Автор работы: Пользователь скрыл имя, 12 Ноября 2014 в 17:14, контрольная работа
1. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
x1 - x2 + x3 = 6
x1 - 2x2 + x3 = 9
x1 - 4x2 - 2x3 = 3
2. Решить систему линейных уравнений матричным методом:
2x1 - x2 - x3 = 4
3x1 + 4x2 - 2x3 = 1
3x1 - 2x2 + 4x3 = 1
3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
x1 + 2x2 - 3x3 - 4x4 = 4
2x1 + 3x2 - 4x3 - 5x4 = 4
x1 + x2 - 2x3 - 2x4 = 2
4x1 + 3x2 - 4x3 - 6x4 = 3
Найдем длины векторов:
|a| = √ax2 + ay2 + az2= √22 +
= √4 + 16 + 16= √36 |
| |||
|b| = √bx2 + by2 + bz2= √(-3)2
= √9 + 4 + 36= √49 |
| |||
cos α = |
|
|a||b| |
cos α= |
10 |
| |||||||||
6 · 7 |
4. Вычислить скалярное произведение векторов: a = (3, -2, 4), b = (1, -2, 5).
Решение:Если векторы а и b заданы своими координатами, то решение равно:
a· b= ax· bx + ay· by+ az· bz
a· b= |
3 |
· |
1 |
+ |
(-2) |
· |
(-2) |
+ |
4 |
· |
5 |
= |
3 |
+ |
4 |
+ |
20 |
= |
27 |
6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а = (-4, 1, 2) и b = (5, -1, 1)
Решение:
S = |a× b|
c= a× b
Найдем векторное произведение векторов:
c= a× b
a× b= |
j |
||
ax |
ay |
az | |
bx |
by |
bz |
a× b= |
j |
= | ||
-4 |
1 |
2 | ||
5 |
-1 |
1 |
= |
i |
( |
1 |
· |
1 |
- |
2 |
· |
(-1) |
) |
- |
j |
( |
(-4) |
· |
1 |
- |
2 |
· |
5 |
) |
+ |
k |
( |
(-4) |
· |
(-1) |
- |
1 |
· |
5 |
) |
= |
= |
i |
( |
1 |
+ |
2 |
) |
- |
j |
( |
-4 |
- |
10 |
) |
+ |
k |
( |
4 |
- |
5 |
) |
= |
{ |
3 |
; |
14 |
; |
-1 |
} | |
Найдем модуль вектора:
|c| = √cx2 + cy2 + cz2= √32 +
= √9 + 196 + 1= √206 |
Найдем площадь треугольника:
S |
| ||||||
1.Выяснить, является ли
данная система векторов
Решение:
Для решения
запишем векторное уравнение:
x1a1+ x2a2+ x3a3= 0
Перепишем векторное уравнение в матричном виде и решим его методом Гаусса
|
-7 |
-5 |
-8 |
|
5 |
7 |
7 | ||
19 |
-7 |
14 |
1-ую строку делим на -7
|
1 |
5/7 |
8/7 |
|
5 |
7 |
7 | ||
19 |
-7 |
14 |
от 2; 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 5; 19
|
1 |
5/7 |
8/7 |
|
0 |
24/7 |
9/7 | ||
0 |
-144/7 |
-54/7 |
2-ую строку делим на 24/7
|
1 |
5/7 |
8/7 |
|
0 |
1 |
0.375 | ||
0 |
-144/7 |
-54/7 |
от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 5/7; -144/7
|
1 |
0 |
0.875 |
|
0 |
1 |
0.375 | ||
0 |
0 |
0 |
Ответ: Данная система векторов не является базисом (линейно зависимая система векторов), так как существуют xi ≠ 0.
5. Вычислить внутренние углы треугольника ABC: A (1, 2, 1), B (3, -1, 7), C (7, 4, -2).
Решение:
Найдем вектора ВА, СА, СВ:
ВА=, СА=, СВ=
√4 + 9 + 36 = √49 |
| |||
Найдем длины векторов:
ВА=|a| = √ax2 + ay2 + az2 = √(
√36 + 4 + 9= √49 |
| |||
√16 + 25 + 81= √122=11,04 |
СА= |a| = √ax2 + ay2 + az2= √(-6)2
СВ= |a| = √ax2 + ay2 + az2= √(-4)2
Находим углы между векторами (внутренние углы треугольника):
= =
= =
= =