Полярная система координат

 

 

 

 

 

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКИХ КРИВЫХ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

                                                                                                                             Стр

 

      Введение           3

1. Полярная система координат        4
2. Схема исследования кривой, заданной в полярных координатах  9
3. Примеры исследования и построения кривых     12

     Заключение                    15

Список литературы                   16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Задачи геометрии и физики почти всегда связаны с определением взаимного расположения точек на плоскости или в пространстве. Для этих целей существуют системы координат. Вообще говоря, имеется бесконечное множество таких систем, но существуют и такие, которые по опыту исследователей позволяют наиболее эффективно решать задачи определенного типа.

К таким системам относится полярная система координат на плоскости, которая успешно применяется в задачах геометрии, математического анализа и физики, связанных с системами, имеющими определенные симметрии.

Цель настоящей работы – составить исчерпывающее описание полярной системы координат и ее применения в математических задачах, а также продемонстрировать это применение на примерах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Полярная система координат

 

 

Система координат на плоскости – это математический инструмент, необходимый для описания взаимного расположения точек плоскости. Иными словами, система координат отвечает на вопрос «где по отношению к заданной точке плоскости расположены другие точки плоскости, удовлетворяющие определенным заданным условиям?».  Конечно, существует очень много возможностей ответить на такой вопрос, и все они соответствуют разным системам координат.

Наиболее часто встречается, так называемая, декартова система координат, которая отвечает на заданный вопрос через определение расстояний от точки до двух перпендикулярных прямых, пересекающихся в заданной точке – начале координат. Однако, бывают случаи, когда декартова система координат не оптимальна для описания нужного множества точек. Например, в случае окружности с центром в начале координат, декартовы координаты ее точек не могут быть связаны взаимно-однозначным отображением. Это вызывает проблему, когда требуется найти положение тела, движущегося по окружности, пользуясь измерением только одной координаты. Конечно, подобного рода проблемы легко разрешимы, но есть системы координат, которые изначально помогают получить удобное описание.

Для определенного класса кривых на плоскости (в этот класс входит и окружность), удобной является полярная система координат. Она состоит из фиксированной точки на плоскости, которая называется полюсом, и луча, выходящего из полюса в некотором фиксированном направлении – этот луч называется полярной осью. Измерение положения точки по отношению к полюсу осуществляется путем измерения полярного угла между лучом, выходящим из полюса в направлении точки, и полярной осью, а также полярного радиуса – расстояния между полюсом и точкой (см. рис. 1).

Полярная система координат состоит из полюса и направления полярной оси, соответствующего углу Полярные координаты – это собственно расстояние и полярный угол . Все точки полярной оси имеют координаты . А все точки окружности радиусом с центром в

Рис. 1. Полярные координаты

 

имеют координаты , где принимает значения от 0 до . Если представить, что  больше , то легко увидеть, что точка с координатами  в этом случае совпадает с точкой с координатами а величина всегда принадлежит интервалу от 0 до . Если , то точка с координатами  совпадает с точкой с координатами а величина принадлежит интервалу от 0 до . Таким образом, при любом значении , пара представляет собой точку окружности радиусом с центром в полюсе. То есть уравнение этой окружности есть

Строгое определение полярной системы координат (см., например, [1]):

Определение. Система полярных координат на плоскости задана, если определены:

1. Масштаб (единица измерения длины);
2. Направление вращения в плоскости, считаемое положительным;
3. Полюс;
4. Полярная ось.

На рис. 1 положительным считается направление против часовой стрелки. Это общепринятый выбор. Координаты точки есть пара . Как мы видели выше на примере окружности, полярный угол может принимать, в принципе, любые вещественные значения. Очевидно, что полярный радиус может принимать любые неотрицательные вещественные значения: . Полярные координаты определены для всех точек плоскости: неопределенность полярного угла возникает только в точке полюса, что не накладывает ограничений на систему координат, так как при  точку просто отождествляют с полюсом, при любом значении .

Полярные координаты применяются, чаще всего, тогда, когда требуется описать множество точек, обладающих определенной центральной (относительно полюса), осевой (относительно полярной оси) симметрией или симметрией относительно поворота на определенный угол и растяжения (изменения масштаба). То есть, имеется какая-либо из следующих инвариантностей:

1. Центральная симметрия:
2. Осевая симметрия: .
3. Симметрия поворота на угол и растяжения в раз: .
4. Симметрия поворота на угол с одновременным сокращением радиуса на постоянную : .

Примеры кривых, хорошо описываемых в полярных координатах:

1. Окружность (рассмотрена выше) обладает всеми указанными симметриями, кроме растяжения.
2. Эллипс , где - фокальный параметр, а - эксцентриситет,  обладает центральной и осевой симметрией.
3. Спираль Архимеда , обладает симметрией поворота на угол с одновременным сокращением радиуса на постоянную  
4. Кардиоида обладает осевой симметрией.
5. Логарифмическая спираль обладает симметрией «поворот-растяжение»: – поворот на угол и растяжение в раз.

