Показникова функція, її графік і властивості

 

 

Алгебра та початки аналізу

11 – кл.

 

Лекція  1.

ТЕМА: Показникова функція, її графік і  властивості.

       План.

1. Означення показникової функції.

2. Задачі, які приводять до поняття показникової функції.

3. Побудова графіка показникової  функції.

4. Властивості показникової функції.

 

1. Означення показникової функції.

Означення. Функція виду  де a>0,  а≠1, яка містить у  показнику аргумент х,

 називається показниковою за основою а.

Наведемо приклади показникових функцій:       

 

Завдання. 1)  Які з поданих функцій є показниковими:

              ?

       2)  На прикладах і поясніть чим відрізняється показникова

        функція від степеневої.

                   3)  Наведіть приклади показникових  функцій.

       4)  Знайдіть  значення функції   , якщо х=2;  х=-2;  х=0. 

 

2. Задачі, які приводять до поняття показникової функції.

Нині багато говорять про інформаційний  бум. Стверджують, що кількість інформації подвоюється кожні десять років. Зобразимо цей процес у вигляді  графіка деякої функції.

Візьмемо обсяг інформації в  деякий початковий рік за 1. Удвічі більший  відрізок поставимо над одиничною  оцінкою, вважаючи, що оцінка відповідає першому десятку років. Удвічі більший  відрізок відповідає другому десятку  років, ще вдвічі більший – третьому і т.д. Обране нами значення аргументу є елементами арифметичної прогресії:

2, 4, 8, … Сполучимо всі побудовані точки плавною лінією – перед нами графік показникової функції. Головна особливість графіка цієї функції – її крутизна.

 

Показникова функція зустрічається в описі процесів, у яких швидкість зміни величини пропорційна до самої величини. За таким правилом розмножується все живе, збільшується колонія мікробів у чашці Петрі. За таким саме законом плодилися кролі, які за короткий термін заполонили Австралію. Прикладом показникового спадання є хід хімічної реакції: швидкість хімічної реакції пропорційно до кількості речовин, що реагують. Швидкість радіоактивного розпаду також пропорційна до кількості атомів, що не розпалися.

     Зупинемося на радіоактивному розпаді, який описується рівнянням

, де  m – маса речовини в момент часу t;

- маса речовини в момент часу t=0; T – період напіврозпаду.

Задача. Обчислити, яка частина радія залишиться через 1000 років, якщо період його полу

               розпаду дорівнює 1550 років.

Розв’язання.

За законом радіоактивного розпаду  маємо:

 

;     .

Відповідь: 0,7.

 

 

3.  Побудова графіка показникової функції.

Побудуємо графіки функцій    для цього складемо таблицю:

Змінна  х	-3	-2	-1	0	1	2	3
				1	2	4	8
	8	4	2	1

 

Побудуємо на координатній площині точки з  таблиці і з’єднаємо їх плавною  лінією.

               

 

 

 

 

Питання. 1. Що є спільного в графіках функцій    і чим вони

       відрізняються?

            

2. Як розташовані графіки функцій відносно один до одного?
3. Чи мають спільну точку графіки і ?

4.   Дано декілька зростаючих  функцій  ; ; .

Записати їх у порядку зменшення  швидкості зростання для х>0.

            

 

 

 

 

 

Завдання.

Побудувати графіки функцій: 

1)  .

  Щоб побудувати графік функції , треба виконати паралельне перенесення

графіка функції  на 1 одиницю вправо вздовж вісі Ох, або побудувати допоміжну систему координат перенесенням осі Оу на 1 одиницю вправо вздовж вісі Ох і побудувати в новій системі координат хО¢у¢  графік функції .

 

2)  .

Виконаємо перетворення = . Побудову графіка виконуємо паралельним перенесенням графіка функції на 1 одиницю вправо вздовж вісі Ох.

 

3)  .

Щоб побудувати графік функції  , треба побудувати частину графіка для х³0 і цю частину симетрично відобразити відносно осі Оу.

 

4)  .

Щоб побудувати графік функції , треба 1) побудувати графік функції (див. приклад1.)  для х³1;  2) симетрично відобразити побудовану частину графіка відносно осі О¢у¢.

