Понятие случайного события и его вероятности

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО  ПО ОБРАЗОВАНИЮ

 

 

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ им. Р. Е. АЛЕКСЕЕВА

 

 

Факультет Экономики  менеджмента и Инноваций.

Кафедра Менеджмента.

 

 

 

 

Реферат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ И ЕГО ВЕРОЯТНОСТИ

1.         Операции над событиями

2.         Элементы комбинаторики

3.         Вычисление вероятностей событий

3.1.      Классический метод вычисления вероятностей

3.2.      Геометрический метод вычисления вероятностей

3.3.      Статистический метод вычисления вероятностей

3.4.      Условная вероятность

4.         Формула полной вероятности и формула Байеса

5.         Независимые испытания

6.         Локальная теорема Муавра-Лапласа

7.         Интегральная теорема Муавра-Лапласа

8.         Формула Пуассона

9.         Что такое задача, оценки, параметров, распределения?

10.       Что такое задача проверки  гипотез?

 

 

11.       Список литературы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ И ЕГО ВЕРОЯТНОСТИ

 

Как уже отмечалось в  предисловии, теория вероятностей изучает  массовые случайные явления. А что  же такое случай? Как к нему относиться? Если нам повезло, говорим о счастливом случае, если нет, то это – несчастливый случай. Однако, в целом, к случайностям мы относимся отрицательно, поскольку заранее не знаем, как себя эта случайность проявит. Конечно, случайность портила и портит жизнь человека, но она ему и помогает. Для борьбы со случайностью разработаны эффективные методы. Выясняется, что описание и формализация случайности является одним из самых мощных инструментов научного описания мира.

Под случаем мы обычно понимаем либо ограниченность необходимой  информации, либо неумение её использовать, либо полное отсутствие информации (за исключением той информации, что она отсутствует). Итак, будем считать, что случай, случайность - понятия для нас интуитивно ясные.

Разобьем случайность  на два класса: «хорошая» случайность  – когда можно выявить какие-то закономерности её проявления (то есть имеет смысл говорить о её количественной оценке), и «дурная» случайность – закономерностей никаких нет (мистика, колдовство, прилёт инопланетян и др.)

«Хорошую» случайность, в отличие от «дурной», можно формализовать. Изучением именно «хорошей» случайности, и только ею, занимается современная теория вероятностей – математическая наука, которая по известным вероятностям одних случайных событий позволяет находить вероятности других случайных событий.

Случайные события будем  называть просто событиями, а их количественную оценку - вероятностью события, которая является числом из промежутка [0;1]. Прежде всего, мы научимся получать комбинации событий и вычислять соответствующие им вероятности. Это позволит нам адекватно оценить действительность, прогнозировать результаты, вырабатывать оптимальную стратегию поведения.

 

1. Операции  над событиями

 

Первоначальным и, тем  самым, математически неопределяемым понятием для нас, является пространство W случайных событий. Оно состоит из элементарных событий (точек) w₁, w₂, ..., w_n,… представляющих неразложимый исход теоретического эксперимента. Количество точек из W может быть конечно или счетно. Стандартная запись: W={w_1, w₂, ..., w_n, ... }. Любой конечный (или даже счетный) набор элементарных событий, например,        Ì W, назовем случайным событием. Случайные события обозначают буквами: А, В, ….

Пусть A = Ì W. Будем говорить, что событие, A произошло, если наступило одно из элементарных событий, .

Объединением (суммой) двух событий А и В называется событие АÈВ, состоящее из элементарных событий, принадлежащих хотя бы одному из событий А или В.

Пересечением (произведением) событий А и В называется событие АÇВ, состоящее из элементарных событий, содержащихся одновременно в событиях А и В.

Дополнением (разностью) событий А и В называется событие А\В, состоящее из элементарных событий события А, не содержащихся в событии В.

Пусть A Ì W, тогда противоположным событию А называется событие Ì W, состоящее из элементарных событий пространства W, не содержащихся в событии А, то есть = W \ А.

Пусть А, В Ì W. Они образуют алгебру событий, если:

1. А È В Ì W,
2. А Ç В Ì W,
3. Ì W.

• Кроме того, если выполнено условие

4. А \ В Ì W,

то имеем поле событий.

