Нильпотентные группы

Российская  Федерация

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное  учреждение высшего

Профессионального образования

Брянский Государственный  Университет

Имени академика И.Г.Петровского

 

 

 

Кафедра алгебры

 

 

Курсовая работа на тему

«Нильпотентные  группы»

 

 

 

 

Выполнила:

студентка ФМФ

3 курса 2 группы

Морозова А.В.

 

Научный руководитель:

кандидат физико-

математических наук, 

Корпачева М.А.

 

 

 

Брянск 2010

Оглавление

 

Введение 3

Перечень  условных обозначений 4

Используемые  определения 5

Известные результаты, используемые в работе 10

Нильпотентные группы 12

Список используемой литературы 17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Понятие группы послужило  во многих отношениях образцом при  перестройке математики на рубеже 19-20 вв. Истоки понятия группы обнаруживаются во многих дисциплинах. Галуа (1830) принадлежат многие достижения собственно в теории групп: открытие роли так называемых нормальных подгрупп в связи с задачей о разрешимости уравнений в радикалах, установление свойства простоты знакопеременных групп степени n; он же ввел термин «группа» (le groupe), хотя и не дал строгого определения. Важную роль в систематизации и развитии теории групп сыграл трактат К. Жордана (1870) о группах подстановок. А. Кэли (1854 и далее), он явно пользовался термином «группа», систематически использовал таблицы умножения, ныне называемые таблицами Кэли, доказал представимость всякой конечной группы подстановками.

Еще один источник понятия группы - теория чисел. Уже Л. Эйлер (1761), изучая «вычеты, остающиеся при делении степеней», по существу пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, что на теоретико-групповом языке означает разложение группы на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс в «Арифметических исследованиях» (1801), занимаясь уравнением деления круга, фактически определил подгруппы его группы Галуа. Там же, изучая «композицию двоичных квадратичных форм», К. Гаусс, по существу, доказывает, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву группу.

Осознание в конце 19 века принципиального единства теоретико-групповых  идей, существовавших к тому времени  независимо в разных областях математики, привело к выработке современного абстрактного понятия групп. (С. Ли, Г. Фробениус и др.). Уже в 1895 С. Ли определял группу как совокупность преобразований, замкнутую относительно их композиции. Изучение групп без предположения их конечности и без каких бы то ни было предположений о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом книги О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп» (1916).

В своей работе я рассматриваю нильпотентные группы, их простейшие свойства и признаки. 

Перечень условных обозначений

 

 – знак строгого включения  множеств;

 – знак включения множеств;

 – принадлежность элемента  множеству;

 – объединение множеств;

 – пересечение множеств;

 – множество всех  для которых выполняется условие ;

 –  является подгруппой группы ;

 –  является собственной подгруппой группы ;

 –  является максимальной подгруппой группы ;

 –  является нормальной подгруппой группы ;

– является минимальной нормальной подгруппой группы ;

Скобки  _{< >} применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

 – множество всех простых делителей порядка группы ;

 – порядок группы ;

 – централизатор множества  в группе ;

 – центр группы  ;

 – нормализатор подмножества в группе ;

 – силовская -подгруппа группы ;

 – факторгруппа группы  по подгруппе ;

 – прямое произведение  подгрупп A и B;

 – подгруппа Фраттини группы ;

 – коммутатор элементов  a и b;

 – группы изоморфны.

Используемые определения

 

1. Под множеством понимают совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое.

 

2. Пусть А и В – множества. Если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, то множество А называется подмножеством множества В.

 

3. Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется отображение .

 

4. Группой называется непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗», если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

1. операция «∗» ассоциативна на G ,т. е. а∗(b∗c) = (a∗b)∗c  для любых  a, b, c∈G.
2. в G существует нейтральный элемент относительно операции «∗», т. е.  ∃e∈G : a∗e=e∗a=a, для любого a∈G.
3. в G для любого элемента существует симметричный ему элемент, т. е. для любого a∈G  ∃a'∈G : a∗a'=a'∗a=e.

 

5. Группа G относительно операции «∗» называется абелевой, если операция «∗» коммутативна на G, то есть a∗b=b∗a для любых a, b∈G.
6. Группа относительно операции умножения называется мультипликативной.

 

7. Группа G называется конечной, если она содержит конечное число элементов. В противном случае группа называется бесконечной.

 

8. Порядком конечной группы G называется число элементов группы G.

 

9. Пусть <G, ∗>, <G₁, ∘> - группы. Взаимно однозначное отображение G на G₁ называется изоморфизмом, если φ(a∗b)=φ(a)∘φ(b) для любых a, b∈G.
10. Группы G  и G₁ называются изоморфными, если существует изоморфизм группы G на  группу G₁.

 

 

11. Непустое подмножество М группы G называется подгруппой группы G, если М является группой относительно той же операции, что и группа G, и обозначается М≤G.

