Приклади неперервних недиференційовних функцій

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

СХІДНОУКРАЇНСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ім. ВОЛОДИМИРА ДАЛЯ

 

 

 

Кафедра "Прикладна  математика"

 

 

 

 

 

КУРСОВА  РОБОТА

 

на тему:

 

"Приклади неперервних і ніде не диференційовних функцій"

 

 

 

 

 

 

Виконав студент групи МТ - 201	Тубольцев Михайло  Володимирович
Перевірив	к.т.н, доц. Кучма Володимир .Якович

 

 

 

 

 

Робота захищена "___" __________ 2012 р.

 

з оцінкою "_____________"

 

 

 

 

 

 

Луганськ, 2012

                                                 ЗМІСТ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВСТУП

Больцано спростував загальноприйняту думку, сформульовану  в 1806 р. Ампером, що безперервні функції  мають лише, можливо, ізольовані особливості. У геометричному плані це означає, що всяка безперервна крива повинна  мати дотичні усюди, за виключенням, можливо, окремих точок. Больцано розширив клас безперервних кривих, застосувавши метод накопичення особливостей, і отримав на цьому шляху багато своєрідних функцій, у тому числі функцію, що не має похідної(відповідно, дотичній) ні в одній точці і відому нам тепер як функція Больцано.

Застосуванні до побудови функції Больцано метод накопичення особливостей полягає в наступному. Будується -отрезок прямої між точками, наприклад А(0, 0) і В(a, h). Потім будується -ломаная ACDEB, де C( a 4, − h 4 ), D( a 2, 0 ), E( 3a 4, h 2 ) . вийде повторенням попередньої операції на кожному з вказаних чотирьох відрізків. n— Кратне повторення цієї операції дає ламану . Функція Больцано в точках виду x= ka 4 n(0 < k < 4n, k — ціле, визначається як співпадаюча з . На множині {x}, відмінних від , .

Функція Больцано безперервна, але не має кінцевої похідної ні в одній точці. Насправді, коливання  на відрізках буде . Проте коливання для будь-якого відрізку , оскільки всередину цього відрізку потрапить хоч один проміжок з числа отриманих при діленні проміжку на рівних частин. Тому завжди можна вибрати таке , щоб одночасно , і |. Дійсно, нехай на сегменті найбільше і найменше значення будуть: і . .

Тому матиме місце хоч би одно з нерівностей : . Нехай, наприклад, . Тоді на відрізку знайдеться таке, що , і тому і одночасно . У такому разі і у відрізку не має кінцевої похідної.

Крива Больцано була знайдена в усякому разі до 1830 р. Проте довгий час вважалося, що перші приклади безперервної функції, що не диференціюється, дали в 1875 р.:

а) Вейерштрас (0 < a < 1, b — ціле непарне число, ab > 1 + 3π/2)

б) Дарбу .

ПРИКЛАДИ БЕЗПЕРЕРВНИХ НЕДИФЕРЕНЦІЙОВАНИХ ФУНКЦІЙ

 Існує багато простих  прикладів безперервних функцій,  що не диференціюються в окремих  точках. Так, якщо  те відношення прагне при до двох різних прибудов: до 1, якщо то і до - 1, якщо . Для функції ж це відношення не прагне ні до якої певної межі ні при ні при .

Далі, методом, який називається згущуванням  особливостей можна будує функції, що не диференціюються на усюди щільній  множині, наприклад на множемтве  раціональних точок. Нехай  - послідовність, що складається з усіх раціональних чисел, ув'язнених між 0 і 1. Покладемо

,

Де  - функція, що має вказану особливість при а коефіцієнт досить швидко прагне до нуля. Функція має цю особливість до кожної раціональної точки. Наприклад, функція неприрывна, оскільки ряд рівномірно сходиться. Але вона не дифференцируема ні в якій раціональній точці. Дійсно

І при  перший член прагне до деякої межі, другий член прагне до якщо і до якщо а третій член за абсолютною величиною не перевершує

.

Отже, похідній не існує.

Щоб отримати функцію, що ніде не диференціюється, треба застосувати зовсім інші методи. Перший приклад такої функції був вказаний Вейерштрасом.

Функція Вейерштраса

 Ця функція визначається поруч

,

Де  а - непарне натуральне число. Ряд рівномірно сходиться у будь-якому інтервалі, так що функція усюди безперервна. З іншого боку, якщо то ряд, який виходить при почленному диференціюванні цього ряду, розходиться. Саме по собі це не доводить, що функція не дифференцируема, проте це вказує на таку можливість. Ми покажемо, що якщо то функція не має кінцевої похідної ні при якому значенні .