Очевидно обобщение  на любое конечное число событий  .

Событие, которое никогда  не происходит (то есть не содержит ни одной точки), называется невозможным, обозначается символом Æ и

" (A Ì W) Þ (Æ Ì A).

Событие А = W всегда происходит и называется достоверным, при этом полагаем `W = Æ.

События А₁, А₂ Ì W несовместны, если А₁ Ç А₂ = Æ (то есть события А₁ и А₂ не имеют общих точек).

События А₁, А₂, ..., А_n образуют полную группу, если W Í , а если А_i, i= 1, 2, …, n, попарно несовместные, то есть "i¹j , j = 1, 2, …, n, А_i Ç А_j = Æ, тогда = W.

Если каждое появление события А влечет за собой появление события В, то говорят, что А есть часть В, то есть А Ì В.

Многие задачи теории вероятностей содержат бесконечное  число исходов (например, точки на отрезке прямой, поверхности и  др.), и мы можем столкнуться с трудностями теоретического характера, если любое подмножество отрезка или поверхности будем считать событием. Чтобы их избежать, мы вводим специальный класс ℱ подмножеств, состоящий из несчетных множеств, где любое его подмножество есть событие. Формально это выглядит следующим образом.

Пусть пространство W - произвольное множество (в том числе, несчетное), а ℱ класс подмножеств из множества W.

ℱ называется s- алгеброй, если

1. W Ì ℱ,
2. " А_i Ì ℱ, i Î N Þ   ,
3. А Ì ℱ Þ ℱ.

Таким образом, алгебра  событий замкнута относительно конечного  числа теоретико-множественных операций (объединения, пересечения, отрицания), а s- алгебра замкнута относительно бесконечного числа этих операций.

Замечание. По условию, класс подмножеств ℱ содержится в пространстве W и одновременно, сам содержит это пространство. Возможность такой формализации становится понятной, если считать ℱ оператором «наведения порядка» в W. Тогда, если, например, W интерпретировать как единичный объем жидкости, а ℱ - как губку, то, если вся жидкость находится в губке всюду плотно, получается, что с одной стороны, губка находится в жидкости, а с другой стороны, вся жидкость находится в губке.

Мерой или количественной оценкой случайных событий из W служит вероятность р – число, удовлетворяющее следующим аксиомам.

Аксиома 1. Любому событию А Ì W, удовлетворяющему условиям 1) – 3), поставлено в соответствие неотрицательное число p = Р { А }, называемое его вероятностью.

Аксиома 2. Р {W} = 1.

Аксиома 3. Если события А₁, А₂, ..., А_n, ... попарно несовместны, то

.

Пространство W, с заданной на нем алгеброй (s - алгеброй) событий и определенной для каждого события вероятностью, которая удовлетворяет аксиомам 1-3, является центральным понятием, определяющим аксиоматический  подход  к  построению  теории  вероятностей, введенный А.Н. Колмогоровым в 30-х годах прошлого века [2].

Определение. Тройку (W,ℱ,Р) будем называть вероятностным пространством.

Замечание. В данном курсе теории вероятностей мы обсуждаем только такие случаи, для которых любое подмножество W есть событие, а потому введение s- алгебры ℱ излишне. Однако в целях конструктивности изложения мы будем писать (W,ℱ,Р), подразумевая под вероятностным пространством       (W, Р).

Следствия из аксиом

 

Следствие 1.

Р { Æ } = 0.

В самом деле, имеем W = W È Æ и W Ç Æ = Æ, то есть W и Æ  несовместны.

Следовательно, 1 =  Р { W } = Р { W È Æ } = { по аксиоме 3 } = Р {W} + Р {Æ} = 1 + Р { Æ }. Отсюда Р { Æ } = 0._▼

Следствие 2.

Если А Ì W, то Р {`A } = 1 – Р { A }.

Доказательство сразу  следует из условия А È `A = W,  А Ç `A = Æ._▼

Следствие 3.

Если А Ì W, то 0 £ Р { А } £ 1.

В самом деле, так как Æ Ì A Ì W, то Р{Æ} < Р{A} < Р{W}, тогда . Знак равенства возможен тогда, когда А = Æ или А = W, или и А ¹ Æ._▼

Следствие 4  (Теорема сложения).