 

Каждой полярной системе координат можно сопоставить декартову систему координат по следующему правилу: положительное направление оси отождествляется с полярной осью, декартовы оси пересекаются в точке полюса, а положительное направление оси  отождествляется с направлением, соответствующим . В этом случае точка на рис. 1 будет иметь декартовы координаты:

 

 

 в соответствии с определением функций и . Обратное преобразование координат из декартовых в полярные имеет вид:

 

 

где, при определении конкретного значения многозначного арктангенса, следует ориентироваться на соответствующее уравнение кривой. Например, для спирали Архимеда, уравнение в декартовых координатах будет иметь вид

 

что означает, что для каждого отношения имеется счетное число соответствующих координат или, что то же самое, каждая прямая, проходящая через начало координат, пересекает спираль Архимеда счетное число раз. Это видно на графике на рис. 2.

Наличие указанной взаимосвязи между полярной и декартовой системами координат иллюстрирует тот факт, что в полярных координатах можно изображать любое множество точек плоскости, в частности, любую кривую.  Кривые, обладающие указанными выше симметриями, просто удобнее изображать в полярных координатах, не вовсе не обязательно. Обратное тоже верно: кривую, не обладающую ни одной из указанных симметрий, можно изобразить в полярных координатах. Например, - кривая, легко описываемая в декартовых координатах, в полярных задается уравнением , из которого видно, что нет ни одной из указанных симметрий. В то же время, для кривая не определена (так как ).

Рис. 2. Спираль Архимеда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Схема исследования кривой в полярных координатах

 

Говорят, что в полярных координатах задана кривая, если полярные координаты точек кривой удовлетворяют уравнению вида  где - непрерывная функция переменной на всей области своего определения.

Для исследования заданной кривой, в первую очередь, требуется определить ее симметрии. Если уравнение кривой может быть приведено к первоначальному виду после замены координат в результате преобразования симметрии, то симметрия у кривой присутствует и ее нужно учитывать при построении графика. Далее нужно определить интервал изменения полярного угла, исчерпывающий все возможные значения полярного радиуса с учетом установленных симметрий. И, наконец, необходимо определить в найденном интервале значений такие значения, для которых вычисление значения функции не составит труда. Найдя значения для таких полярных углов, чаще всего, можно построить график искомой функции. Если вручную найти значения полярного радиуса в найденном интервале значений затруднительно, прибегают к помощи вычислительной техники.  Итак, получаем следующий алгоритм построения графика функции в полярных координатах:

1. Найти симметрии и область определения кривой по ее уравнению.
2. Определить интервал(ы) изменения , исчерпывающие все возможные значения с точностью до найденных симметрий.
3. Определить положение нескольких точек графика функции в найденных интервалах .
4. Пользуясь непрерывностью и симметриями, построить искомый график.

Пример 1. Кардиоида . Уравнение претерпит изменения при повороте на угол, не равный и при растяжении, но не изменится при изменении знака полярного угла. Значит, у кардиоиды имеется только осевая симметрия. Так как интервал изменения от 0 до эквивалентен интервалу от до , то можем ограничиться рассмотрением значений функции в промежутке 0 до На этом промежутке имеются следующие значения , для  которых легко вычисляется : . Найдем значения в точках, соответствующих этим полярным углам:

	0
	4			3	2	1			0

 

По полученным точкам построим верхнюю часть графика. Остальной график достроим симметрично полярной оси. Результат – на рис. 3.

Рис. 3. Кардиоида.

Пример 2. «Роза» из трех лепестков . Из симметрий, очевидно, имеется только поворот на угол (при этом аргумент синуса изменяется на ). Кроме того, при синус отрицателен, а значит, на интервале у кривой нет ни одной точки. Таким образом, достаточно рассмотреть график функции в интервале 0 до .

	0
	0				0

 

Затем повторить построение с поворотом на угол . В результате получим кривую, изображенную на рис. 4.

Рис. 4. Трехлепестковая роза.

Пример 3. Лемниската Бернулли . Имеются осевая и центральная симметрии. Кроме того, при косинус отрицателен, а значит, на интервале у кривой нет ни одной точки. Таким образом, достаточно рассмотреть график функции в интервале 0 до .

	0
	1				0

 

Затем построим образ графика, симметричный относительно полярной оси. Наконец, построим центрально-симметричный образ полученного графика. В результате получим кривую, изображенную на рис. 5.

Рис. 5. Лемниската Бернулли.

 

3. Примеры исследования и построения кривых

 

Аналогично рассмотренным выше примерам, произведем построение графика кривой

 

Очевидно, ее построение аналогично трехлепестковой розе из примера 2, с учетом растяжения графика в 5 раз. Результат изображен на рис. 6.

Рис. 6. Кривая .

 

Рассмотрим теперь кривую

 

Ее симметрия – это поворот на угол с сокращением полярного радиуса на : . То есть, имеем спираль. Интервал выберем от 0 до .

	0
	1

 

Далее осуществим поворот на угол , но отсчет после поворота будем вести от . Получим следующую таблицу: