + T),..,ϕ(t +
(n − 1)T), причём они попарно различные,что противоречит утвержде-
нию теоремы 2.
Применение результатов о числе периодических решений для сравне-
ния периодических решений уравнения вида (2.1).Рассмотрим два ура-
ниения вида (2.1) с различными возмущениями p(t), то есть
x = x
3
+ p
1
(t)x = x
3
+ p
2
(t)
, где p
1,2
(t)-периодические, p
1
(t) = p
2
(t),и справедлива следующая теоре-
ма:
Теорема 3 Пусть p
2
(t) > p
1
(t) ∀t, и если существут периодические
решения x
1,2
(t) соответственно,то x
2
(t) < x
1
(t).
Доказательство:
Действительно, пусть x
2
(t) > x
1
(t) при t = t
∗
, тогда ∃ промежуток
[α,β],на котором (x
2
− x
1
) > 0 и принимает наибольшее значение при
t
∗
∈ [α,β], которое является максимумом,то есть(x
2
− x
1
)|
t=t
∗
≤ 0.А из
вида уравнения (2.1) следует:
(x
2
− x
1
)|
t=t
∗
= [x
3
2
− x
3
1
+ (p
2
− p
1
)]|
t=t
∗
Из последнего в силу условий теоремы получаем противоречие.
Используюя последнее утверждение при некоторых условиях можно
наиболее просто установить существование единственного периодическо-
го решения (2.1)
8

---

Page 10

Теорема 4 Уравнение (2.1) при k = 3 и условиях:
1)p(t) ∈ C
1
(R)-нечётная,периодическая с T = π;
2)||p(t)||<1;
Имеет единственное T-периодическое решение.
Доказательство:
Применяя метод итераций вида:x
n+1
= x
3
n
+p(t) с начальным приближе-
нием x
0
= 0 получаем:
Рассмотрим 1-ю итерацию(n = 1) то есть x
3
1
= x
3
0
+ p(t),откуда так
как p(t) = ∑
∞
k=1
b
k
· sin(2kt),то последнее уравнение имеет единствен-
ное T-периодическое решение x
1
= −∑
∞
k=1
b
k
·sin(2kt)
4k
2
и ||x
1
|| ≤
||p(t)||
4
,что
справедливо из условий теоремы.Аналогичным способом по индукции не
трудно показать что ||x
n+1
|| ≤
||x
n
||+||p(t)||
4
.Тем самым установлена огра-
ниченность последовательности итераций.
Сжимаемость последовательности итераций получаем из последних оце-
нок и условий теоремы следующим образом:
||x
n+1
− x
n
|| ≤ ||x
n
− x
n−1
|| · (||x
2
n
|| + ||x
n
· x
n−1
|| + ||x
2
n−1
||) ≤
3
4
||x
n
− x
n−1
||
Из полученного выше применяя П.С.О следует что, уравнение x = x
3
+
p(t) имеет единственное T-периодическое решение.
Замечание: Данное утверждение не применимо при более общих усло-
виях на правую часть рассматриваемого случая (k = 3).Доказать суще-
ствование периодического решения можно и при более слабых ограниче-
ниях,но при этом используемый метод итераций несколько усложняется.
Так для применения оценок периодических решений полученных в
разделе (1) настоящей работы (лемма 1,2) введём для (2.1) метод итера-
ций следующим образом:
x
n+1
= x
n+1
+ x
3
n
− x
n
+ p(t)
(2.2)
Для уравнений типа (2.2) при некоторых условиях справедливо следую-
щее утверждение:
Лемма 4 Для уравнения ÿ = y +g
3
(t)−g(t)+h(t), где h(t)-непрерывная
Т-периодическая, g(t)- T-периодическая и выполнены следующие усло-
вия:
1)|h (t)| < µ ∀t и sup{h(t)} = p(
¯
t) =
¯
h > 0;
2)g(t) < ν, ν-мало;
9

---

Page 11

Тогда ∃ρ, такое что при t ∈ (t,t + ρ) справедлива следующая оценка
периодического решения :
||Y
T
|| > ρ
2
·
||Y
T1
||
2
, где Y
T1
−Т-перидическое решение уравнения ÿ
1
= y
1
+h(t)
Так как h(t)-удволетворяет условиям леммы 2 и g(t)-достаточно мало,то
функция f(t) = g
3
(t)−g(t)+h(t)-также удовлетворяет условиям,при этом
||f(t)|| >
||h(t)||
2
.Отсюда вытекает справедливость предложеннной оценки.
Из последнего вспомогательного утверждения для исходного уравне-
ния (2.1) при k = 3 можно сформулировать следующий итоговый резуль-
тат:
Теорема 5 Уравнение x = x
(
3) + p(t) при условиях:
1)p(t) ∈ C
1
− T-периодическая и |p (t)| < α∀t;
2)p(t) ∈ (m,M), где m-фиксированное, M = sup{p(t)} > 0;
Имеет единственное Т-перидическое решение,которое является преде-
лом последовательности периодических решений {x
n
(t)},удовлетворяющих
(2.2) с начальным приближением x
0
= 0
Доказательство:
Рассмотрим уравнение (2.2) для разности x
n+1
− x
n
то есть:
x
n+1
− x
n
= x
n+1
− x
n
+ (x
3
n
− x
3
n−1
− x
n
+ x
n−1
)
По лемме 1 единственное периодическое решение последнего имеет вид:
∆
n+1
= x
n+1
− x
n
=
1
2
·
+∞
∫
−∞
e
−|t−s|
· (x
3
n
− x
3
n−1
− x
n
+ x
n−1
)ds
Проведём следующую оценку:
|∆
n+1
| ≤
1
2
· |x
n
− x
n−1
| ·
+∞
∫
−∞
e
−|t−s|
· |x
2
n
+ x
n
· x
n−1
+ x
2
n−1
− 1|ds
В свою очередь |x
2
n
+ x
n
· x
n−1
+ x
2
n−1
− 1| ≤ |1 −
x
2
n
+x
2
n−1
2
|,тогда:
|∆
n+1
| ≤
1
2
· |∆
n
| ·
+∞
∫
−∞
e
−|t−s|
· |1 −
x
2
n
+ x
2
n−1
2
|ds = |∆
n
| · q
n+1
10

