Методы принятия управленческих решений
Автор работы: Пользователь скрыл имя, 31 Марта 2014 в 13:08, курсовая работа
Краткое описание
Приведем несколько общих критериев рационального выбора вариантов решений из множества возможных. Критерии основаны на анализе матрицы возможных состояний окружающей среды и альтернатив решений.
Матрица, приведенная в таблице 1, содержит: Аj - альтернативы, т.е. варианты действий, один из которых необходимо выбрать; Si - возможные варианты состояний окружающей среды; aij - элемент матрицы, обозначающий значение стоимости капитала, принимаемое альтернативой j при coстоянии окружающей среды i.
Содержание
1.Теоретическая часть.............................................................................................3
1.1 Критерии принятия решений в условиях неопределённости......................3
1.2 Линейное программирование.........................................................................7
1.3 Динамическое программирование.................................................................9
2.Практическая часть.............................................................................................13
2.1Принятие решений в условиях неопределенности и риска........................13
2.2 Задача линейного программирования........................................................15
2.3 Задача динамического программирования.................................................19
ЛИТЕРАТУРА И ПРИЛОЖЕНИЯ.................................................................................22
2
Вложенные файлы: 1 файл
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Российская академия народного хозяйства и государственной службы
при Президенте Российской Федерации
НИЖЕГОРОДСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ
Факультет Государственного и муниципального управления
Кафедра Математики и системного анализа
КУРСОВАЯ РАБОТА
Применение методов математического программирования для
выработки и принятия управленческих решений
Вариант 0
Направление подготовки:
Государственное и муниципальное
управление
Выполнил: студент Гк-724
Сухарина И А
Научный руководитель:
профессор, доктор технических наук
Ломакина Л.С.
г.Нижний Новгород
2014г.
Содержание
Оглавление
1.Теоретическая часть.............................................................................................3
1.1 Критерии принятия решений в условиях неопределённости......................3
1.2 Линейное программирование.........................................................................7
1.3 Динамическое программирование.................................................................9
2.Практическая часть.............................................................................................13
2.1Принятие решений в условиях неопределенности и риска........................13
2.2 Задача линейного программирования........................................................15
2.3 Задача динамического программирования.................................................19
ЛИТЕРАТУРА И ПРИЛОЖЕНИЯ.................................................................................22
2
1. Теоретическая часть
1.1 Критерии принятия решений в условиях неопределённости
Приведем несколько общих критериев рационального выбора
вариантов решений из множества возможных. Критерии основаны на анализе
матрицы возможных состояний окружающей среды и альтернатив решений.
Матрица, приведенная в таблице 1, содержит: Аj - альтернативы, т.е.
варианты действий, один из которых необходимо выбрать; Si - возможные
варианты состояний окружающей среды; aij - элемент матрицы,
обозначающий значение стоимости капитала, принимаемое альтернативой j
при coстоянии окружающей среды i.
Таблица 1. Матрица решений
Альтер
натива
S (состояние
среды)
А
S1
S2
…
Si
…
Sm
А
1
a11
a12
…
a1i
…
a
1m
…
…
…
…
…
…
Аj
aj1
aj2
…
aji
…
a
jm
Аn
an1
an2
…
ajn
…
a
nm
Для выбора оптимальной стратегии в ситуации неопределённости
используются различные правила и критерии.
Правило максимин (критерий Ваальда)
В соответствии с этим правилом из альтернатив aj выбирают ту,
которая при самом неблагоприятном состоянии внешней среды, имеет
наибольшее значение показателя. С этой целью в каждой строчке матрицы
3
фиксируют альтернативы с минимальным значением показателя и из
отмеченных минимальных выбирают максимальное. Альтернативе а* с
максимальным значением из всех минимальных даётся приоритет.
Принимающий решение в этом случае минимально готов к риску,
предполагая максимум негативного развития состояния внешней среды и
учитывая наименее благоприятное развитие для каждой альтернативы.
По критерию Ваальда лица, принимающие решения, выбирают
стратегию, гарантирующую максимальное значение наихудшего выигрыша
(критерия максимина).
