Метод поиска наилучшей математической модели

МЕТОД ПОИСКА НАИЛУЧШЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ

При моделировании многомерных сложных систем с помощью метода последовательного усложнения математической модели ошибка аппроксимации растет быстрее, чем точность аппроксимации. Поэтому область применения метода последовательного усложнения математической модели для описания сложных многомерных систем весьма органичена. Следовательно, разработка метода определения этой области при исследовании сложных многомерных информационных систем приобретает большое теоретическое и практическое значение. Метод поиска адекватной модели в случае многомерных систем может базироваться, так же, как и для случая моделирования одномерных систем, на критерии Фишера [2].

В начале рассматривается линейная многомерная модель

=  +  X1 +  X2 + …+  Xn

с точностью аппроксимации

D1=  ,   = n+1.

С целью сопоставления при помощи метода последовательных усложнений модели строится более сложная модель исследуемого процесса

= 

с оценкой точности аппроксимации

D2=  2

Выбор лучшей из этих двух последовательных моделей производится при помощи критерия Фишера

В случае удовлетворения критерию Фишера последняя более сложная модель считается лучшей, а предыдущая – худшей. Затем рассматривается следующая, еще более сложная модель

с оценкой степени точности аппроксимации в виде

,

Аналогично эти две модели сопоставляются при помощи критерия Фишера, т.е.

Процесс продолжается до тех пор, пока не обнаружатся нарушения критерия Фишера, после чего процесс усложнения модели останавливается и предпоследняя модель считается наилучшей. Эта модель и принимается в качестве математической модели исследуемой многомерной системы.

Процесс поиска наилучшей математической модели для описания сложных многомерных систем в общем виде можно представить так.

Рассматриваются две последовательные модели

и

с соответствующими точностями аппроксимации

,  ,

, 

Далее эти модели сопоставляются при помощи критерия Фишера

Если критерий Фишера удовлетворяется, то для последующего сравнения оставляется последняя модель, а предыдущая отбрасывается как непригодная для описания исследуемого процесса.

Затем вводится новая более усложненная модель. Процесс продолжается до тех пор, пока не обнаружатся отклонения от критерия Фишера.

Как известно, при исследовании многомерных систем часто требуется выявить совместное влияние управляющих факторов. В этом случае необходимо в процессе поиска наилучших моделей учитывать совместное влияние управляющих факторов. Метод поиска адекватной модели с учетом совместных влияний факторов можно построить так. Вводятся две последовательные модели в виде

,

с соответствующими оценками точности аппроксимации

, 

.

Далее, сопоставляя эти модели при помощи критерия Фишера, можно обеспечить поиск наилучшей математической модели, содержащей члены, характеризующие совместное влияние управляющих факторов.

Рассмотрим пример управления лечебным процессом для больных страдающих болезнями вен нижних конечностей. В качестве лечебных воздействий был использован магнитный аппарат, где были применены методы построения математических моделей зависимостей между различными жизненноважными параметрами и внешних воздействий. Приводим один из результатов, где полностью используется вышеописанный метод и реальные клинические результаты, (таблица 1).

В табл.1 приводятся данные 15 больных страдающих болезнями нижных конечностей. Определены 2 параметра: у – максимальное артериальное давление, х – количество сеансов магнитотералии.

Таблица 1

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
У	130	130	140	125	150	140	130	130	140	135	160	130	130	170	140
Х	15	8	16	10	10	8	15	8	12	12	12	12	10	12	12

Исследуем изменение параметра У в зависимости от изменения параметра Х путем построения аналитической зависимости. Существуют различные способы построения аналитических зависимостей, среди которых, на наш взгляд, наиболее целесообразным является метод наименьших квадратов, который основан на требовании о том, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных и теоретических (вычисленных) данных была наименьшей [1,3,4]:

, (1)

где y(xi) – априорное (эксприментальное) значение артериального давления;   –теоретическое (вычисленное) значение артериального давления.

Принцип, положенный на основе метода наименьших квадратов, может быть записан в сжатом и удобном математическом виде:

или

, (2)

Если теоретическое описание зададим в виде уравнений линейной регрессии:

, (3)

то соотношение (2) перепишется в виде:

.

В такой постановке задача минимизации S, достигается подбором неизвестных параметров “ ” и “ ”, для чего находим частные производные функции “S” сначала по параметру “ ”   затем по “ ” и приравниваем их к нулью, т.е.

,

.

Преобразовывая получим:

,

, (4)

Раскрывая и производя соответствующие преобразования получим следующее:

, (5)

. (6)

где  ; 

;  .

На основе данных табл.1 получим следующие результаты:

;  ;  ;

Теперь можем усложнить эти уравнения в виде уравнении параболы

, (7)

Перепишем выше приведенную систему линейных неоднородных алгебраических уравнений третьего порядка, относительно неизвестных параметров  ,  ,  :

, (8)

Производя соответствующие вычисления по данным табл.1 и подставляя их в (8) получим:

+ 11.466  + 137.466  =138.666,

11.466 + 137.466   + 1716.666  = 1592.66

137.466  + 1716.666  + 22232.666  = 19096, (9)

= 47.364;  = 15.835;  = -0.656;

y = 47.364 + 15.835x – 0.656x2

Таким образом, так как  , то полученная аналитическая зависимость достаточно точно (адекватно) описывает изменения параметра У от изменения Х и поэтому процесс усложнения модели останавливается. При недостаточности степени точности аппроксимации процесс усложнения можно продолжать. Аналогичным образом строятся аналитические зависимости между другими различными параметрами для выбранной таблицы для исследовательских работ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Папазов М.Г., Могильный С.Г. Теория ошибок и способ наименьших квадратов. Москва: Недра, 1968. 302 с.
2. Норман Дрейлер, Гарри Смит. Прикладной регрессионный анализ. Множественная регрессия=Applied Regression Analisis. 3-е изд. М.: Диалектика, 2007. 912 с.
3. Радченко С.П. Устойчивые методы оценивания статистических моделей: Монография. К.: ПП «Санспарель», 2005. 504 с.
4. Стрижов В.В. Методы индуктивного порождения регрессионных моделей. М.: ВЦ РАН, 2008. 55 с.