Показникова функція, її графік і властивості

План 

     Вступ……………………………………………………………………………2

1. Формування поняття функції. Різні підходи до визначення поняття функції ……………………………………………………………………….3
2. Теоретичні основи теми………………………………………..……………5
3. Методика вивчення теми «Показникова і логарифмічна функції»...……..8
1. . Узагальнене поняття степеня……………………………………………...9
2. . Вивчення показникової функції…………………………………………..15
3. . Логарифмічна функція…………………………………………………….18
4. Логарифмічна та показникові функції в природі, науці, техніці…………20
1. . Від складних відсотків до показової функції……..……………………...20
2. . Радіоактивний розпад ……………………………………………………..22
3. . Одна людина утримує корабель…………………………………………...22

4.4. Число …..…………………………………………………………………..24

4.6 .Музика і логарифми. ……..………………………………………………..25

4.7. Логарифми і відчуття…………..…………………………………………..26

4.8. Перетворена, відроджуюся знову…...……………………………………..27

4.9. Логарифмічна спіраль в природі і техніці………………………………...28

5.Висновок……………………………………………………………………….30

6. Література……………………………………………………………………..31

 

 

 

 

 

Вступ

Вивчення теми «Показникова і логарифмічна функція» в курсі  математики 11 класу передбачає знайомство учнів з такими питаннями: узагальнення понять про степінь; поняття про степінь з ірраціональним показником; розв’язування ірраціональних рівнянь і їх систем; показникові функція, її властивості і графік; основні показникові тотожності; тотожні перетворення показникових виразів; поняття про обернену функцію, логарифмічна функція її властивості і графік; основні логарифмічні тотожності; тотожні перетворення логарифмічних виразів; число і натуральний логарифм; рівняння радіоактивного розпаду.

           Основна мета вивчення даної  теми – систематизувати і узагальнити  відомості про степінь, ознайомити  їх з показниковою і логарифмічною  функціями і їх властивостями  (включаючи відомості про число  і натуральний логарифм); навчити розв’язувати нескладні показникові та логарифмічні рівняння і їх системи.

  Розглядають властивості функцій. Систематизують властивості вказаних вище функцій у відповідності до прийнятої схеми дослідження функцій. Достатня увага повинна приділятися роботі з логарифмічними тотожностями: тотожні перетворення логарифмічних виразів використовуються я к при викладенні теоретичного матеріалу так і при виконанні різного роду завдань. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Формування поняття  функції. Різні підходи до визначення поняття функції 

Обґрунтування функціональної лінії як провідної для шкільного курсу математики - одне з найбільших досягнень сучасної методики. Однак реалізація цього положення може бути проведена багатьма різними шляхами; різноманіття шляхів викликано фундаментальністю самого поняття функції. Для того щоб скласти уявлення про цю багатозначність, порівняємо дві найбільш відмінні методичні трактування цього поняття; першу ми назвемо генетичною, а другу - логічною. Генетичне трактування поняття функції засновано на розробці і методичному освоєнні основних рис, які увійшли до поняття функції до середини XIX ст. Найбільш суттєвими поняттями, які при цьому трактуванні входять в систему функціональних уявлень, служать змінна величина, функціональна залежність змінних величин, формула (виражає одну змінну через деяку комбінацію інших змінних), декартова система координат на площині. Генетичне розгортання поняття функції має ряд переваг. У ньому підкреслюється «динамічний» характер поняття функціональної залежності, легко виявляється модельний аспект поняття функції щодо вивчення явищ природи. Таке трактування природно пов'язується з іншим змістом курсу алгебри, оскільки більшість функцій, які у ньому, виражаються аналітично або таблично.

Генетичне трактування поняття функції містить також риси, які слід розглядати як обмежувальні. Одним з дуже істотних обмежень є те, що змінна при такому підході завжди неявно (або навіть явно) передбачається пробігання безперервного ряду числових значень. Тому в значній мірі поняття пов'язується тільки з числовими функціями одного числового аргументу (визначеними на числових проміжках). У навчанні доводиться, використовуючи і розвиваючи функціональні уявлення, постійно виходити за межі його початкового опису.