Правило максимакс
В соответствии с этим правилом выбирается альтернатива с
наивысшим достижимым значением оцениваемого показателя. При этом ЛПР
не учитывает риска от неблагоприятного изменения окружающей среды.
Альтернатива находится по формуле:
а* = {аjmaxj maxi Пij}
Используя это правило, определяют максимальное значение для
каждой строки и выбирают наибольшее из них.
Большой недостаток правил максимакса и максимина - использование
только одного варианта развития ситуации для каждой альтернативы при
принятии решения.
Правило минимакс (критерий Севиджа)
В отличие от максимина минимакс ориентирован на минимизацию не
столько потерь, сколько сожалений по поводу упущенной прибыли. Правило
допускает разумный риск ради получения дополнительной прибыли.
Критерий Севиджа рассчитывается по формуле:
min max П = mini [maxj (maxi Xij - Xij)]
4
где mini, maxj - поиск максимума перебором соответствующих
столбцов и строк.
Расчёт минимакса состоит их четырёх этапов:
1) Находится лучший результат каждой графы в отдельности, то есть
максимум Xij (реакции рынка).
2) Определяется отклонение от лучшего результата каждой отдельной
графы, то есть maxi Xij - Xij. Полученные результаты образуют матрицу
отклонений (сожалений), так как её элементы - это недополученная прибыль
от неудачно принятых решений, допущенных из-за ошибочной оценки
возможности реакции рынка.
3) Для каждой сточки сожалений находим максимальное значение.
4) Выбираем решение, при котором максимальное сожаление будет
меньше других.
Правило Гурвица
В соответствии с этим правилом правила максимакс и максимин
сочетаются связыванием максимума минимальных значений альтернатив. Это
правило называют ещё правилом оптимизма - пессимизма. Оптимальную
альтернативу можно рассчитать по формуле:
а* = maxi [(1-б) minj Пji+ б maxj Пji]
где б - коэффициент оптимизма, б =1…0 при б =1 альтернатива
выбирается по правилу максимакс, при б =0 - по правилу максимин.
Учитывая боязнь риска, целесообразно задавать б =0,3. Наибольшее значение
целевой величины и определяет необходимую альтернативу.
Правило Гурвица применяют, учитывая более существенную
информацию, чем при использовании правил максимин и максимакс.
5
Таким образом, при принятии управленческого решения в общем
случае необходимо:
- спрогнозировать будущие условия, например, уровни спроса;
- разработать список возможных альтернатив
- оценить окупаемость всех альтернатив;
- определить вероятность каждого условия;
- оценить альтернативы по выбранному критерию решения.
Непосредственное
применение
критериев
при
принятии
управленческого решения в условиях неопределённости рассмотрено в
практической части данной работы.
6
1.2 Линейное программирование
Линейное программирование – направление математики, изучающее
методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной
зависимостью между переменными и линейным критерием оптимальности.
Экономико-математическая
модель
любой
задачи
линейного
программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение
которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде
системы
линейных
уравнений
или
неравенств; требование
неотрицательностипеременных.
В общем виде модель записывается следующим образом:
• целевая функция:
= c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ ... + c
n
x
n
→ max(min);
(
1)
• ограничения:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
...
+
a
1n
x
n
{≤≥}b
1
,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ... + a
2n
x
n
{≤ = ≥} b
2
,
……………….
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ ... + a
mn
x
n
{≤ = ≥} b
m
;
(
2)
• требование неотрицательности:
x
j
≥ 0,
(
3)
При этом a
ij
, b
i
, c
j
(
) - заданные постоянные величины.
Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (1) при
соблюдении ограничений (2) и (3).
Систему ограничений (2) называют функциональными ограничениями
задачи, а ограничения (3) - прямыми.
7
Вектор
, удовлетворяющий ограничениям (2) и (3),
называется допустимым
решением
(планом) задачи
линейного
программирования. План
, при котором функция (1) достигает
своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным.
В практической части мы будем решать задача об оптимальном
использовании ресурсов при производственном планировании .Общий смысл
задач этого класса сводится к следующему.