 

5)   .

Щоб побудувати графік функції , треба 1) побудувати графік функції (див. приклад1.)  для х³0;  2) симетрично відобразити побудовану частину графіка відносно осі Оу.

 

6)   .

Щоб побудувати графік функції , треба виконати паралельне перенесення

графіка функції  на 3 одиницю вниз вздовж вісі Оу, або побудувати допоміжну систему координат перенесенням осі Ох на 3 одиниці вниз вздовж вісі Оу і побудувати в новій системі координат графік функції .

 

7)  .

Щоб побудувати графік функції , треба 1) побудувати графік функції (див. приклад5.)  для у³0 (вище вісі Ох);  2) частину графіка, яка нище вісі Ох симетрично відобразити відносно осі Ох.

8)  . УВАГА!  ЗНО ІІІ частина.

Перетворимо функцію  = .

Область визначення цієї функції хÎ(-¥;¥).

1) = ;  Þ ³1;х ³0.

2) = <0; Þ , якщо <1; х<0.

Отже, якщо х<0, то графік функції - пряма, яка паралельна вісі Ох;

 якщо х ³0, то графік функції -1. Щоб побудувати графік функції

-1, треба побудувати допоміжну систему координат перенесенням осі Ох на 1 одиниці вниз вздовж вісі Оу, а вісь  Оу перенести на 1 одиницю вліво вздовж вісі Ох і побудувати в новій системі координат х¢О¢у¢ графік функції .

         

 

 

 

Завдання для  самостійної роботи.

Побудувати графіки  функцій: 

1)  .

2)  

3)  .

4)  .

5)  .

 

 

 

 

 

 

4. Властивості показникової функції.

Покажемо властивості показникової функції у вигляді таблиці  для

0<а<1  і а>1.

 

 

 

,  0<а<1	,  а>1
Область визначення: Множина дійсних чисел хÎ(-¥;¥)	Область визначення: Множина дійсних чисел        хÎ(-¥;¥)
Область значень: Множина додатних чисел уÎ[0;¥)	2.  Область значень: Множина додатних чисел         уÎ[0;¥)
Функція спадає на всій       області визначення	3.  Функція зростає на всій             області визначення
Графік функції перетинає      вісь Оу в точці (0;1).	4.   Графік функції  перетинає  вісь Оу в точці (0;1).
Для х<0,  у>1;            для  х>0,  у<1.	5.  Для х<0,  у<1;            для х>0,  у>1.

 

Завдання 1.   Порівняйте властивості показникових функцій  для  0<а<1  і а>1,

назвіть спільні    властивості.

Завдання 2. Які з показникових  ;  функцій зростають?

Які з показникових  функцій  ;  ; ; спадають?

 

 

Завдання 3.

а)  Знайти область визначення функції  .

Розв’язування.

Якщо 3>0 і 3¹1  функція визначена для любого значення х з проміжка (-¥;¥).

Відповідь: (-¥;¥).

б)  Знайти область визначення функції . 

Розв’язування.

Якщо 5>0 і 5¹1  функція визначена на множині невід’ємних  значень х , бо аргумент міститься під знаком квадратного кореня: х³0.

Відповідь: [0;¥).

в) Знайти область визначення функції  .

Розв’язування.

Для показникової функції а>0 і а¹1, тому основа х>0 і х¹1, а в показнику – любе значення х. Область   визначення функції  хÎ(0;1)È(1; ¥).

Відповідь: (0;1) È (1;¥).

Завдання для  самостійної роботи.

Знайти область визначення функції:

1)  .           

2)  .            

3)   .

4)    .

 

Завдання 4.

а)  Знайти область значень функції .

Розв’язування.    Областю значень показникової функції є множина додатних чисел

                                                0< < ¥;      ¥).

Відповідь: ¥).

б) Знайти область значень функції . 

Розв’язування.    Областю значень показникової функції   є множина додатних чисел

                                                0< < ¥;  ç× (-1) (обидві частини нерівності помножимо на -1)

-¥<- <0; 

                                               (-¥;0).