Для любых А, В Ì W имеет место

• Р { А È В } = Р { А } + Р { В } - Р { А Ç В }.

В самом деле, имеем 

А È В = А È ( В \ ( А Ç В )) и В = ( А Ç В) È ( В \ ( А Ç В )).

События  правой части  несовместные, отсюда

Р { А È В } = Р { А } + Р { В \ ( А Ç В )},

Р { В } = Р { А Ç В } + Р { В \ ( А Ç В )}.

• Вычитая из первого равенства второе, получаем

Р { А È В } - Р { В } =  Р { А } - Р { А Ç В }._▼

Следствие 5.

Для любых А, В Ì W,

Р { А È В } £ Р { А } + Р { В }.

Доказательство следует  из условия Р { А Ç В } ³ 0  и следствия 4. _▼

Очевидны обобщения  на произвольное число событий.

Определение. События А, В из вероятностного пространства (W,ℱ,Р) называются независимыми, если вероятность их совместного осуществления равна произведению вероятностей этих событий, то есть

• Р { А Ç В } = Р { А }× Р { В }.

• Из определения сразу следует, что

1. Для любого А Ì W события А и W независимы.
2. Если Р { В } = 0 и событие А Ì W произвольно, то В и А независимы.
3. Если события А и В_i независимы, i = 1, 2 и В₁ É В₂, то А и ( В₁\ В₂ ) независимы.
4. Если события А и В_i независимы и В_i попарно несовместны, то есть "i¹ j В_i Ç В_j = Æ, то А и также независимы.
5. Событие А не зависит от самого себя тогда и только тогда, когда либо , либо .
6. Если события А и В несовместны, то есть А Ç В = Æ и Р { А } > 0, , то А и В зависимы. 

В самом деле, пусть  события А и В независимы, тогда , но по условию . Получили противоречие, то есть А и В - зависимы._▼

Замечание 1. Понятие независимости в теории вероятностей имеет более глубокий смысл, чем независимость обычная. Принято считать события независимыми, если они не связаны причинно. На практике, понятие зависимости и независимости случайных событий относительно. Если события слабо связаны, и эта связь несущественно влияет на конечный результат, то такие события считают независимыми, поскольку в этом случае построение математических моделей реальных ситуаций становится много проще. Наиболее глубоко в теории вероятностей изучены именно независимые события.

Замечание 2. Из аксиоматического построения вероятности события следует, что событие случайно, если оно не достоверно и не невозможно. Это определение через отрицание и из него следует, что имеет смысл говорить о вероятности как о некотором определенном, но неизвестном нам числе. Утверждение, что вероятность события А существует, нуждается в обосновании, а если оно принято в качестве гипотезы, то в последующей проверке. Это следует учитывать при построении математических моделей реальных ситуаций.

Рассматривая вероятность события  как число из промежутка [0,1], мы обычно предполагаем в какой его части  это число будет находиться. И  чем больше мы имеем информации о  случайном событии, тем точнее предположение. Это позволяет нам определить вероятность как меру возможности (уверенности) появления случайного события.

Именно так Блез Паскаль в  письме Пьеру Ферма в 1654 году написал: «Я считаю более простым и естественным принять степень уверенности  в появлении достоверного события  равной единице. Тем самым, возможность наступления случайных событий соизмеряется с тем, какую часть единицы они составляют».

Так впервые была формализована  связь между случайным событием и числом, его измеряющим, – вероятностью.

 

2. Элементы  комбинаторики

 

Комбинаторика – раздел математики, занимающийся решением задач, связанных с выбором и расположением элементов из некоторой совокупности.

В классической теории вероятностей комбинаторика, в основном, используется для выбора и подсчета числа комбинаций событий с идентичными свойствами. Кроме того, первоначально комбинаторика применялась для нахождения вероятностей событий, обладающих различного вида симметриями.

Пример 1. Сколько существует различных k - мерных векторов, координаты которых составлены из чисел множества А = { 1, 2, ..., n }.

Решение. Будем исходить из того, что два вектора считаются равными, если соответствующие координаты представлены одинаковыми цифрами, иначе - различные.