Предприятие выпускает n различных изделий. Для их производства
требуется m различных видов ресурсов (сырья, материалов, рабочего времени
и т.п.). Ресурсы ограничены, их запасы в планируемый период составляют,
соответственно, b
1
, b
2
,..., b
m
условных единиц.
Известны также технологические коэффициенты a
ij
, которые
показывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства
единицы изделия j-го вида (
).
Прибыль, получаемая предприятием при реализации изделия j-го вида,
равна c
j
.
В планируемом периоде значения величин a
ij
, b
i
и c
j
остаются
постоянными.
Требуется составить такой план выпуска продукции, при реализации
которого прибыль преприятия была бы наибольшей.
8
1.3 Динамическое программирование
Динамическое программирование — это вычислительный метод для
решения задач определенной структуры. Возникло и сформировалось в 1950-
1953 гг. благодаря работам Р. Беллмана над динамическими задачами
управления запасами. В упрощенной формулировке динамическое
программирование представляет собой направленный последовательный
перебор вариантов, который обязательно приводит к глобальному максимуму.
Основные необходимые свойства задач, к которым возможно
применить этот принцип:
1.
Задача должна допускать интерпретацию как n-шаговый процесс
принятия решений.
2.
Задача должна быть определена для любого числа шагов и иметь
структуру, не зависящую от их числа.
3.
При рассмотрении k-шаговой задачи должно быть задано
некоторое множество параметров, описывающих состояние системы, от
которых зависят оптимальные значения переменных. Причем это множество
не должно изменяться при увеличении числа шагов.
4.
Выбор решения (управления) на k-м шаге не должен оказывать
влияния на предыдущие решения, кроме необходимого пересчета
переменных.
Постановку задачи динамического программирования рассмотрим на
примере инвестирования, связанного с распределением средств между
предприятиями.
В
результате
управления
инвестициями
система
последовательно переводится из начального состояния S
0
В конечное S
n
.
Предположим, что управление можно разбить на n шагов и решение
принимается последовательно на каждом шаге, а управление представляет
собой совокупность n пошаговых управлений. На каждом шаге необходимо
определить
два
типа
переменных
-
переменную
состояния
системы S
k
переменную управления x
k
. Переменная S
k
определяет, в каких
9
состояниях может оказаться система на рассматриваемом k-м шаге. В
зависимости от состояния S на этом шаге можно применить некоторые
управления, которые характеризуются переменной xk которые удовлетворяют
определенным ограничениям и называются допустимыми. Допустим. = (x
1
,
x
2
, ..., x
k
, ..., x
n
) - управление, переводящее систему на состояния S
0
в
состояние S
n
, a S
k
- есть состояние системы на k-м шаге управления. Тогда
последовательность состояний системы можно представить в виде графа,
представленного ниже:
x1
x2
xk-1
xk
xk+1
xn
S0 → S1 → ... → Sk-1 → Sk → ... → Sn
Применение управляющего воздействия x
k
на каждом шаге переводит
систему в новое состояние S
1
(S, x
k
) и приносит некоторый результат W
k
(S,
x
k
). Для каждого возможного состояния на каждом шаге среди всех
возможных управлений выбирается оптимальное управление x*
k
, такое,
чтобы результат, который достигается за шаги с k-го по последний n-й,
оказался бы оптимальным. Числовая характеристика этого результата
называется функцией Беллмана F
k
(S) и зависит от номера шага k и состояния
системы S. Задача динамического программирования формулируется
следующим образом: требуется определить такое управление , переводящее
систему из начального состояния S
0
в конечное состояние S
n
, при котором
целевая функция принимает наибольшее (наименьшее) значение F(S
0
,) =>
extr.
Рассмотрим более подробно особенности математической модели
динамического программирования:
1.
задача оптимизации формулируется как конечный многошаговый
процесс управления;
2.
целевая функция (выигрыш) является аддитивной и равна сумме
целевых функций каждого шага:
F = ∑ F
k
(S
k−1
, x
k
) → extremum ;
10
3.