---

Page 12

1) Доказательство сжимаемости последовательности {x
n
} проведём ме-
тодом индукции.Предположим что на n-ом шаге выполняется: |∆
n
| ≤
|∆
n−1
| · q, где q < 1.Покажем что полученное q
n+1
< q.
Это неравенство будет следовать из того что на некотором проме-
жутке (t,t + ρ) выполняется
x
2
n
+x
2
n−1
2
> δ
2
, где δ-соответствующая оценка
нормы снизу большего из x
n
,x
n−1
,а при остальных значениях времени
на периоде
x
2
n
+x
2
n−1
2
< 1.На данном промежутке из леммы 4,где ,не нару-
шая общности, можно считать что g(t) = x
n−1
< ν, справедлива оценка
|x
n
| >
ρ
2
2
· h(||p(t)||) = δ
2
, тогда:
t+ρ
∫
t
e
−|t−s|
· 1 −
x
2
n
+ x
2
n−1
2
ds ≤
t+ρ
∫
t
e
−|t−s|
· |1 − δ
2
|ds
Учитывая последнее получаем:
|∆
n+1
| ≤ |∆
n
| ·
1
2
· (
∫
R\(t,t+ρ)
e
−|t−s|
ds +
t+ρ
∫
t
e
−|t−s|
ds − δ
2
·
t+ρ
∫
t
e
−|t−s|
ds) ≤
≤ |∆
n
| ·
1
2
· (
+∞
∫
−∞
e
−|t−s|
ds − δ
2
·
t+ρ
∫
t
e
−|t−s|
ds) ≤
|∆
n
| ·
1
2
· (2 − δ
2
· ρ · e
−ρ
= |∆
n
| · (1 −
δ
2
· ρ · e
−ρ
2
)
,где в силу выше сказанного (1 −
δ
2
·ρ·e
−ρ
2
) < q < 1.
2)Ограниченность последовательность итераций следует из оценки:
|x
n
| ≤ |x
n
−x
n−1
|+|x
n−1
−x
n−2
|+...+|x
2
−x
1
|+|x
1
| ≤ |x
1
|(1+q+q
2
+....q
n−1
) ≤
|x
1
|
1 − q
Таким образом ∀n |x
n
| <
||p||
1−q
. Из 1) и 2) и П.С.О следут что {x
n
} →
x(t) n → ∞, x(t)-единственное Т-периодическое решение(2.1).
Замечания:
1)Рациональность ограничения 2) на возмущение p(t) можно подтевер-
дить используя принцип Шаудера о неподвижной точке. Так оператор
соответствующий итерационному уравнению (2.2) имеет следующий вид:
H(x) =
+∞
∫
−∞
e
−|t−s|
· (x
3
− x + p(s))ds
11

---

Page 13

Из условия приципа можно получить оценки следующего типа: например
если рассмотреть шар |x| <
√
2
3
, то для существования периодического
решения (2.1)(неподвижной точки оператора H(x)) неоходимо чтобы:
−
√
2
3
· (1 −
√
2
3
) = m < p(t) < M =
√
2
3
·
4
3
2)Ограниченность |p (t)| целесообразна так как,???????
II.Далее рассмотрим случай чётного k = 2 · m.Вопрос о числе и суще-
ствование и виде периодических,а также субгармонических решений в
общем случае становится существенно сложнее по сравнению с преды-
дущим, но всё же удаётся установить некоторые похожие результаты при
определённых условиях.Так похожими рассуждениями можно получить
следующую оценку неотрицательных(положительных) решений:
Теорема 6 Уравнение (2.1) ,при чётном k, может иметь не более од-
ного неотрицательного периодического решения и оно не может быть
субгармоническим.
Доказательство:
1)Предположим противное,то есть существованиие 2-х различных неот-
рицательных периодических решений x = ϕ
1,2
(t) ≥ 0 ∀t.Тогда функция
ϕ(t) = ϕ
2
(t) − ϕ
1
(t) ≥ 0 на некотором промежутке и имеет положитель-
ное наибольшее значение при t = t
∗
, которое является максимумом,то
есть
¨
ϕ
2
(t) − ϕ
1
(t)|
t=t
∗
≤ 0.А в силу самого уравнения (2.1) при k = 2 · m
получаем:
(ϕ
2
− ϕ
1
)|
t=t
∗
= ϕ
2m
2
− ϕ
2m
1
|
t=t
∗
Правая часть этого выражения положительна,так как ϕ
2
(t
∗
) > ϕ
1
(t
∗
) ≥
0,отсюда получаем противоречие.
2)То что положительное периодическое решение x = ϕ(t) ≥ 0 не является
субгармоническим вытекает из того, что вместе ним необходимо должно
существовать периодическое решение x = ϕ(t+T) ≥ 0, что противоречит
первой части утверждения.
Следствие 2 Если для уравнения x = x
2m
+p(t) существует субгармо-
ническое решение,то оно либо отрицательно либо знакопеременное.
III.Сами условия существования субгармонических решений и их выра-
жения в общем случае уравнения (2.1) при k = 2·m получить практиче-
ски не возможно,однако в ряде случаев этот вопрос разрешим.Рассмотрим
12