Логічне трактування поняття функції виходить з положення про те, що будувати навчання функціональним уявленням слід на основі методичного аналізу поняття функції в рамках поняття алгебраїчної системи. Функція при такому підході виступає у вигляді відношення спеціального виду між двома множинами, що задовольняє умові функціональності. Початковим етапом вивчення поняття функції стає виведення його з поняття відношення.

Реалізація логічного  підходу викликає необхідність ілюструвати  поняття функції за допомогою  різноманітних засобів, мова шкільної математики при цьому збагачується. Крім формул і таблиць , тут знаходять своє місце задання функції стрілками, перерахуванням пар, використання не тільки числового, а й геометричного матеріалу; геометричні перетворення при такому підході можливо розглядати як функцію.

 В сучасному шкільному  курсі математики в результаті  тривалих методичних пошуків в якості ведучого був прийнятий генетичний підхід до поняття функції. Одночасно враховується все цінне, що можна отримати з логічного підходу. Виходячи з цього при формуванні понять і уявлень, методів і прийомів у складі функціональної лінії система навчання будується так, щоб увага учнів зосереджувалася, по-перше, на виділених і досить чітко розмежованих уявленнях, пов'язаних з функцією, і, по-друге, на встановленні їх взаємодії при розгортанні навчального матеріалу. Іншими словами, в навчанні повинна бути виділена система компонент поняття функції і встановлено зв'язок між ними. У цю систему входять такі компоненти:

- уявлення про функціональну залежність змінних величин в реальних процесах і в математиці;

- уявлення про функції  як про відповідність;

- побудова і використання  графіків функцій, дослідження  функцій;

- обчислення значень  функцій, визначених різними способами.

 В процесі навчання  алгебри всі зазначені компоненти  присутні при будь-якому підході до поняття функції, але акцент може бути зроблений на одному з них. Як ми відзначили, функціональна компонента є основою введення та вивчення поняття функції. На цій основі при організації роботи над визначенням вводяться і інші компоненти, які проявляються в різних способах задання функціональною. Поняття функції, в системі формування якого повинні бути присутні такі задання, відразу виступає в курсі математики як певна математична модель, що і є мотивацією для його поглибленого вивчення.

 

2. Теоретичні основи  теми

Показникова функція –  це функція виду Для неї  , , , при графік приймає вигляд (мал.1):

При графік виглядає так (мал.2):

Властивості показникової функції:

• число називається основою показникової функції. Область визначення функції – вся числова пряма;
• область значень функції – множина всіх додатних чисел;
• функція неперервна і диференційована у всій області визначення;
• при функція монотонно зростає, при - монотонно спадає;
• графік будь-якої показникової функції перетинає вісь в точці    ;
• показникові функція має обернену функцію, так звану логарифмічну функцію.

Логарифмічною називається функція , де , обернена до показникової ^.

Графік функції можна дістати з графіка ^{, симетрично відобразивши останній відносно прямої}  (мал. 3).

  Якщо на аркуші паперу накреслити чорнилом графік функції ^{, а потім, не давши йому висохнути, швидко зігнути аркуш уздовж бісектриси першого і третього координатних кутів, то відбиток буде графіком логарифмічної функції} .

Побудуємо, наприклад, графік функції y=log₂x. Для цього знайдемо ряд точок, симетричних точкам графіка  відносно  (мал. 4.1). Такий вигляд матиме графік логарифмічної функції за будь-якої основи . Причому крива тим щільніше прилягає до осі , чим більше  (мал. 4.2). Якщо основа , то графік матиме інший вигляд. На рисунку мал.4.3 зображено графік логарифмічної функції  . Таку загальну характеристику матиме графік логарифмічної функції  за будь-якої основи 1, причому

Знаючи властивості взаємно  обернених функцій, можна легко  дістати властивості логарифмічної  функції з показникової. Характер графіка показникової функції за основою  залежить від того, буде  чи . Тому і характер графіка логарифмічної функції за основою a залежить від таких самих умов. Отже, для функції слід розрізняти два випадки              і . У кожному з них властивості логарифмічної функції випливають з властивостей показникової, якщо врахувати ще зв’язок між графіками показникової і логарифмічної функцій.

 

 

Отже, маємо такі властивості логарифмічної функції:

- область визначення логарифмічної функції – множина всіх додатних чисел _{, тобто ;}

- область значень логарифмічної функції – множина всіх дійсних чисел.