Графік функції  нижче осі Ох, бо він є симетричним відображенням графіка відносно осі Ох.

Відповідь: (-¥;0).

в)  Знайти область значень функції .

Розв’язування.    Областю значень показникової функції   є множина додатних чисел

                                                0< < ¥; 

0< < ¥;  ç+ 3; (до обох частин нерівності прибавимо 3)

0+3< +3< ¥; 

                                               (3;¥).

Відповідь: (3;¥).

 

 

 

г)  Знайти область значень функції .

Розв’язування.   

Показник функції змінюється в межах

                                       -1£ соsх£ 1    від обох частин нерівності віднімаємо 1,

                       маємо -2£ соsх-1£ 0 ,

якщо показник функції змінюється в межах  -2£ соsх-1£ 0 ,

то сама функція змінюється  в межах  < < ;

        < < ;

            ( ;1).

Відповідь: ( ;1).

 

Завдання для  самостійної роботи.

Знайти  область значень функцій:

1) .

2) . 

3)  +2.

 

Завдання 5.

а)  Порівняти числа m  i n, якщо > .

Розв’язування.    Основа <1  і функція спадає, тобто більшому значенню аргумента х відповідає менше значення функції, звідси m<n.

            Відповідь: m<n.

 

б)   Порівняти числа m  i n, якщо > .

Розв’язування.    Основа 5>1  і функція зростає, тобто більшому значенню аргумента х відповідає більше значення функції, звідси m>n.

            Відповідь: m>n.

 

в)Порівняти числа m  i n, якщо < .

Розв’язування.    Основа >1  і функція зростає, тобто меншому значенню аргумента х відповідає менше значення функції, звідси m<n.

            Відповідь: m<n.

 

 

 

 

 

Завдання 6.            

а) Порівняти з одиницею .  Пам’ятаємо, що .

Розв’язування.   Порівняємо і Основа 0,2<1  і функція спадає, тоді меншому показнику -5 відповідає більше значення степеня . Порівняємо показники -5<0 звідси >1.

ІІ спосіб. = звідси >1.

            Відповідь: >1.

 

б) Порівняти з одиницею .

Розв’язування.  Порівняємо і .  Основа >1  і функція зростає, тобто більшому показнику 0,6 відповідає більше значення функції .

Якщо 0,6>0, звідси    > ;    > 1.     

Відповідь: >1. 

 

Завдання 7. Зробіть висновок відносно основи а. 

а)  Зробіть висновок відносно основи а, якщо > .

Розв’язування.  Якщо функція з зростанням аргументу спадає, то 0<а<1  і навпаки, якщо  з зростанням аргументу і функція зростає, тоді  а>1.

Якщо  > і   -0,5<0,5, тоді 0<а<1.   

Відповідь: 0<а<1. 

 

б)  Зробіть висновок відносно основи а, якщо > .

Розв’язування.  Якщо функція з зростанням аргументу спадає, то 0<а<1  і навпаки, якщо  з зростанням аргументу і функція зростає, тоді  а>1.

Якщо  >   і   2>-2, тоді  а>1.   

Відповідь: а>1. 

 

 

Завдання для  самостійної роботи.

1. Порівняти числа m  i n, якщо а) > ;  Б) > .

2. Порівняти з одиницею а) ;  б)   . 

3. Зробіть висновок відносно основи а:   а)  < ;  б) < .

 

 

 

 

Тести для самостійного контролю знань.

Середній рівень.

1. Задано показникову функцію . Виберіть правильне твердження.

А. Графіком заданої функції є  пряма.

Б.  Задана функція спадає на всій області визначення.

В.  Графік заданої функції має  вигляд:

                                  

 

Г.  Графік заданої функції має вигляд:

 

                                                   

2. Задано показникову функцію . Виберіть правильне твердження.

А. До області визначення заданої  функції входять тільки від ємні  числа.

Б.  Задана функція спадає на всій області визначення.

В.  Графік заданої функції має  вигляд:

                                                  

 

Г. Множина значень заданої функції  – всі дійсні числа.

3. Знайдіть область визначення функції .