---

Page 14

уравнение (2.1) следующего вида:
x = x
2m
+
∞
∑
k=0
p
k
· sin
k
(t)
(2.3)
Предполагаем что p
k
определены и ряд в правой части сходится.Будем
искать решение уравнения (2.2) в виде:
x =
∞
∑
n=0
a
n
· sin
n
(t)
(2.4)
Подставляем ряд (2.3) в уравнение (2.2),пользуясь несложной формулой
(sin
k
(t))
,,
= −k
2
·sin
k
(t)+k·(k−1)·sin
k−2
(t) приравниваем коэффициен-
ты при равных степенях sin(t) с учётом того что p
j
= 0,j = 2m + 1,m ∈
N
,что необходимо для того чтобы искомое решение имело период T крат-
ный π(в частности T = 2π),получаем:
sin
0
(t)|
2 · a
2
= a
2m
0
+ p
0
⇒ a
2
=
a
2m
0
+p
0
2
;
sin
1
(t)|
− a
1
+ 6 · a
3
= 2m · a
2m−1
0
· a
1
+ p
1
⇒ a
3
=
a
1
·(2m·a
2m−1
0
+1)
6
sin
2
(t)|
− 4 · a
2
+ 12 · a
4
= 2m · a
2m−1
0
· a
2
+ C
2
2m
· a
2m−2
0
· a
2
1
+ p
2
⇒
⇒ a
4
=
a
2
·(2m·a
2m−1
0
+4)+m·(2m−1)·a
2m−2
0
·a
2
1
12
И так далее по индукции получаем что все коэффициенты ряда (2.3)
определяются рекурентно.Ряд (2.3) является формальным субгармони-
ческим решением (2.2).При выборе параметров {a
0
,a
1
,p
j
соответствую-
щим образом(например |a
0
| <
1
2
,|a
1
| <
1
2
) можно добится сходимости
и возможности почленного дифференцирования полученного ряда в об-
ласти |sin(t)| < 1.При |sin(t)| = 1 ряд (2.3) по прежнему будет сходя-
щимся,но не будет дифференцируемым,то есть решение будет определе-
но везде,кроме точек t = nπ +
π
2
.Поэтому следует также предполагать
что любое решение (2.2) определено на всей числовой оси.
Проведённые рассуждения не дают чёткого понимания условий суще-
ствования субгармонических решений уравнения (2.1),поэтому приведём
наипростейший пример их построения.
Рассмотрим уравнение (2.1) при k = 2m,m = 1 то есть
x = x
2
+ p(t)
Решения ищем в виде виде x = a ± b · sin(t).Подставляя его в уранение
получаем выражение функции p(t):
p(t) = ∓b · sin(t) − a
2
∓ 2ab · sin − b
2
· sin
2
(t).
13

---

Page 15

Учитывая условия на коэффициенты функции p(t) получаем семейство
уравнеений
x = x
2
−
1
4
− b
2
· sin
2
(t)
с субгармоническими решениями x = −
1
2
±b
2
·sin(t),причём очевидно что
эти решения знакопеременные при |b| >
1
2
, неположительные при |b| <
1
2
.
14

---

Page 16

3 О периодических,субгармонических реше-
ниях дифференциальных уравнений вида
x = |x| + p(t) + λ.
I. Рассматривается вопрос о структуре множества периодических(субгармо-
нических) решений уравнения:
x = |x| + p(t) + λ
(3.1)
где p(t)-непрерывная Т-периодическая,λ-числовой параметр.
В оношении зависимости от параметра множества периодических ре-
шений уравнения (3.1) справедлива следующая теорема:
Теорема 7 Для уравнения вида(3.1) cуществует λ
∗
такое ,что при
λ < λ
∗
, существуют периодические решения ,а при λ > λ
∗
периоди-
ческих решений нет.
Доказательство:Необходимое условие существования периодических ре-
шений уравнения (3.1) заключается в том,что среднее значение свобод-
ного члена правой части должно быть <0.Отсюда λ+ < p
cp
>< 0 то есть
необходимо выполнение: λ < − < p
cp
>.Если же λ > − < p
cp
> O, то
периодические решения не существуют.
Обозначим λ
∗
= infλ,при которых уравнение (3.1) не имеет периодиче-
ских решений(в явной форме λ
∗
обычно не определяется,кроме простых
случаев,например p=const).Из определения λ
∗
следует что существует
значение
˜
λ < λ
∗
, сколь угодно близких к λ
∗
при которых уравнение (3.1)
имеет периодические решения.
Замечание:Также заметим,что если при
˜
λ существовало положитель-
ное решение ˜x
+
(t) > 0, то при малом изменении λ <
˜
λ из уравнения
(3.1),видно что при этом так же будет существовать положительное ре-
шение ˜x
+
λ
(t) = ˜x
+
(t) + λ −
˜
λ > 0.Аналогичное верно и для случая суще-
ствования знакотрицательного периодического решения.
Обоснование этого факта заключается в следующем:
1)Рассмотрим уравнение (3.1) в области x > 0,то есть x = x + p(t) +
λ,не нарушая общности рассуждений будем считать что p(t) = ∑
∞
k=0
(a
k
·
cos(kt) + b
k
· sin(kt)).Тогда это уравнение при λ = 0 необходимо имеет
знакопеременное периодическое решение:
x
+
(t) =
∞
∑
k=1
(a
k
· cos(kt) + b
k
· sin(kt))
−k
2
− 1
15

