Автор работы: Пользователь скрыл имя, 12 Ноября 2014 в 17:14, контрольная работа
1. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
x1 - x2 + x3 = 6
x1 - 2x2 + x3 = 9
x1 - 4x2 - 2x3 = 3
2. Решить систему линейных уравнений матричным методом:
2x1 - x2 - x3 = 4
3x1 + 4x2 - 2x3 = 1
3x1 - 2x2 + 4x3 = 1
3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
x1 + 2x2 - 3x3 - 4x4 = 4
2x1 + 3x2 - 4x3 - 5x4 = 4
x1 + x2 - 2x3 - 2x4 = 2
4x1 + 3x2 - 4x3 - 6x4 = 3
2-ую строку делим на -1
|
1 |
2 |
-3 |
-4 |
4 |
|
0 |
1 |
-2 |
-3 |
4 | ||
0 |
-1 |
1 |
2 |
-2 | ||
0 |
-5 |
8 |
10 |
-13 |
от 1; 3; 4 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 2; -1; -5
|
1 |
0 |
1 |
2 |
-4 |
|
0 |
1 |
-2 |
-3 |
4 | ||
0 |
0 |
-1 |
-1 |
2 | ||
0 |
0 |
-2 |
-5 |
7 |
3-ую строку делим на -1
|
1 |
0 |
1 |
2 |
-4 |
|
0 |
1 |
-2 |
-3 |
4 | ||
0 |
0 |
1 |
1 |
-2 | ||
0 |
0 |
-2 |
-5 |
7 |
от 1; 2; 4 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 1; -2; -2
|
1 |
0 |
0 |
1 |
-2 |
|
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 | ||
0 |
0 |
1 |
1 |
-2 | ||
0 |
0 |
0 |
-3 |
3 |
4-ую строку делим на -3
|
1 |
0 |
0 |
1 |
-2 |
|
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 | ||
0 |
0 |
1 |
1 |
-2 | ||
0 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
от 1; 2; 3 строк отнимаем 4 строку, умноженную соответственно на 1; -1; 1
|
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
-1 | ||
0 |
0 |
1 |
0 |
-1 | ||
0 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
Ответ:
|
x1 = -1 |
x2 = -1 | |
x3 = -1 | |
x4 = -1 |
Векторная алгебра.
2. Выяснить, что векторы A1, A2, A3 образуют базис, и разложить по этому базису вектор B = (3, -3, -4):
A1 = (3, 0, 2), A2 = (1, -1, -2), A3 = (2, 1, 2).
Решение:
Сначала проверим являются ли данные вектора базисом:
Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение:
x1a1+x2a2+ x3a3= 0
Перепишем векторное уравнение в матричном виде и решим его методом Гаусса
|
3 |
1 |
2 |
|
0 |
-1 |
1 | ||
2 |
-2 |
2 |
1-ую строку делим на 3
|
1 |
1/3 |
2/3 |
|
0 |
-1 |
1 | ||
2 |
-2 |
2 |
от 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 2
|
1 |
1/3 |
2/3 |
|
0 |
-1 |
1 | ||
0 |
-8/3 |
2/3 |
2-ую строку делим на -1
|
1 |
1/3 |
2/3 |
|
0 |
1 |
-1 | ||
0 |
-8/3 |
2/3 |
от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 1/3; -8/3
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
-1 | ||
0 |
0 |
-2 |
3-ую строку делим на -2
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
-1 | ||
0 |
0 |
1 |
от 1; 2 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 1; -1
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 | ||
0 |
0 |
1 |
Ответ: Данная система векторов образует базис (линейно независимая система векторов), так как все xi = 0.
Теперь разложим по этому базису вектор B = (3, -3, -4)
Решение:
Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение:
x1a1+ x2a2+ x3a3= b
Перепишем векторное уравнение в матричном виде и решим его методом Гаусса
|
3 |
1 |
2 |
3 |
|
0 |
-1 |
1 |
-3 | ||
2 |
-2 |
2 |
-4 |
1-ую строку делим на 3
|
1 |
1/3 |
2/3 |
1 |
|
0 |
-1 |
1 |
-3 | ||
2 |
-2 |
2 |
-4 |
от 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 2
|
1 |
1/3 |
2/3 |
1 |
|
0 |
-1 |
1 |
-3 | ||
0 |
-8/3 |
2/3 |
-6 |
2-ую строку делим на -1
|
1 |
1/3 |
2/3 |
1 |
|
0 |
1 |
-1 |
3 | ||
0 |
-8/3 |
2/3 |
-6 |
от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 1/3; -8/3
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
-1 |
3 | ||
0 |
0 |
-2 |
2 |
3-ую строку делим на -2
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
-1 |
3 | ||
0 |
0 |
1 |
-1 |
от 1; 2 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 1; -1
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
2 | ||
0 |
0 |
1 |
-1 |
Ответ:
b |
= |
a1 |
+ |
2 |
a2 |
- |
a3 |
3. Найти косинус угла между векторами a и b: a = (2, -4, 4), b = (-3, 2, 6).
Решение:
Найдем скалярное произведение векторов:
a· b= ax· bx+ ay · by+ az· bz
|
a · b = |
2 |
· |
(-3) |
+ |
(-4) |
· |
2 |
+ |
4 |
· |
6 |
= |
-6 |
- |
8 |
+ |
24 |
= |
10 |