Моделирование экономических процессов с помощью дифференциальных уравнений

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  «МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО МГГУ)

Факультет физико-математического  образования, информатики и программирования

Кафедра математики и математических методов в экономике

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Моделирование экономических процессов с помощью дифференциальных уравнений»

Выполнила студентка  Мищенко Юлия Игоревна,  математика с дополнительной специальностью информатика, очная

Научный руководитель:

Мартынов  Олег Михайлович, к.ф.-м.н.,доцент

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мурманск, 2013

 

Оглавление

Титульный лист.

Введение.

Глава 1. Простейшие примеры экономических моделей с использованием ДУ.

§1. Экономическая задача выравнивания цен по уровню актива.

§2. Динамическая оптимизация монополиста.

Глава 2. Модели, в основе построения которых, лежит метод вариации произвольных постоянных.

§1. Теоретические сведения.

§2. Динамика рыночной цены.

§3. Движение фондов.

Глава 3. Экономические модели, построенные на основе дифференциального уравнения Бернулли.

§1. Теоретические сведения.

         §2. Модель роста Солоу.

Глава 4. Модели, в основе которых, лежат неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

§1. Теоретические сведения.

§2. Модель рынка с прогнозируемыми ценами.

§3. Модель Эйзнера-Штротца.

Глава 5. Экономические модели, построенные на основе систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэфициентами.

§1. Теоретические сведения.

§2. Экономическая задача выравнивания цен по уровню актива.

§3. Задача о разведчике.

Заключение.

 

Введение

Целью данной работы является изучение некоторых экономических моделей, в основе которых лежит теория дифференциальных уравнений на основе анализа различной литературы по данной теме. В ходе работы будут рассмотрены различные методы решения дифференциальных уравнений и разобраны экономические модели, построенные на их основе. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Простейшие примеры экономических моделей с использованием ДУ.

 

Начнем рассмотрение данной главы с теории фирмы и рынка.

Пусть y(t) — интенсивность выпуска продукции некоторого предприятия. Будем предполагать, что с увеличением выпуска будет происходить насыщение рынка и цена товара p(y) будет падать. Пусть, например, p(y)=b-ay, (a,b>0) и скорость увеличения интенсивности выпуска продукции является возрастающей функцией дохода.

Составить дифференциальное уравнение для функции y(t)

и, решив  его, построить график этой функции.

Решение.

Согласно  механическому смыслу производной  есть скорость изменения функции y(t) .  По условию , где p(y)y— доход от продажи выпуска y(t) по цене p(y). Разделяя переменные, получим уравнение , интегрируя которое находим . Полученная в результате интегрирования функция y(t) представляет собой уравнение так называемой логистической кривой, часто возникающей в различных разделах социальных наук (см. рис. 1).

Логистическая кривая в данном случае отражает характер поведения выпуска продукции y(t)  в соответствии с условием задачи, а именно налицо насыщение рынка товаром с ростом времени t.

Рис. 1

 

 

§1. Экономическая  задача выравнивания цен по уровню актива.

 

Пусть изменение уровня актива q пропорционально разности между предложением s и спросом d с коэффициентом пропорциональности k(k>0). Пусть, кроме того, изменение

цены р также пропорционально отклонению актива q от некоторого фиксированного уровня q₀ с коэффициентом пропорциональности т(т> 0).

Записать систему дифференциальных уравнений, соответствующую задаче выравнивания цен по уровню актива q при вышеизложенных предположениях.

Решение. Следуя условиям задачи, можем записать

где штрих при переменной обозначает производную по времени.

В результате, учитывая тот факт, что  предложение s и спрос d оба являются функциями цены p, т.е. s(p), d(p), имеем следующую систему дифференциальных уравнений

Полученная система дифференциальных уравнений описывает динамическую модель выравнивания цен по уровню актива. Система уравнений может быть как линейной, так и нелинейной в зависимости от входящих в нее функций спроса и предложения.

Рассмотрим простейший случай зависимости  функции спроса и предложения от цены — линейную зависимость. В дальнейшем, если потребуется, задачу можно усложнить и рассмотреть другие зависимости от цены упомянутых функций.

Итак, пусть s(p) = ap + s₀, d(p) = -cp + d₀, a>0, с>0 и

тогда система дифференциальных уравнений  перепишется в виде

Упростим систему уравнений, вводя  более удобные обозначения и другое написание производных. Имеем

,  где  

 Таким образом, мы получили  систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Система является неоднородной ввиду того, что коэффициенты А₁₀, А₂₀  не равны нулю.

 Однако, поскольку исследуемая  система обладает стационарными решениями, вернее стационарной точкой которая находится из уравнений

и ее координаты равны  , то только что полученная система может быть приведена к виду однородной системы дифференциальных уравнений. Для этого достаточно записать уравнения в вариациях относительно стационарной точки, что бывает необходимо при дальнейшем исследовании устойчивости найденных стационарных решений (стационарных точек).

Выполним замену переменных в результате которой неоднородная система дифференциальных уравнений примет вид однородной системы

Где .

 

§2. Динамическая оптимизация монополиста.