---

Page 17

Обозначим его наименьшее значение {x
∗
+
} = −h
0
, (h
0
> 0).Получаем
что для уравнения x = x + p(t) + λ (λ = −h
0
) cушествует неотрица-
тельное периодическое решение ˜x
+
= x
+
+ h
0
,которое также существует
при увеленичение |λ|.Таким образом исходное уранение (3.1) при λ ∈
(−∞,−h
0
) имеет неотрицательное периодическое решение.
2)Уравнение (3.1) в области x < 0 ,то есть x = −x + p(t) + λ с p(t) =
∑
∞
k=1
(a
k
· cos(kt) + b
k
· sin(kt)), (k = 1-исключение резонансных слага-
мых) в случае λ = 0 имеет знакопеременное периодическое решение
x
−
(t) =
∞
∑
k=1
(a
k
· cos(kt) + b
k
· sin(kt))
−k
2
+ 1
Обозначим его наибольшее значение {x
∗
−
} = d
0
, (d
0
> 0)Получаем что
для уравнения x = −x + p(t) + λ (λ = −d
0
) cушествует неоположи-
тельное периодическое решение ˜x
−
= x
+
− d
0
,которое также существу-
ет при увеленичение |λ| .Таким образом исходное уранение (3.1) при
λ ∈ (−∞,−d
0
) имеет неположительное периодическое решение.
Замечания:
1)Уравнение (3.1) при λ
∗
= min{−h
0
,−d
0
} < λ имеет как положи-
тельное,так и отрицательное периодические решения.
2)Если для уравнения (3.1) существует более 1-го отрицательного пе-
риодического решения,то вместе сними существует бесконечное семей-
ство отричательных периодических решений ϕ(t) = α·ϕ(t)+(1−α)·ϕ
2
(t),
ϕ
1,2
≤ 0, α ∈ (0,1)
Вывод: В итоге для уравнения (3.1) можем заключить следуещее:
1)Для неотрицательных пер решений: ∃λ
0
, такое что при λ > λ
0
их
существование невозможно,а для ∀λ ≤ λ
0
существует и единственное
положительное решение ϕ
+
(t).
2)В отношении неположительных("пограничных то есть sup{x(t)} =
0) периодических решений, вопрос является более сложным,так как воз-
можны некоторые подслучаи.Так ∃δ
0
, такое что при λ > δ
0
отрицатель-
ных периодических решений нет и:
а)при λ = −δ
0
существует и единнственное отрицательное периодическое
решение ϕ
−
(t).
б)при λ = −δ
0
существует бесконечное множество отрицательных пери-
одических решений.
Но для ∀λ < −δ
0
необходимо существует бесконечное семейство пе-
риодических решений ϕ
n
= c1 · cos(t) + c2 · sin(t) + ϕ−,которые могут
быть неположительными при некоторых c1,c2.
16

---

Page 18

II.В связи с разнообразием возможностей,в задаче о неположительных
периодических решениях рассмотрим данный вопрос более подробно.В
зависимости от периода и разложения Фурье функции p(t) возможны
несколько различных случаев,указанных выше.При этом соответствую-
щее влияние оказывает значение свободного члена в разложении, на-
личие или отсутствие гармоник sin(t),cos(t) и значения коэффициентов
a
k
,b
k
(k ≥ 2).
Сначала укажем подкласс уравнений вида (3.1),которые при λ =
−δ
0
(δ
0
> 0) имеют единственное неположительное периодическое реше-
ние.
Теорема 8 Пусть уравнение (3.1) имеет периодическое решение x =
ϕ(t) ∈ C
2
( то есть (3.1) имее вид:x = |x| − |ϕ| +ϕ), обладающее следу-
ющими свойствами:
1 ϕ(t) = ∑
∞
k=0
a
k
· cos(2kt).
2)ϕ(t) ≤ 0 ∀t ∈
R
.
3)ϕ(t)|
t=kπ
= 0 и эти точки являются максимумами.
Тогда ϕ(t)- есть единственное неположительное периодическое ре-
шение этого уравнения.
Действительно,любое неположительное решение (3.1) имеет вид ψ(t) =
c
1
· cos(t) + c
2
· sin(t) + ϕ(t), c
2
1
+ c
2
2
= 0.Из условий теоремы получаем:
ψ(2π) = ϕ(2π)+c
1
= c
1
и ψ(π) = ϕ(π)−c
1
= −c
1
,отсюда следует что для
знакоопределённостиψ(t) необходимо c
1
= 0
Пусть c
1
= 0 то есть ψ(t) = ϕ(t) + c
2
· sin(t) тогда ψ (t)|
t=kπ
= c
2
·
(−1)
k
,отсюда вытекает,что если c
2
= 0,то значение ψ(kπ) не будут яв-
лятся экстремумом,но в тоже время ψ(kπ) = 0 откуда следует что в
окрестности этой точки ψ(t) принимает значения разных знаков.
Следствие 3 Для уравнения (3.1) с p(t) = −|ϕ| +ϕ cуществует λ
∗
<
0,такое что уравнение имеет единственное неположительное перио-
дическое решение.
Замечания:
1)Простейший пример функции удволетворяющей условиям теоремы ϕ(t) =
cos(2t) − 1,а соответствующее уравнение имеет вид x = |x| − 3 · cos(2t) −
1 (δ
0
= 1)
2)Для возмущённого уравнения (3.2) также как и в предыдущем случае
возможен выбор λ для одновременного существования разнознаковых
периодических решений ,при этом неотрицательное имеет следующий
вид: x
+
(t) = −λ + ∑
∞
k=1
a
k
·(4k
2
−1)
4k
2
+1
· cos(2kt)
17

