Понятие случайного события и его вероятности

Число различных k -мерных векторов находим следующим образом.

Первой координатой  может являться любое из n чисел множества А, второй - также любое из n чисел, то есть, для каждого фиксированного числа первой координаты  имеем n вариантов для второй. Таким образом, всего имеем n ´ n = n² двумерных различных векторов, далее по индукции получаем, что всего различных k -мерных векторов будет n^k.

Пример 2. Сколько существует различных трехзначных чисел?

Решение. Всего цифр десять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. На первом месте может быть любая цифра, кроме нуля, на втором и третьем месте любая из десяти цифр. Следовательно, всего различных чисел 9 × 10² = 900.

Пример 3. Сколько существует различных k - мерных векторов, у которых числовые значения координат , взятых из множества А= {1, 2, ..., n}, не повторяются.

Решение. Аналогично примеру 1, первой координатой может являться любая из n цифр множества А, второй - любая из оставшихся (n – 1) цифр, не совпадающей с первой, и т.д. Таким образом, получаем всего

различных векторов.

В частном случае, при k = n имеем различных векторов. Это число обозначается - (эн - факториал).

Замечание. Часто n! называют перестановками, так как n! количественно определяет число различных перестановок элементов, из которых они состоят. Например, число перестановок трехтомного собрания сочинений равно шести: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), где цифра означает номер тома.

Пример 4. Сколько существует различных k - мерных векторов, у которых числовые значения координат, взятых из множества А = {1, 2, ..., n}, не только не повторяются, но и их координаты принадлежат различным подмножествам множества А. Напомним, что два множества считаются различными, если они отличаются хотя бы одним элементом.

Решение. Пусть х – число таких k - мерных векторов. Возьмем один из них. Всего существует k! перестановок координат этого вектора. Умножая k! на х, получим число векторов, удовлетворяющих условию примера 3, но тогда

.

• Отсюда искомое число векторов равно

,

или

.

Если k > n, то х = 0.

Каждый из примеров представляет собой достаточно распространенный способ выбора в комбинаторике.

Мы будем придерживаться «урновой» схемы: имеется сосуд, в котором находятся n тщательно перемешанных шаров различающихся только своими порядковыми номерами. Если из урны извлечено k шаров, то будем говорить, что имеем выборку объема k. Шары из урны извлекаются случайным образом, подобно лототрону, при этом извлечение шаров может осуществляться с возвращением или без возвращения.

При выборе с возвращением фиксируется номер шара, а сам он возвращается в урну; при выборе без возвращения - шар в урну не возвращается, то есть выборка не содержит повторяющихся шаров.

Итак, из урны последовательно  извлекается k шаров. Сколько различных вариантов выборки объема k можно получить, если выбор осуществляется:

а) с возвращением,  и порядок следования шаров в  выборке важен. Число вариантов  равно n^k . Этот способ называется простым случайным выбором, и соответствует примеру 1;

б) без возвращения, и  порядок следования элементов в  выборке важен. Число вариантов равно . Способ выбора называется размещениями. В соответствие с примером 3,  имеем

,

при k > n, ;

в) без возвращения, порядок  следования элементов в выборке не важен. Способ выбора называется сочетаниями, число вариантов равно и, в соответствие с примером 4, вычисляется по формуле:

,

при k > n Þ .

Рассмотрим несколько частных случаев, имеющих самостоятельное значение.

Определение. Выборкой объема k из n элементов с повторениями называется такая выборка, в которой любой из k ее элементов может повториться более одного раза.

• Пример 5. Сколько существует размещений с повторениями при выборке k шаров из n?

Решение. Так как по определению любой из k шаров в размещениях может быть повторен от 1 до k раз, то всего вариантов выбора есть n^k, то есть имеет место простой случайный выбор (см. пример 1).

Пример 6. Сколько существует сочетаний с повторениями при выборе k шаров из n?

Решение. Расположим n шаров  на прямой и ограничим их слева и справа вертикальными черточками | 00 ... 0| (шару соответствует 0).

Возьмем еще (k-1) черточку и произвольно распределим черточки между шарами, причем, между соседними шарами может находиться одна или более черточек. Интерпретируя две соседние черточки как ящик, получим, что число шаров между соседними черточками – это число повторных шаров в ящике. Перечисляя возможные расположения (k- 1) черточек между шарами, получим число сочетаний с повторениями.

Итак, задача свелась  к следующей: имеется (n + k - 1) – мерный вектор, координаты которого состоят из n шаров и (k - 1) черточек. Так как число способов расположения (k - 1) черточек по (n + k - 1) месту равно (см. пример 4), то это и есть искомое число вариантов выбора k шаров из n с повторениями.

Замечание. Формула сочетаний с повторениями используется, например, при подсчете числа решений (в целых числах, включая ноль) диофантова уравнения

.

Число m частных производных порядка k от функции n переменных также вычисляется по формуле .

Приведем некоторые  свойства сочетаний.

Рассмотрим бином Ньютона

                                                ,                                       (1)

где  , 0! = 1.

Благодаря формуле бинома Ньютона, сочетания иногда называют биномиальными коэффициентами.

Если в (1) а = b = 1, то получаем

,

если а = -b, будем иметь

.

Если k £ n, то для вычисления сочетаний имеем формулу

 

.

В самом деле,

._▼

Отсюда следует, что

.

Для любого целого k и n имеем

.

В самом деле,

._▼

Пример 7. В урне находятся n пронумерованных шаров, из которых k красные и (n - k) черные. Наудачу выбираем без возвращения r шаров. Сколько различных выборок объема r можно получить, если среди выбранных r шаров s – красных?