Ми можемо написати:

.

Оскільки

,

Те

.

Тепер ми оцінимо знизу  надавши спеціальне значення. Саме де - ціле число і і ми вважаємо

.

Ясно, що і

.

Оскільки  - непарне число, з цього виходить, що

.

Далі

.

Отже

.

Усі члени цього ряду позитивні, так що, відкидаючи усі члени, окрім  першого, ми отримуємо оцінку

.

Таким чином

.

Якщо  те число, що стоїть в дужках, позитивно, і якщо то і права частина прагне до нескінченності. Отже, відношення набуває значень, скільки завгодно великих за абсолютною величиною, і кінцевою похідною не існує.

Графік цієї функції можна описати  як що складається з нескінченного  числа нескінченно малої звивини, але майже неможливо дати про нього наочне представлення, не спотворивши його істотних черт*.

Графік функції Вейерштраса  на інтервалі [− 2, 2]. Цей графік має  фрактальний характер, демонструючи самоподобие: збільшувана область(у  червоному крузі) подібна до усього графіку.

 

 

 

 

Функція Ван-дер Вардена

 Функція подібна до функції Вейерштраса, але результат виходить зовсім іншим шляхом.

Нехай - відстань між точкою і найближчою до неї точкою виду де - ціле число. Функція

Безперервна, але не дифференцируема.

Кожна з функцій  безперервна, і так що ряд рівномірно сходиться. Отже, функція безперервна.

Нехай - довільне число з інтервалу(0, 1). Представимо десятковим дробом і покладемо якщо q- й десятковий знак цього дробу є 4 або 9, і у інших випадках. Якщо то і мають одно і те ж найближче число виду і лежать по одну сторону від нього; якщо ж то числа і що відповідають числам і відрізняються один від одного на . Ці правила можна перевірити на простих прикладах, таких, як чи .

З викладеного виходить, що

Таким чином

,

Де  - ціле число, парне або непарно разом з . Отже, відношення не може прагнути до кінцевої межі, коли

 

СНІЖИНКА КОХА

Ця фігура — один з  перших досліджених ученими фракталів. Вона виходить з трьох копій кривої Коха, яка уперше з'явилася в статті шведського математика Хельге фон Коха в 1904 році. Ця крива була придумана як приклад безперервної лінії, до якої не можна провести дотичну ні в одній точці. Лінії з такою властивістю були відомі і раніше(Карл Вейерштрас побудував свій приклад ще в 1872 році), але крива Коха чудова простотою своєї конструкції. Не випадково його стаття називається «Про безперервну криву без дотичних, яка виникає з елементарної геометрії».

 

Малюнок відмінно показує, як по кроках будується крива Коха. Перша ітерація — просто початковий відрізок. Потім він ділиться на три рівні частини, центральна добудовується до правильного трикутника і потім викидається. Виходить друга ітерація — ламана лінія, що складається з чотирьох відрізків. До кожного з них застосовується така ж операція, і виходить четвертий крок побудови. Продовжуючи в тому ж дусі, можна отримувати усі нові і нові лінії(усі вони будуть ламаними). А то, що вийде в межі(це вже буде уявний об'єкт), і називається кривою Коха.

Основні властивості кривої Коха

1. Вона безперервна, але ніде не дифференцируема. Грубо кажучи, саме для цього вона і була придумана — як приклад такого роду математичних «потворок».
2. Має нескінченну довжину. Нехай довжина початкового відрізку дорівнює 1. На кожному кроці побудови ми замінюємо кожну із складових лінію відрізків на ламану, яка в разу довше. Значить, і довжина усією ламаною на кожному кроці множиться на : довжина лінії з номером n рівна . Тому граничній лінії нічого не залишається, окрім як бути нескінченно довгою.
3. Сніжинка Коха обмежує кінцеву площу.

І це при тому, що її периметр нескінченний.

Ця властивість може здатися 

парадоксальним, але воно очевидне -

сніжинка повністю поміщається 

у круг, тому її площа свідомо

обмежена. Площа можна

порахувати, і для цього навіть не

треба особливих знань — формули

площі трикутника і суми

геометричній прогресії

проходять в школі. Для зацікавлених

обчислення приведене нижче.