---

Page 19

Невозможность сущеествования неположительного периодического ре-
шения реализуется например в резонансном случае,то есть когда p(t) =
a
0
+ ∑
∞
k=1
(a
k
· cos(kt) + b
k
· sin(kt)), где a
2
1
+ b
2
1
= 0.Например уравне-
ние x = |x| − |sin(t)| − sin(t) не имеет отрицательных периодических
решений,но существует знакопеременное x = sin(t) и одновременно по-
ложительное периодическое решение(по теореме1 из [?],согласно которой
из соотношения |ϕ| >ϕ следует существование положительного перио-
дического решения,если ϕ-знакопеременное).
Также ,заметим, что при добавлении постоянного положительного
слагаемого λ в правую часть данного уравнения может либо существо-
вать только положительное или только знакопеременное периодическое
решение, либо таковых нет.
Наконец третий возможный вариант(т.е существование бесконечно-
го семейсва неположительных периодических решений)можно проиллю-
стрировать следующим несложным примером:
Пусть ϕ(t) = sin(3t) − cos(4t) − 2 ≤ 0 является решением (3.1),тогда
уравнение x = |x| − |ϕ| +ϕ имеет семейство отрицательных периодиче-
ских решений x
α
(t) = α · sin(t) + sin(3t) − cos(4t) − 2 (α ∈ [a,b] a ≈
−1.7;b ≈ 0.3).Если например α = −1.7,то при |β| < γ ≈ 0.1 все решения
семейства x
β
= β(t
0
)·cos(t−t
0
)+α·sin(t)+sin(3t)−cos(4t)−2 являют-
ся неположительными.Соответствующие расчёты проведены в системе
Maple.
IV. Что касается субгармонических решений (3.1),то можно сказать что
условия существования и их выражения,особенно знакопеременных, в
общем случае не поддаются описанию даже при помощи специальной
теории из [6].Поэтому в дальнейшем опишем однин из частных подклас-
сов уравнений вида (3.1) и некоторые его обобщения,но при этом вы-
ражения решений будут получены в явном виде,что немаловажно при
исследование этого вопроса.
Итак рассмотрим частный случай уравнения x = |x| + p(t), при усло-
вии существования неположительного периодического решения x = cos(t)+
b
3
· cos(2t) − 2, то есть уравнение:
x = |x| − 2 − b · cos(2t)
(3.2)
Наиболее простое выражение знакопеременного субгармонического ре-
шения получается,если решения уравнения (3.2) в областях {x > 0} и
{x < 0} имеют соответственно вид:
x
+
(t) = A · ch(t) +
b
5
· cos(2t) + 2
18

---

Page 20

x
−
(t) = p ∗ cos(t) +
b
3
· cos(2t) − 2
Из усовия гладкости класса C
2
получаем систему для определения
значений A,p,b:



x
+
(t
0
) = x
−
(t
0
)
x
−
(t
0
) = 0
x
+
(t
0
) = 0
При t = t
0
=
π
4
+ 2πn из этой системы получаем:
p = 2 · cos(t
0
);
A =
−2
ch(t
0
)
;
b =
15
2
· (th(t
0
) − 1);
Из полученных расчётов следует справедливость следующей теоремы:
Теорема 9 Дифференциальное уравнение x = |x|+
15
2
·(th(t
0
)−1)·cos(t)−
2 имеет знакопеременное субгармоническое решение вида:
x(n,t) =
{
x
+
(t) при t ∈ [−
π
4
− 2πn,
π
4
+ 2πn]
x
−
(t) при t ∈ [
π
4
+ 2πn,
7π
4
+ 2πn]
с периодом T
n
= π · (4n + 2).А так коэффициенты уравнения имеют
период T = π,то существует совокупность 4n + 2 решений x
k
(t) =
x(n,t + kT)(k = 0..4n + 1).
Замечания:
1)В работе [6], для некоторых кусочнолинейных уравнений указан способ
построения субгармонических решений,но для этих решний не получено
каких-либо конечных выражений.
2)Для уравнения (3.2) видимо существуют и другие классы субгармони-
ческих решений,но это требует дополнительных исслдований.
19

---

Page 21

4 О зависимости от параметра периодичес-
ких(п.п) решений дифференциальных урав-
нений вида x = |x| + p(t) + ε.
I:Рассматривается вопрос о зависимости от параметра п.реншений урав-
нения:x = |x| + p(t) + ε
(4.1)
, где p(t)почти периодическая. Для исследования задачи о периодиче-
ских решениях уравнения (4.1) сначала приведём некоторые результаты
о виде п. решения вспомогательного линейного д.у 2-го порядка.
Лемма 5 Уравнение
ÿ = y + p(t)
(4.2)
,где p(t)- периодическая,имеет единственное ограниченное решение y =
ϕ(t) t ∈ R которое является периодическим и может быть представ-
ленно в виде:
ϕ(t) =
1
2
· (e
t
t
∫
∞
e
−τ
p(τ)dτ − e
−t
t
∫
−∞
e
τ
p(τ)dτ)
(4.3)
и справедлива следующая оценка:||ϕ(t)|| ≤ ||p(t)||.
Доказательство:
Выражение общего решения уравнения вида (4.2) легко получается
методом вариации произвольных постоянных:
y(t) = e
t
(
1
2
t
∫
0
e
−τ
p(τ)dτ + ˜c
1
) − e
−t
(−
1
2
t
∫
−∞
e
τ
p(τ)dτ + ˜c
2
) ≡ A(t) + B(t)
Из вида решения, легко заключается,что для ограниченности y(t) необ-
ходимо чтобы функции A(t) и B(t) были ограниченными при t → ±∞.
1)При t → +∞ получаем
||B(t)|| < e
−t
(
1
2
||p(t)||(e
t
− 1))
,то есть B(t)-ограниченная(за счет множетеля e
−t
) . А ограниченности
функции A(t) можно добиться соответствующим выбором постоянной
˜c
1
= −
1
2
∫
∞
0
e
−τ
p(τ)dτ(причем даннный интеграл сходится,что легко уста-
навливается).
20