выбор управления x
k
на каждом шаге зависит только от состояния
системы k этому шагу S
k-1
, и не влияет на предшествующие шаги (нет
обратной связи);
4.
состояние системы S
k
после каждого шага управления зависит
только от предшествующего состояния системы S
k-1
и этого управляющего
воздействия x
h
(отсутствие последействия) и может быть записано в виде
уравнения состояния: S
k
= f
k
(S
k-1
, x
k
), k = 1, n;
5.
на каждом шаге управление x
k
зависит от конечного числа
управляющих переменных, а состояние системы зависит S
k
– от конечного
числа параметров;
6.
оптимальное
управление
представляет
собой
вектор ,
определяемый последовательностью оптимальных пошаговых управлений:
(х*
1
, х*
2
, …, х*
k
, …, х*), число которых и определяет количество шагов
задачи.
В основе метода ДП лежит принцип оптимальности, впервые
сформулированный
в
1953
г.
американским
математиком
Р.Э.Беллманом: каково бы ни было состояние системы в результате
какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать
управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением
на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на
всех оставшихся шагах, включая выигрыш на данном шаге. При
решении задачи на каждом шаге выбирается управление, которое должно
привести к оптимальному выигрышу.
На первом этапе решения задачи, называемом условной оптимизацией,
определяются функция Беллмана и оптимальные управления для всех
возможных состояний на каждом шаге, начиная с последнего в соответствии
с алгоритмом обратной прогонки. На последнем, n-м шаге оптимальное
управление - х*
n
определяется функцией Беллмана: F(S) = max {W
n
(S, x
n
)}, в
11
соответствии с которой максимум выбирается из всех возможных
значений x
n
, причем x
n
€ X.
Дальнейшие вычисления производятся согласно рекуррентному
соотношению, связывающему функцию Беллмана на каждом шаге с этой же
функцией, но вычисленной на предыдущем шаге. В общем виде это
уравнение имеет вид F
n
(S) = max {W
n
(S, x
n
) + F
k+1
(S
n
(S, x
k
)} x
k
€ X.
Этот максимум (или минимум) определяется по всем возможным
для k и S значениям переменной управления X.
12
2. Практическая часть
2.1Принятие решений в условиях неопределенности и риска
Используя заданную матрицу полезностей, найти оптимальные
решения,
используя пессимистический критерий, оптимистический
критерий, нейтральный критерий Гурвица, критерий минимизации
максимального риска.
Матрица полезностей
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
1
60
28
12
9
0
2
65
23
13
8
2
3
50
18
10
7
0
4
45
18
10
6
4
5
25
13
11
10
5
6
35
18
12
11
6
P
0,1
0,05 0,3
0,25 0,3
исключение доминируемых
6<2
Преобразованная таблица
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
1
60
28
12
9
0
2
65
23
13
8
2
3
50
18
10
7
0
4
45
18
10
6
4
5
25
13
11
10
5
P
0,1
0,05 0,3
0,25 0,3
Критерий крайнего пессимизма
v=max(0,2,0,4,5,6)=0
13
По критерию крайнего пессимизма оптимальной является 5 альтернатива
Критерий крайнего оптимизма
v=max(60,65,50,45,25)=65
Покритерию крайнего оптимизма оптимальной является 5 альтернатива
Критерий Гурвица
alpha 0,3
v1= 60
v2= 65
v3= 50
v4= 45
v5= 25
v=max(0,3;60;65;50,45;25)=65
По
критерию
Гурвица
с
заданным
коэффициентом
пессимизма
0,3
оптимальной является 5 альтернатива
Критерий Сэвиджа (минимизации максимального риска
Матрица риска
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
max(aij)
1
0
0
1
2
6
6
2
-5
5
0
3
4
5
3
10
10
3
4
6
10
4
15
10
3
5
2
15
5
35
15
2
1
1
35
14
v=min(max(aij))=6
По критерию минимизации максимального риска оптимальной является 1
альтернатива
По всем рассмотренным критериям оптимальной является 1 альтернатива
15
2.2 Задача линейного программирования
Задача. Для производства двух видов изделий A и B предприятие использует
три вида сырья (I, II, III). Условия задачи приведены в таблице. Необходимо
составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия
от реализации продукции будет максимальной.
