Минимизация функций одной переменной

Схема алгоритма.

Рис.5.1. Блок-схема

 

 

program Kramer;

uses CRT;

const

n=25;

type

TArrayXY = array[1..2,1..n] of real;

TArray = array[1..n] of real;

var

SumX,SumY,SumX2,SumXY,SumX3,SumX4,SumX2Y,SumLnY,SumXLnY: real;

OPRlin,OPRkvadr,OPRa1,OPRa2,OPRa3:real;

a1lin,a2lin,a1kvadr,a2kvadr,a3kvadr,a1exp,a2exp,cexp:real;

Xsr,Ysr,S1,S2,S3,Slin,Skvadr,Sexp:real;

Kkor,KdetLin,KdetKvadr,KdetExp:real;

i:byte;

const

ArrayXY:TArrayXY=((12.85,12.32,11.43,10.59,10.21,9.65,9.63,9.22,8.44,8.07,7.74,7.32,7.08,6.87,5.23,5.02,4.65,4.53,3.24,2.55,1.86,1.76,1.11,0.99,0.72) , (154.77

145.59,108.37,100.76,98.32,81.43,80.97,79.04,61.76,60.54,55.86,47.63,48.03,36.85,25.65,24.98,22.87,20.32,9.06,6.23,3.91,3.22,1.22,1.10,0.53));

begin

ClrScr;

SumX:=0.0;

SumY:=0.0;

SumXY:=0.0;

SumX2:=0.0;

SumX3:=0.0;

SumX4:=0.0;

SumX2Y:=0.0;

SumLnY:=0.0;

SumXLnY:=0.0;

{ Вычисление сумм x, y, x*y, x^2, x^3, x^4, (x^2)*y, Ln(y), x*Ln(y) }

for i:=1 to n do

  begin

   SumX:=SumX+ArrayXY[1,i];

   SumY:=SumY+ArrayXY[2,i];

   SumXY:=SumXY+ArrayXY[1,i]*ArrayXY[2,i];

   SumX2:=SumX2+sqr(ArrayXY[1,i]);

   SumX3:=SumX3+ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i];

   SumX4:=SumX4+sqr(ArrayXY[1,i])*sqr(ArrayXY[1,i]);

   SumX2Y:=SumX2Y+sqr(ArrayXY[1,i])*ArrayXY[2,i];

   SumLnY:=SumLnY+ln(ArrayXY[2,i]);

   SumXLnY:=SumXLnY+ArrayXY[1,i]*ln(ArrayXY[2,i])

  end;

{ Вычисление коэффициентов }

OPRlin:=0.0;

a1lin:=0.0;

a2lin:=0.0;

a1kvadr:=0.0;

OPRkvadr:=0.0;

a2kvadr:=0.0;

a2kvadr:=0.0;

a1exp:=0.0;

a2exp:=0.0;

OPRlin:=n*SumX2-SumX*SumX;

a1lin:=(SumX2*SumY-SumX*SumXY)/OPRlin;

a2lin:=(n*SumXY-SumX*SumY)/OPRlin;

OPRkvadr:=n*SumX2*SumX4+SumX*SumX3*SumX2+SumX2*SumX*SumX3-     SumX2*SumX2*SumX2-n*SumX3*SumX3-SumX*SumX*SumX4;

a1kvadr:=(SumY*SumX2*SumX4+SumX*SumX2Y*SumX3+SumX2*SumXY*SumX3- SumX2*SumX2*SumX2Y-SumY*SumX3*SumX3-SumX*SumXY*SumX4)/OPRkvadr;

a2kvadr:=(n*SumXY*SumX4+SumY*SumX3*SumX2+SumX2*SumX*SumX2Y-SumX2*SumX2*SumXY-n*SumX3*SumX2Y-SumY*SumX*SumX4)/OPRkvadr;

a3kvadr:=(n*SumX2*SumX2Y+SumX*SumXY*SumX2+SumY*SumX*SumX3-SumY*SumX2*SumX2-n*SumXY*SumX3-SumX*SumX*SumX2Y)/OPrkvadr;

a2exp:=(n*SumXLnY-SumX*SumLnY)/OPRlin;

cexp:=(SumX2*SumLnY-SumX*SumXLnY)/OPRlin;

a1exp:=exp(cexp);

{ Вычисление  средних арифметических x и y }

 Xsr:=SumX/n;

Ysr:=SumY/n;

S1:=0.0;

S2:=0.0;

S3:=0.0;

Slin:=0.0;

Skvadr:=0.0;

Sexp:=0.0;

Kkor:=0.0;