---

Page 22

2)Аналогично при t → −∞ имеем: A(t)-ограниченная за счет множетеля
e
t
.И при соответствующем выборе ˜c
2
=
1
2
∫
0
−∞
e
τ
p(τ)dτ, функция B(t)
также ограниченна.
В итоге получаем что у уравнения (4.2) существует единственное огра-
ниченное решение:
ϕ(t) =
1
2
· (e
t
t
∫
∞
e
−τ
p(τ)dτ − e
−t
t
∫
−∞
e
τ
p(τ)dτ)
Замечания:
1)Периодичность и соответствующая оценка может быть легко уста-
новленна,следуя аналогичным рассуждениям для уравнений 1-го поряд-
ка([7]);2)Уравнения (4.1) и (4.2) тесно связаны,так как они имеют схо-
жие виды периодических решений на соответсвующих областях измене-
ния;2)Полученные формула и (4.3) справедливы и для почти периодиче-
ского случая.
Для уравнения (4.1) имеется необходимое условие существования пе-
риодического решения: lim
T→∞
1
T
∫
T
0
p(t)dt < 0
Ниже предполагается, что при ε = 0 для уравнения x = |x| + p(t)
существует периодическое решение x = ϕ(t) ∈ C
2
(R), так что уравнение
имеет вид:x = |x| − |ϕ(t)| +
ϕ(t)
(4.4)
II.Метод итераций в задаче о периодических решениях уравне-
ния (4.1):
При исследовании уравнения (4.1) методом итераций удобно ввести но-
вую переменную x = ϕ(t) + y(t,ε),тогда получаем следующее уравнение
для y:y = |y + ϕ| − |ϕ| + ε
При этом сами итерации вводятся следующим образом:
y
n+1
= y
n+1
+ |y
n
+ ϕ| − |ϕ| − y
n
+ ε
(4.5)
,где y
n+1
-единственное периодическое решение (4.5),которое согласно фор-
муле (4.3) имеет вид:
y
n+1
=
1
2
· (e
t
t
∫
∞
e
−τ
g(τ)dτ − e
−t
t
∫
−∞
e
τ
g(τ)dτ) (4.6)
где g(t) = |y
n
+ ϕ| − |ϕ| − y
n
+ ε.
21

---

Page 23

Теорема 10 Если периодическая функция ϕ(t) класса C
2
(R) удовлетво-
ряет условиям:
1) Существует последовательность промежутков (a
k
,b
k
),k ∈ Z, та-
ких что на
(a
k
,b
k
) : ϕ(t) > 0, а на (b
k
,a
k+1
) : ϕ(t) < 0;
2) b
k+1
− b
k
> β > 0; a
k+1
− b
k
< α;
3) Существует δ > 0 такое что выполняется неравенство:
(α + 2 · δ) · e
α+2·δ
· (1 − e
−β
)
−1
< 1/3;
4) Функция ϕ(t) должна быть такой что при достаточно малых ε > 0
cуществует δ(> 0) → 0 при ε → 0.
Тогда для функции y = x − ϕ(t) соответствующее уравнение(4.5) име-
ет периодическое решение y = Φ(t,ε) – предел итерационной последова-
тельности периодических функций {y
n
(t,ε)},при начальном приближе-
нии y
0
≡ 0.
Таким образом, уравнение (4.1) при достаточно малых ε > 0 имеет
периодическое решение x(t,ε) = ϕ(t) + Φ(t,ε).
Доказательство:
1)Сначала докажем монотонное убывание последовательности y
n
: y
0
=
0 > y
1
= −ε > y
2
> ... > y
n
.Применим методом мат. индукции:
а)База индукции.Для n = 1 из (4.3) имеем уравнение:y
1
= y
1
+ ε.Из
вида уравнения нетрудно убедится(не прибегая к выражению п.решений
(4.4)) что его единственное п.решение есть y = −ε(< y
0
).Тем самым база
индукции доказана.
б)Индуктивный переход(шаг).Рассмотрим разность y
n
− y
n+1
и покажем
что она больше ноля(что соответствеует убыванию итераций).Для этого
достаточно показать положительность одного из интегралов (4.6),то есть
I
1
=
1
2
· e
t
t
∫
∞
e
−τ
(|y
n−1
+ ϕ| − y
n−1
− (|y
n
+ ϕ| − y
n
))dτ
,по предположению индукции имеем |y
n−1
+ ϕ| − |y
n
+ ϕ| − (y
n−1
− y
n
) <
0,(используя извесное соотношение:приa > b,|a − b| ≥ ||a| − |b||),причём
||y
n−1
+ ϕ| − |y
n
+ ϕ| − (y
n−1
− y
n
)| ≤ 2 · |y
n−1
− y
n
|.
А соответсвенно сам итнтеграл I
1
> 0.Положительность 2-го интеграла(I
2
=
e
−t
∫
t
−∞
e
τ
(|y
n−1
+ ϕ| − y
n−1
− (|y
n
+ ϕ| − y
n
))dτ) устанавливается анало-
гично,после перемены пределов интегрирования.
22

