Автор работы: Пользователь скрыл имя, 20 Сентября 2013 в 20:04, курсовая работа
Понятие группы послужило во многих отношениях образцом при перестройке математики на рубеже 19-20 вв. Истоки понятия группы обнаруживаются во многих дисциплинах. Галуа (1830) принадлежат многие достижения собственно в теории групп: открытие роли так называемых нормальных подгрупп в связи с задачей о разрешимости уравнений в радикалах, установление свойства простоты знакопеременных групп степени n; он же ввел термин «группа» (le groupe), хотя и не дал строгого определения. Важную роль в систематизации и развитии теории групп сыграл трактат К. Жордана (1870) о группах подстановок. А. Кэли (1854 и далее), он явно пользовался термином «группа», систематически использовал таблицы умножения, ныне называемые таблицами Кэли, доказал представимость всякой конечной группы подстановками.
Введение 3
Перечень условных обозначений 4
Используемые определения 5
Известные результаты, используемые в работе 10
Нильпотентные группы 12
Список используемой литературы 17
Пусть силовская p-подгруппа группы . Тогда силовская p-подгруппа .
Т.к. , то . Т.о., .
ч.т.д.
Лемма 3. Прямое произведение нильпотентных групп является нильпотентной группой.
Доказательство:
Пусть , ,
Пусть - силовская p-подгруппа в , - силовская p-подгруппа в . Покажем, что нильпотентна.
Пусть . Т.к. По свойству прямого произведения
.
Аналогично, , и .
, а
- силовская -подгруппа в .
ч.т.д.
Лемма 4. Если и , то .
Доказательство:
По теореме Ремака изоморфно подпрямому произведению групп , т.е. , где . Но по лемме 3 . Тогда по лемме 1 и .
ч.т.д.
Утверждение 1. Если , то .
Утверждение 2. .
Лемма 5. Если , то .
Доказательство:
Т.к. , то
ч.т.д.
Утверждение 3.
Лемма 6. Если , , то .
Доказательство:
Допустим, что лемма неверна и пусть - контрпример минимального порядка. Возможны два случая:
.
ч.т.д.
Признаки нильпотентных групп
Утверждение 4. Если и , то .
Теорема 1 (Виланд). всякая максимальная подгруппа группы нормальна в ней.
Доказательство:
Пусть и . Тогда и по лемме 6
Т.к. , то и .
Пусть и .
Пусть - силовская p-подгруппа из . Допустим, что . Тогда По утверждению 4, , т.е. . Получили противоречие. Поэтому т.е. . Т.о., .
ч.т.д.
Теорема 2. .
Доказательство:
Пусть , - силовская p-подгруппа в . Тогда - силовская p-подгруппа в .
Т.к., то и по теореме о соответствии .
Т.к. - силовская p-подгруппа в , то по лемме Фраттини получим , т.е. .
Т.о., .
ч.т.д.
Теорема 3 (Фраттини). Подгруппа Фраттини конечной группы нильпотентна.
Доказательство:
Пусть – силовская p-подгруппа группы .
Т.к., то по лемме Фраттини , т.е. . Тогда и .
ч.т.д.