KdetLin:=0.0;

KdetKvadr:=0.0;

KdetExp:=0.0;

 

for i:=1 to n do

  begin

   S1:=S1+(ArrayXY[1,i]-Xsr)*(ArrayXY[2,i]-Ysr);

   S2:=S2+sqr(ArrayXY[1,i]-Xsr);

   S3:=S3+sqr(ArrayXY[2,i]-Ysr);

   Slin:=Slin+sqr(a1lin+a2lin*ArrayXY[1,i]-ArrayXY[2,i]);

Skvadr:=Skvadr+sqr(a1kvadr+a2kvadr*ArrayXY[1,i]+a3kvadr*ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i]-ArrayXY[2,i]);

   Sexp:=Sexp+sqr(a1exp*exp(a2exp*ArrayXY[1,i])-ArrayXY[2,i]);

  end;

{ Вычисление  коэффициентов корреляции и детерминированности }

 Kkor:=S1/sqrt(S2*S3);

KdetLin:=1-Slin/S3;

KdetKvadr:=1-Skvadr/S3;

KdetExp:=1-Sexp/S3;

{ Вывод результатов  }

 WriteLn('Линейная функция');

 WriteLn('a1=',a1lin:8:5);

WriteLn('a2=',a2lin:8:5);

 WriteLn('Квадратичная функция');

 WriteLn('a1=',a1kvadr:8:5);

WriteLn('a2=',a2kvadr:8:5);

WriteLn('a3=',a3kvadr:8:5);

WriteLn('Экспоненциальная функция');

WriteLn('a1=',a1exp:8:5);

WriteLn('a2=',a2exp:8:5);

WriteLn('c=',cexp:8:5);

WriteLn('Xcp=',Xsr:8:5);

WriteLn('Ycp=',Ysr:8:5);

WriteLn('Коэффициент корреляции ',Kkor:8:5);

 WriteLn('Коэффициент детерминированности (линейная аппроксимация) ',KdetLin:2:5);

WriteLn('Коэффициент  детерминированности (квадратическая  аппроксимация) ',KdetKvadr:2:5);

WriteLn('Коэффициент  детерминированности (экспоненциальная  аппроксимация) ',KdetExp:2:5);

end.

 

 Результаты расчета Pascal.

 

Коэффициенты  линейной функции

a1=-24.73516

a2=11.63471

 

Коэффициенты  квадратичной функции

a1= 1.59678

a2=-0.62145

a3= 0.95543

 

Коэффициенты  экспоненциальной функции

a1= 1.65885

a2= 0.40987

c= 0.50613

Xcp= 6.52320

Ycp=51.16040

 

Коэффициент корреляции  0.96196

Коэффициент детерминированности (линейная аппроксимация) 0.92537

Коэффициент детерминированности (квадратическая аппроксимация) 0.99409

Коэффициент детерминированности (экспоненциальная аппроксимация) 0.02691

 

Заключение.

Сделаем заключение по результатам полученных данных:

1. Анализ результатов расчетов  показывает, что квадратичная аппроксимация  наилучшим образом описывает  экспериментальные данные т.к.  согласно таблице 8 коэффициент корреляции - 0,9620; Коэффициенты детерминированности линейной аппроксимации - 0,9253; квадратической аппроксимации – 0,994; экспоненциальной аппроксимация – 0,0269.

2. Сравнивая результаты, полученные  при помощи функции ЛИНЕЙН  видим что они полностью совпадают  с вычислениями, проведенными выше. Это указывает на то, что вычисления верны.

3. Полученное при построении  линии тренда значение коэффициента  детерминированности для экспоненциальной зависимости не совпадает с истинным значением поскольку при вычислении коэффициента детерминированности используются не истинные значения y, а преобразованные значения ln(y) с дальнейшей линеаризацией.

4. Результаты полученные с помощью  программы на языке PASCAL полностью совпадают со значениями приведенными выше. Это говорит о верности вычислений.

 

Список литературы

1. Самарский А.А., Гулин А.В.  Численные методы: Учеб. пособие для вузов.—М.: Наука, 1989 г.

2. Бахвалов Н.С.  Численные методы. – М.: Наука, 1975 г.

3. Д.Каханер,  К.Моулер, С.Нэш.  Численные методы  и программное обеспечение.–М.:Мир,2001.–575с.

4. Вержбицкий  В.М. Численные методы. (линейная алгебра и нелинейные уравнения).- М.: Высшая школа, 2000.- 266с.

5. Сборник задач  по методам вычислений. (под ред.  Монастырного П.И.) - М.: Наука, 1994. - 320с.