---

Page 24

2)Главная часть доказательства в установлении сжимаемости последова-
тельности итераций по норме C(R) и её ограниченности снизу некоторой
постоянной зависящей от ε при условиях 1)-4).Норма разности ∆
n+1
=
||y
n+1
−y
n
||,где y
n+1
−y
n
выражается согласно формуле (4.6).Для получе-
ния требуемой оценки каждый из 2-х интегралов (4.6) представим в виде
ряда из интегралов по частичным промежуткам:M
k
= (a
k
+ δ,b
k
− δ) и
N
k
= (b
k
−δ,a
k+1
+δ)
k ∈ Z,где ϕ > 0 на (a
k
,b
k
)(ϕ < 0 на (b
k
,a
k+1
) по
условию), а δ > 0 выбирается из условия что на M
k
:|y
n
| < |ϕ| < 3ε(или
что тоже y
n
+ ϕ > 0).Последнее будет выполнятся при соответствующем
условии на ε,таких что
|y
k
+ ϕ| − |ϕ| − y
k
= 0 при t ∈ M
k
(4.7)
При этом оценки проведём для одного из интегралов (∆
1
n+1
),так как они
аналогичны.То есть имеем:
∆
1
n+1
=
∥
∥
∥
∥
∥
∥
e
t
2
·
∞
∑
k=k
0
a
k+1
+δ
∫
b
k
−δ
e
−τ
(|y
n−1
+ ϕ| − y
n−1
− (|y
n
+ ϕ| − y
n
))dτ
∥
∥
∥
∥
∥
∥
≤
≤
e
t
2
· 2||y
n−1
− y
n
|| ·
∞
∑
k=k
0
a
k+1
+δ
∫
b
k
−δ
e
−τ
dτ
что тоже
∆
1
n+1
≤ ∆
1
n
· e
t
·
∞
∑
k=k
0
(e
−(b
k
−δ)
− e
−(a
k+1
+δ)
)
(4.8)
То есть оценка выражения (4.8) сводится к оценке q = e
t
·∑
∞
k=k
0
(e
−(b
k
−δ)
−
e
−(a
k+1
+δ)
).Чтобы получить более удобную оценку наименьшее значение
k = k
0
выберается так чтобы t ∈ (b
k
− δ,a
k+1
+ δ) или t ∈ (a
k
+ δ,b
k
− δ).
Поэтому с учётом условий 1)-2) теоремы и (4.7) справедлива следущая
оценка:
q = e
t
· [e
−(b
k
−δ
· (1 − e
b
k
−a
k+1
−2δ
) + e
−(b
k+1
− δ · (1 − e
b
k+1
−a
k+2
−2δ
) + ...] <
< e
t
· (α + 2δ) ·
∞
∑
k=k
0
e
−(b
k
−δ)
В свою очередь ряд ∑
∞
k=k
0
e
−(b
k
−δ
представляет собой сумму убывающей
геометрической прогрессии с показателем a = −(b
k+1
−b
k
) = −β,поэтому:
q < (α + 2δ) ·
1
1 − e
−β
· e
t−b
k
+δ
23

---

Page 25

А с учётом выбора k = k
0
по предыдущему получаем ,что e
t−b
k
+δ
<
e
a
k+1
+δ−b
k
+δ
< e
α+2δ
. А по условию 3) теоремы ∃δ > 0,что (α + 2 · δ) ·
e
α+2·δ
· (1 − e
−β
)
−1
< 1/3.И из того что δ → 0 при ε → 0 можно извлечь
что длина промежутков отрицательности функции ϕ(t)(то есть величина
α) должна быть достаточно мала,что и объясняет условие 4) теоремы.
Из предыдущего следует что ∆
1
n+1
<
1
3
· ∆
1
n
, и аналогично получаем
∆
2
n+1
<
1
3
· ∆
2
n
,откуда немедленно следует:
∆
n+1
<
2
3
· ∆
n
Таким образом последовательность итераций y
n
удовлетворяет условию
сжимаемости с показателем q = 2/3,и справедливы оценки:
−3ε ≤ y
n+1
≤ y
n
≤ −ε.
3)Ограниченность снизу {y
n
} легко устанавливается из предыдущего
следующим образом:
|y
n+1
| = |(y
n+1
− y
n
) + (y
n
− y
n−1
) + ... + (y
1
− y
0
)| ≤
≤ |y
1
· ||(1 +
2
3
+
(2
3
)
2
+ ...
(2
3
)
n
)| = ε
1
1 − 2/3
откуда получаем: |y
n+1
| < 3ε,а точнее −3ε < y
n+1
≤ −ε.
Из пунктов 2) и 3) получаем сжимаемую и ограниченную последова-
тельность п.функций, которая по П.С.О и теореме о пределе последова-
тельности п.фукций, сходится к некоторой п. функции y = Φ(t,ε),откуда
вытекает существование решения уравнения (4.5) и соответственно (4.1)
в виде x(t,ε) = ϕ(t,ε) + Φ(t,ε).
Замечание:
Утверждение теоремы справедливо и в отношении почти периоди-
ческих функций, то есть если ϕ(t)- почти периодическое решение (при
выполнении соответствующих условий).
Следует заметить что если, ϕ(t) не удовлетворяет условиям 3), 4), то
проведённые рассуждения не дают желаемого результата,например ко-
гда исходное решение ϕ(t) является неположительным.Однако при неко-
торых условиях можно установить аналогичный результат
Итак рассмотрим исходное уравнение (4.1) в случае когда при ε = 0
уравнение x = |x|+p(t) имеет уже неположительное решение x = ϕ(t) ≤
0 ∀t ∈
R
,а само уравнени идентично (4.4).Как и ранее, после замены
24