 

 

12. Пусть G – группа, и – ее подгруппы. Если , то говорят, что группа G является произведением своих подгрупп и . В этом случае каждый элемент представим в виде , где . Произведение называется прямым, если подгруппы и нормальны в и .

 

13. Собственной называется подгруппа, отличная от группы.
14. Подгруппой группы G, порожденной множеством MÍG, называется пересечение всех подгрупп группы G, содержащих множество M.

 

15. Подгруппа группы называется максимальной подгруппой группы , если M<G и для всех  H≤G из MÍHÍG всегда следует, что или .

 

16. Подгруппой Фраттини группы называется пересечение всех максимальных подгрупп группы , если они существуют, и сама группа , если таких подгрупп нет.

 

17. Пусть – группа, и . Правым смежным классом группы по подгруппе называется множество . Аналогично определяется левый смежный класс:
18. Элемент называется  перестановочным с подмножеством , если .

 

19. Пусть , - группа. Нормализатором множества H в группе G называется множество всех элементов группы , перестановочных с H (в целом), т.е. .

 

20. Элемент группы называется центральным в , если он перестановочен с каждым элементом группы , т.е. .
21. Множество всех центральных элементов группы называется центром группы.
22. Пусть , - группа. Централизатором множества H в группе G называется множество всех элементов группы , перестановочных с H поэлементно, т.е. .

 

23. Подгруппа называется нормальной подгруппой группы , если для всех .  Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .

 

24. Пусть – нормальная подгруппа группы . Факторгруппой группы по подгруппе называется множество всех смежных классов группы по подгруппе , образующее мультипликативную группу относительно умножения, заданного по правилу и .

 

25. Группа G называется p-группой, если , где , .
26. Пусть , где , , , . Подгруппа группы называется силовской p-подгруппой группы , если .

 

27. Коммутатором элементов и группы называют элемент группы вида , который обозначают через .
28. Коммутантом группы называется подгруппа группы , т.е.

 

29. Эпиморфизм называют проектированием группы на -ю компоненту , то - подгруппа группы .

 

 

30. Подгруппу называют проекцией подгруппы на . Если подгруппа такова, что , , то подгруппу называют подпрямым произведением прямого произведения .

 

Известные результаты, используемые в работе

 

Теорема 1 (критерий подгруппы). Пусть Н – непустое подмножество группы G. Н является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1) для любых  h₁, h₂∈H  h₁⋅h₂∈H;

2) для любого h∈H  ∃ h^-1∈H.

Теорема 2. Пусть {H_i | i∈I} – некоторая совокупность подгрупп группы G. Тогда A= является подгруппой группы G.

Теорема 3 (Силова). Пусть , в существует силовская подгруппа.

 

Лемма 1. Пусть , - силовская -подгруппа в справедливы следующие утверждения:

1. - силовская -подгруппа в и ;
2. - силовская -подгруппа в ;
3. .

 

Лемма 2. Пусть , – группа, справедливы следующие утверждения:

1. ;
2. ;

 

Теорема 4 (Ремак). Если и – нормальные подгруппы , то факторгруппа изоморфна группе, являющейся подпрямым произведением прямого произведения .

Лемма 3 (Фраттини). Пусть , - силовская подгруппа в .

 

Теорема 5 (о соответствии подгрупп). Пусть , - множество всех подгрупп группы , содержащих ; множество всех подгрупп группы , причем и существует биективное отображение.

 

Теорема 6 (Лагранжа).  Порядок подгруппы конечной группы делит порядок группы, т.е. если G – конечная группа, H≤G, то │G│ │H│

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нильпотентные группы

 

Определение. Конечная группа называется нильпотентной, если всякая силовская p-подгруппа группы нормальна в .

Определение'. Конечная группа называется нильпотентной, если является прямым произведением своих силовских p-подгрупп.

Пример:

1. Конечная p-группа является нильпотентной. Действительно, в этом случае совпадает с , и значит является прямым произведением своих силовских подгрупп.
2. Любая конечная абелева группа нильпотентна. Действительно, любая подгруппа абелевой группы нормальна. Поэтому каждая абелева группа нильпотентна.
3. В 3 силовская 2-подгруппа ненормальна, поэтому 3 – ненильпотентна.
4. Группа порядка 15 является нильпотентной.

– класс всех конечных нильпотентных  групп.

Простейшие свойства конечных нильпотентных групп

Лемма 1. Подгруппа нильпотентной группы нильпотентна.

Доказательство:

Пусть Покажем, что .

Пусть - силовская p-подгруппа группы А. Покажем, что .

Т.к. , то – силовская p-подгруппа в . Т.к. , то . Тогда

Покажем, что 

Т.к. в любой группе силовские p-подгруппы сопряжены между собой, то в нильпотентной группе силовская p-подгруппа единственна.

Т.к. – p-подгруппа группы G, то , Тогда .

одгруппа в , т.е. , т.е. .

Т.о., и .

ч.т.д.

Лемма 2. Факторгруппа нильпотентной группы нильпотентна.

Доказательство:

Пусть . Покажем, что.