 

Рассматривается фирма-монополист, производящая однородную продукцию с квадратичной функцией затрат 

Так как запасы продукции не предусматриваются, то выпуск Q всегда устанавливается равным спросу. Следовательно, мы будем употреблять символ Q(t) для обозначения обеих

величин. Спрос  предполагается зависящим не только от цены , но также от скорости изменения цены

Таким образом, прибыль фирмы является функцией двух переменных и :

Целью фирмы является нахождение оптимальной  траектории цены , максимизирующей общую прибыль на конечном промежутке времени [0,Т]. Этот промежуток предполагается достаточно коротким, чтобы оправдать предположение о фиксированных функциях спроса и затрат, так же как отсутствие множителя дисконтирования.

Задача фирмы-монополиста, следовательно, может быть

записана в виде:

 при условиях 

Решение. Необходимое условие максимума   может быть записано в виде, так называемого, уравнения Эйлера: где, Найдем частные производные:

Где

После приведения подобных членов уравнение Эйлера примет вид:

 т.е. задача оптимизации  свелась к решению неоднородного  линейного дифференциального уравнения  второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения может быть найдено методом вариации произвольных постоянных (см. ниже) и имеет вид: где

 

Глава 2. Модели, в основе построения которых, лежит метод вариации произвольных постоянных.

§1. Теоретические сведения.

Метод состоит также  из двух этапов. На первом этапе интегрируется однородное уравнение

      (6)

соответствующее неоднородному дифференциальному уравнению (4). Оно легко интегрируется разделением переменных: , откуда его общее решение имеет вид , в котором С — произвольная постоянная. Решение неоднородного дифференциального уравнения (4) ищется в виде: 

                                        (7)

где — новая неизвестная функция, т.е. первоначальная постоянная «варьируется»!  Подставляя (7) в уравнение (4), получим где С — новая постоянная интегрирования. Таким образом, общее решение линейного дифференциального уравнения (4) имеет вид:

                                                            (8)

Из  последнего равенства видно, что  общее решение линейного неоднородного  дифференциального уравнения (4) равно  сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (6) и некоторого частного решения неоднородного уравнения (4), т.е.

 

§2. Динамика рыночной цены.

Моделируется связь между изменением цены и неудовлетворенным спросом: , где соответственно спрос и предложение при цене .

Согласно модели Самуэльсона скорость изменения цены пропорциональна неудовлетворенному спросу с коэффициентом пропорциональности , т.е.

 (9)

С учетом явного вида функций спроса и предложения данное уравнение  примет вид

                                  (10)

Решение. Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением. Будем искать его общее решение в виде суммы , где — общее решение соответствующего однородного уравнения Для последнего, разделяя переменные, получаем Легко «угадать», что в качестве частного решения уравнения (10) можно использовать стационарное равновесное решение где — корень уравнения т.е. значение цены при котором правая часть уравнения (9) обращается в ноль. Подставляя в уравнение (10), находим

Итак, общее решение уравнения (10) имеет  вид:

Видно, что при  с ростом времени (т.е. при ) функция стремится к своему стационарному значению

 

§3. Движение фондов.

Пусть — величина фондов в натуральном или стоимостном выражении, — коэффициент выбытия фондов. Выбытие ведет к уменьшению фондов за год на величину . Если считать, что выбытие фондов происходит равномерно, то за время  фонды уменьшаются на . С другой стороны, инвестиции ведут к увеличению фондов. Предположим, что инвестиции в размере за год дадут увеличение фондов на величину , где — константы. Тогда за время инвестиции при их равномерном вложении дадут увеличение фондов на величину .

Учитывая перечисленные  предположения, имеем:

Разделив левую и правую части на , получаем,

                                             (11)

Переходя к  пределу при , получим .

Решение. Будем искать решение полученного линейного дифференциального уравнения в виде: , где

— общее решение однородного  уравнения  , а — некоторое частное решение неоднородного уравнения. Разделяя переменные и интегрируя, получим

, откуда .

С учетом ранее приведенных замечаний частное решение выбираем в виде . После подстановки в уравнение (11),

.

Итак, искомая величина фондов выражается зависимостью .

Глава 3. Экономические модели, построенные  на основе дифференциального уравнения  Бернулли.

§1. Теоретические сведения.

Дифференциальное уравнение вида или — отрицательное или дробное, называется уравнением Бернулли, которое приводится к линейному дифференциальному уравнению .

§2. Модель роста Солоу.

Рассматривается модель экономического роста, в которой производственные фонды и трудовые ресурсы связаны производственной функцией ,

где — конечный продукт (выпуск).

В модели Солоу предполагается, что

                                               (12)

где s —доля сбережений в доходе, и

 (13)

 

где — темп роста трудовых ресурсов. Динамическая природа этих предположений состоит в том, что они определяют не уровни значений и , а скорости их изменения.

Возьмем в качестве производственной функции хорошо известную функцию  Кобба-Дугласа  . Обозначим , тогда

 (14)

Подставим (14) в (12):

                                          (15)

Так как , то . С учетом (13) имеем:

                                  ( 16)

Приравнивая правые части равенств (15) и (16) и сокращая на L, получим дифференциальное уравнение

                                      (17)

которое, как следует из ранее приведенного определения, является дифференциальным уравнением Бернулли.

Решение. Полагая, 

приводим уравнение (17) к линейному дифференциальному уравнению первого порядка относительно новой переменной z, общее решение которого имеет вид