Нехай сторона початкового правильного  трикутника рівна  . Тоді його площа . Спочатку сторона дорівнює 1, а площа: . Що відбувається при збільшенні ітерації? Можна вважати, що до вже наявного багатокутника пристроюються маленькі рівносторонні трикутнички. Вперше їх всього 3, а кожен наступний раз їх в 4 рази більше ніж було в попередній. Тобто на n- м кроці буде добудовано трикутничків. Довжина сторони кожного з них складає третину від сторони трикутника, добудованого на попередньому кроці. Значить, вона рівна . Площі пропорційні квадратам сторін, тому площа кожного трикутничка рівна . При великих значеннях n це, до речі, дуже мало. Сумарний вклад цих трикутничків в площу сніжинки рівний . Тому після n- го кроку площа фігури дорівнюватиме сумі . Сніжинка виходить після нескінченного числа кроків, що відповідає . Виходить нескінченна сума, але це сума убуваючої геометричної прогресії, для неї є формула: . Площа сніжинки рівна .

 

 

 

ПРО ОДИН КЛАС БЕЗПЕРЕРВНИХ ФУНКЦІЙ, ЩО НІДЕ НЕ ДИФЕРЕНЦІЮЮТЬСЯ

 

Вступ. Розглянемо побудовані ніде безперервні  функції, що не диференціюються  такі, що для майже усіх(відносно міри Лебега) виконано співвідношення

,   (1)

Де  . Майже усі(як у сенсі категорії, так і в сенсі міри Вінера) безперервні речові функції на відрізку мають цю властивість. Побудуємо клас прикладів безперервних комплекснозначных функцій на відрізку, аналогічною властивістю, що володіє, і показано, що майже усі(також в обох сенсах) безперервні комплексні функції на відрізку цієї властивості не мають. Отримані результати, близькі до остаточних, про поведінку в околиці нуля модулів безперервності таких функцій.

1. Одновимірний випадок

 Введемо спершу декілька позначень: - безліч усіх безперервних речових функцій на відрізку [a, b]. Усюди далі . Символом позначимо міру Лебега в R, а символом -меру Вінера в . Міра - це бролевская міра на Банаховому просторі така, що

,

Де  В- Борелева підмножина . Підмножина А топологічного простору Х називатимемо масивним, якщо Х\А- безліч першої категорії.

Для введемо позначення:

1. G(f) - множина усіх для яких виконується співвідношення(1);
2. ;

Теорема 1. А) Множина масивно в (причому -множество типу у ).

   В) .

Доказ. Оскільки безліч функцій, що ніде не диференціюються, масивна в нам досить показати, що масивно в . Доведемо, що множина є об'єднанням рахункового числа замкнутих ніде не щільних в множин. Помітимо, що оскільки всяка безперервна функція разом з будь-якими двома своїми значеннями набуває і усіх проміжних значень, то

,   (2)

де

  ;

  ;

  ;

  .

З визначення великої  кількості  і співвідношення(2) витікає, що

, де ,

,     ,

,      ,

,      ,

,      .

Нам досить показати, що множини  є замкнутими і ніде не щільними в . Для цього, у свою чергу, досить перевірити, що замкнутими і ніде не щільними в являються множини Доведемо останнє твердження для (для доказ абсолютно аналогічно). Перевіримо спершу замкнутість . Нехай і послідовність рівномірно сходиться до функції . В силу визначення великої кількості   . Нехай . Безпосередньо перевіряється, що і . Отже тобто замкнуто. Залишилося показати, що множина ніде не щільно.

Оскільки  замкнуто, досить довести, що усюди щільно в . Нехай . Покладемо .

При цьому легко бачити, що . Отже при досить великих М. Тепер в силу довільності і щільність у маємо, що щільно в . Перша частина теореми доведена.

Оскільки майже все відносно міри Вінера безперервні функції  ніде не дифференцируемы, замість рівності досить перевірити рівність . Розглянемо відображення визначуване рівністю

Те, що функція  Борелева, перевіряється без (зусиль для цього досить так само, як при доказі першої частини теореми, перевірити, що множина являється безліччю типу ). Отже, до функції можна застосувати теорему Фубини :

.   (3)

Але в силу(2) і закону повторного логарифма для вінерівського процесу, з якого виходить, що для будь-кого .

;

Права частина рівності(3) рівно  . Значить рівна і ліва частина цієї рівності, звідки в силу тієї ж теореми Фубини витікає, що для майже усіх в сенсі міри Вінера функцій рівність виконується для майже усіх t в сенсі міри Лебега. Але виконання цієї рівності для майже усіх t і означає приналежність функції f безлічі IM[a, b].

Теорема доведена.

Зауваження . Теорема 1 показує, що майже усі безперервні речові функції на відрізку як в сенсі  категорії, так і в сенсі міри Венера, належать класу  . Таким чином, теорема 1 доповнює основний результат [2].