Составим экономико-математическую модель задачи
x1 — число единиц А
х2 — число единиц В
Система ограничений на использование сырья
16
исходные данные для варианта
0
Вид сырья
Нормы расхода сырья
Общее
на 1 изделие кг
количество
А
В
сырья, кг
I
7
8
476
II
6
3
364
III
5
1
319
Прибыль от
11
10
1 изделия (д.ед.)
7x1+8x2<=476
6x1+3x2<=364
5x1+1x2<=319
x1>=0
x2>=0
Целевая функция
F(x)=11x1+7x2-->max
Пусть ось x1 — абсциссы
Пусть ось x2 - ординаты
Выразим неравенства через x1
1 изделия (д.ед.) X2<=(476-7x1)/8
2
X2<=(364-6x1)/3
3
X2<=(319-1x1)/1
x1>=0
x2>=0
многоугольник допустимых решений
x1
1
2
3
F(x) F=0
0
59,5 121,3333333333 319 0
0
0
60
7
1,3333333333
19
109,093
30
-16,5
17
После того, как мы начертили график по найденным координатам
точек, получаем многоугольник АBC0, удовлетворяющий области
допустимых значений.
Вектор целевой функции f имеет координаты (0;0) (11;7). Строим к
нему перпендикуляр и переносим его к каждой точке полупившегося
многоугольника. Точка С – точка оптимума, где функция приобретает
наибольшее значение.
Последняя точка области допустимых решений
Точка А
Находим координаты точки А
x1= 0
x2= 59,5
так как число единиц продукции — целое число и мы не можем
превысить объем сырья, округляем число единиц до целого в меньшую
сторону
x1= 58
x2= 0
максимальная прибыль Fmax=11*0+10*59=590
Предприятие должно выпустить0 единиц продукции А и 59 единиц
продукции В для максимизации прибыли 590 д.ед.
18
2.3 Задача динамического программирования
Задача. Совет директоров фирмы рассматривает предложение по
наращиванию производственных мощностей для увеличения выпуска
однородной продукции на четырех предприятиях, принадлежащих фирме.
Для модернизации предприятия совет директоров инвестирует средства в
объеме 250 млн. р. с дискретностью 50 млн. р. Прирост выпуска продукции
Динамическое программирование для варианта 0
Инвестиции
Прирост выпуска продукции млн руб
млн. руб. предпр 1 предпр 2 предпр 3 предпр 4
x
f1
f2
f3
f4
50
5
7
6
4
100
9
10
8
11
150
21
20
21
19
200
34
34
32
35
250
38
39
40
41
19
Пояснение к построению таблицы:
Столбец 4 заполняется на основе исходных данных о функциях дохода,
значения в столбце 5 берутся из столбца 4 предыдущей таблицы, столбец 6
заполняется суммой значений столбцов5 и 4
В столбце 7 записывается максимальное значение предыдущего
столбца для фиксированного начального состояния, и в 8 столбце
записывается управление из 2 столбца, на котором достигается максимум в 7.
Для К=2 и к=1 значения Z*3(s2) и z*2(s1) формируются из
максимальных значений - столбцов 7 и 12 соответственно.
остальные столбцы формируем по аналогии с первыми
максимальный элемент предпоследнего столбца представляет собой
максимальный выпуск продукции, соответствующий ему объем вложений
соответствует вложениям в 1 предприятие. Вложения в остальные
предприятия раскрываем в таблице в обратном порядке( выделены жирным.
Ответ:
Максимум суммарного выпуска продукции равен 44млн. руб
Первому предприятию 50млн.руб
Второму предприятию 50 руб
Третьему предприятию 150 млн руб
Четвертому предприятию 0 млн руб
21
ЛИТЕРАТУРА И ПРИЛОЖЕНИЯ
РАЗРАБОТКА И УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ.
Методические указания к решению типовых задач. 2006
22
Информация о работе Методы принятия управленческих решений