- логарифмічна функція на всій області визначення  _{зростає (якщо} ) або спадає  (якщо ).

- Для будь-якого  виконуються рівності:

1) ;

2) ;;

3) , якщо ;

4)  , якщо ;

5) для будь-якого числа  і будь-якого   .

Спираючись на властивості  логарифмічної функції, неважко  побудувати графік функції , якщо  (мал.5, а) і  (мал.5, б).

 

 

3. Методика вивчення теми «Показникова і логарифмічна функції»

До 60-х років минулого століття у традиційному курсі алгебри, який викладали за підручником А.П. Кисельова «алгебра: В 2 ч.» , показникову та логарифмічну школу вивчали в 10 класі (за старою нумерацією). Це була одна з найважливіших для сприймання учнями тем. У 70-80-х роках (до 1982/1983 н.р.), у період переходу на новий зміст навчання, понад 10 років ці функції вивчалися за два етапи. У 8 класі вивчали самостійні теми «Степінь з раціональним показником. Показникові функція», «Десяткові логарифми», де вводиться функція . Враховуючи, що вчення про функцію за новою програмою навчання здійснюється систематично, починаючи з 6-го класу, далі учні повинні сприйняти функції , та їх властивості. Тому останніми роками повернулися до вивчення показникової та логарифмічної функції в курсі алгебри і початків аналізу в 10 класі. Згідно з чинною програмою ці функції вводять в 11класі. На початку теми розглядають узагальнення поняття степеня, вводять поняття степеня з ірраціональним показником, розв’язують ірраціональні рівняння та їх системи. У зв’язку з вивченням показникової та логарифмічної функції передбачено узагальнення основних показникових тотожностей на будь-який дійсний показник, розгляд логарифмічних рівнянь і нерівностей.

Основною метою вивчення теми є розширення поняття степеня, введення кореня -го степеня, ознайомлення учнів з показниковою логарифмічною, степеневою функціями та їх властивостями, розв’язування показникових, логарифмічних рівнянь та нерівностей і їх систем.

На вивчення даної теми на рівні стандарту програмою  відводиться 16 годин. Вивчення теми проводиться  в такій послідовності:

• Повторення відомостей про функції.
• Степінь із довільним дійсним показником.
• Властивості та графіки показникової функції.
• Логарифми та їх властивості.
• Властивості та графік логарифмічної функції.
• Показникові та логарифмічні рівняння і нерівності.

  Вивчаючи дану тему учні повинні навчитися:

• знати означення  і властивості показникової, логарифмічної і степеневої функції

 

• знати основні показникові і логарифмічні тотожності;
• розпізнавати і будувати графіки показникових та логарифмічних функцій і ілюструвати на них властивості функцій;
• застосовувати показникові і логарифмічні функції до опису найпростіших реальних процесів;
• розв’язувати найпростіші показникові та логарифмічні рівняння і нерівності.

3.1 Узагальнене  поняття степеня

Поняття степеня  в шкільному  курсі математики розширюється і  ускладнюється поступово. Вперше зі степенем числа – квадратом і  кубом    числа – учні ознайомлюються в 5 класі, але при цьому термін степінь ще не застосовується. Означення степеня з натуральним показником, його властивості  вводять пізніше, перед запровадженням одночлена.

Після введення правила ділення  степенів з однаковими основами і  натуральними показниками  і за умов, що , означають степінь з нульовим показником числа , яке не дорівнює нулю. Перед введенням запису числа в стандартному вигляді означають степінь з цілим і від’ємним показником.

За чинною програмою запровадження  поняття кореня -го степеня, означення і поняття степеня з ірраціональним показником передбачено в 10 класі.

Є різні методичні підходи  до вивчення поняття степеня і, зокрема, до мотивації розширення цього поняття.

Означення степеня з натуральним  показником вводиться однаково в  усіх підручниках і методичних посібниках. При цьому означення має двоступеневу структуру. Спочатку означають степінь  числа  з натуральним показником , більшим за одиницю, як добуток множників кожен з яких дорівнює . Окремо означають степінь числа з показником 1: степенем числа з показником 1 називають саме число .