Решение. Разделим урну условно на две половины так, что в одной находятся k  красных шаров, а в другой (n - k) черных. Среди k красных шаров s шаров можно выбрать способами, а среди (n - k) черных шаров (r – s) шаров можно выбрать способами. Поскольку на каждую фиксированную выборку красных шаров приходится выборок черных, то всего выборок объема r будет , .

Замечание. Если в предыдущей задаче мы выбирали бы r шаров из n без учета их цвета, то всего различных выборок было бы . С другой стороны, если учесть все возможные варианты выбора красных шаров s, то получаем, что всего их будет .

Таким образом, имеем  формулу

.

 

3. Вычисление  вероятностей событий

 

Для вычисления вероятности Р {А} события А Ì W необходимо построить математическую модель изучаемого объекта, которая содержит событие А. Основой модели является вероятностное пространство (W,ℱ,Р), где W - пространство элементарных событий w, ℱ – класс событий с введенными над ними операциями композиции, р = Р {A} – вероятность любого события А, имеющего смысл в W и входящего в класс событий ℱ [2,5]. Если, например, , то из аксиомы 3, вероятностей, следует, что

Таким образом, вычисление вероятности события А, сведено к вычислению вероятностей элементарных событий, его составляющих, а так как они являются «базовыми», то методы их вычисления не обязаны зависить от аксиоматики теории вероятностей.

Здесь рассмотрены три  подхода к вычислению вероятностей элементарных событий:

1. классический;
2. геометрический;
3. статистический или частотный.

 

 

 

3.1 Классический  метод вычисления вероятностей

 

Из аксиоматического определения вероятности следует, что вероятность существует для  любого события А Ì W, но как ее вычислить, об этом ничего не говорится, хотя известно, что для каждого элементарного события w_i существует вероятность р_i, такая, что сумма вероятностей всех элементарных событий пространства W равна единице, то есть

.

На использовании этого  факта основан классический метод вычисления вероятностей случайных событий, который в силу своей специфичности, дает способ нахождения вероятностей этих событий непосредственно из аксиом.

Пусть дано фиксированное  вероятностное пространство (W,ℱ,Р), в котором:

а) W состоит из конечного числа n элементарных событий,

б) каждому элементарному событию w_i поставлена в соответствие вероятность

, .

Рассмотрим событие А Ì W, которое состоит из m элементарных событий: , тогда из аксиомы 3 вероятностей, в силу несовместности элементарных событий, следует, что

.

Тем самым имеем формулу

,                                                          (2)

которую можно интерпретировать следующим образом: вероятность событию А произойти равна отношению числа элементарных событий, благоприятствующих появлению событию А, к числу всех элементарных событий из W.

В этом суть классического  метода вычисления вероятностей событий.

Замечание. Приписав одинаковую вероятность каждому из элементарных событий пространства W, мы, с одной стороны, имея вероятностное пространство и опираясь на аксиомы теории вероятностей, получили правило вычисления вероятностей любых случайных событий из пространства W по формуле (2), с другой стороны, это дает нам основание считать все элементарные события равновозможными и вычисление вероятностей любых случайных событий из W свести к «урновой» схеме независимо от аксиом.

Из формулы (2) следует, что вероятность события А зависит только от числа элементарных событий, из которых оно состоит и не зависит от их конкретного содержания. Таким образом, чтобы воспользоваться формулой (2), необходимо найти число точек пространства W и число точек, из которых состоит событие А Ì W, но тогда это уже задача комбинаторного анализа.

Рассмотрим несколько  примеров.

Пример 8. В урне из n шаров - k красных и (n - k) черных. Наудачу извлекаем без возвращения r шаров. Какова вероятность того, что в выборке из r  шаров s шаров – красных?

Решение. Пусть событие {А} ~ {в выборке из r шаров s - красных}. Искомая вероятность находится по классической схеме, формула (2):

,

где - число возможных выборок объема r, которые различаются хотя бы одним номером шара, а m – число выборок объема r, в которых s шаров красных. Для , очевидно, число возможных вариантов выборки равно , а m, как следует из примера 7, равно . Таким образом, искомая вероятность равна

.

Пусть дан набор попарно  несовместных событий A_s, , образующих полную группу, тогда

.

В этом случае говорят, что  имеем распределение вероятностей событий A_s.

Распределения вероятностей является одним из фундаментальных  понятий современной теории вероятностей и составляет основу аксиомами Колмагорова.

Определение. Распределение вероятностей

                                    , ,                                     (3)

определяется гипергеометрическое распределение.

Боровков А.А. в своей  книге [2] на примере формулы (3) поясняет природу задач теории вероятностей и математической статистики следующим образом: зная состав генеральной совокупности, мы с помощью гипергеометрического распределения можем выяснить, каким может быть состав выборки – это типичная задача теории вероятностей (прямая задача). В естественных науках решают обратную задачу: по составу выборок, определяют природу генеральных совокупностей – это обратная задача, и она, образно говоря, составляет содержание математической статистики.

Обобщением биномиальных коэффициентов (сочетаний) являются полиномиальные коэффициенты, которые своим названием обязаны разложению полинома вида

                      ,

где  

,                          (4)

по степеням слагаемых.

Полиномиальные коэффициенты (4) часто применяются при решении  комбинаторных задач.

Теорема. Пусть имеется k различных ящиков, по которым раскладываются пронумерованные шары. Тогда число размещений шаров по ящикам так, чтобы в ящике с номером r находилось r_i шаров, i = 1,2,…k, , определяется полиномиальными коэффициентами (4).

Доказательство. Поскольку порядок расположения ящиков важен, а шаров в ящиках - не важен, то для подсчета размещений шаров в любом ящике можно воспользоваться сочетаниями.