---

Page 26

x = ϕ(t) + y(t,ε) вводим итерационный процесс,но в отличие от (4.5)
итерации определяются из уравнения:
y
n+1
= −y
n+1
+ |y
n
+ ϕ| − |ϕ| + y
n
+ ε
(4.9)
Исследование этого случая приведём в следующем утверждении:
Теорема 11 Если функция ϕ(t) ∈
2
(R) удволетворяет условиям:
1) ϕ(t) имеет период T = π.
2) |ϕ(t)| ≥ α · cos
2
(t)(α > 0).
Тогда для функции y = x − ϕ(t) соответствующее уравнение(4.9)
имеет Т-периодическое решение y = Φ(t,ε) – предел итерационной по-
следовательности положительных функций {y
n
(t,ε)},при начальном при-
ближении y
0
≡ 0.И при достаточно малых ε > 0 выполняются следую-
щие оценки:
|y
n+1
− y
n
| ≤ ε · q
n
, где q =
6
√
2ε
π
и 0 < y
n
< 3ε
Таким образом, уравнение (4.1) при достаточно малых ε > 0 имеет
знакопеременное T-периодическое решение x(t,ε) = ϕ(t) + Φ(t,ε).
Доказательство:
1)Так как по условию ϕ(t) имеет период T = π, то p(t) =ϕ − |ϕ| имеет
тот же период,что означает что соответствующий ряд Фурье не содержит
первой гармоники.
2)Покажем что последовательность {y
n
} обладает свойством сжимаемо-
сти по норме.Предположим по индукции,что 0 < y
n
< 3ε.Рассмотрим
уравнение (4.9) для разности y
n+1
− y
n
то есть:
(y
n+1
− y
n
)“ = −(y
n+1
− y
n
) + H(t,ε)
(4.10)
H(t,ε) = |y
n
+ ϕ| − |y
n−1
+ ϕ| + y
n
− y
n−1
и |H(t,ε)| ≤ 2 · |y
n
− y
n−1
|
Из предположения на y
n
получаем что |y
n
+ ϕ| и |y
n−1
+ ϕ| являются
отрицательными(тогда H(t,ε) = 0) на множестве D = {t : ϕ(t) < −3ε},а
мера дополнения на промежутке периода к D(то есть множества где
H(t,ε) = 0) не превышает γ
√
ε(γ = 2 ·
√
3
α
), что справедливо при выпол-
нение условия (2) теоремы.
Из последнего с учётом условий теоремы справедливы следующие
оценки коэффициентов Фурье функции H(t,ε) (H(t,ε)-непрерывная,кусочно
гладкая с периодом T
H
= π):
|a
2k
| ≤
2
π
|
π
∫
0
H(τ,ε) · cos(2kτ)dτ| <
4γ
√
ε
π
· |y
n
− y
n−1
|
25

---

Page 27

(аналогично для b
2k
)
Для y
n+1
−y
n
как единственного π-периодического решения уравнения
(4.10), соответствующий ряд Фурье имеет вид a
0
+∑
∞
k=1
(a
2k
·cos(2kt)+b
2k
·sin(2kt)
1−4k
2
,и
из предыдущего справедлива следующая оценка:
|y
n+1
− y
n
| ≤ q · |y
n
− y
n−1
|, где q =
4
√
2ε
π
· [1 +
∞
∑
k=1
1
4k
2
− 1
] =
6
√
2ε
π
Так как y
1
−y
0
= ε,то при соответствующем значение ε(так, чтобы q < 1)
справедливо:
|y
k+1
− y
k
| ≤ ε · q
k
Откуда следует что:
|y
n+1
| ≤ |y
n+1
− y
n
| + |y
n
− y
n−1
|...|y
1
− y
0
| < ε ·
1 + q
n+1
1 − q
то есть
|y
n+1
| < ε ·
1
1 −
6
√
2ε
π
< 3ε
Докажем что y
n
>
ε
2
если q <
1
3
,действительно:
|y
n
− y
1
| ≤ |y
n
− y
n−1
| + .. + |y
2
− y
1
| < ε · q + ε · q
2
+ ..ε · q
n−1
=
ε · q
1 − q
<
ε
2
И так как y
1
= ε, то y
n
>
ε
2
.
Таким образом последовательность {y
n
}(где y
n
∈ C
2
с перидом T =
π) обладает свойством сжимаемости и имеет предел - T-периодическую
функцию y = Φ(t,ε),которая является решением уравнения (4.9).Тем
самым доказано что исходное уравнение (4.1) имеет при ε удволетворя-
ющих выше указанным неравенствам знакопеременное π-периодическое
решение x(t,ε) = ϕ(t) + Φ(t,ε).
26

---

Page 28

Список литературы
[1] Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний.// М.: Наука,
1964.
[2] Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.//
М.: Наука, 1967.
[3] Cидоров Е.А.,Иванов Ф.С. Зависимость п.п.решений уравнения
x = |x| + p(t) + ε от параметра. // Тезисы международн.
конф.посвящённой 110-летию И.Г.Петровского. Москва 30 мая-4
июня 2011 стр. 343–344.
[4] Иванов Г.Г.,Кравец Т.Ф. О числе периодических и почти периоди-
ческих решений о.д.у..// Вестник ЛГУ.сб.т.2,No8,1991,стр.28-31.
[5] Кнежевич Ю. Исследование периодических и почти периодических
решений о.д.у.// Матем.записки,т.29,1979,стр.51-54.
[6] Крюков Б.И.Вынужденные колебания существенно нелинейных си-
стем.// М.: Машиностроение, 1984.
[7] Сидоров Е.А.О сосуществовании разнозначных периодических ре-
шений некоторых кусочно дифференцируемых дифференциальных
уравнений // Тезисы международн. конфер. "Дифференциальные
уравнения и топология посвящённая 100-летию Л.С.Понтрягина.
Москва 17-22 июля 2008 стр. 194–195.
27