Приклади неперервних недиференційовних функцій

Теорема 2. Яка б не була функція множина має потужність континууму.

Доказ. Покажемо спершу, що множина  являється безліччю типу у :

,

Де  - ) - множини, введені в доведенні теореми 1.

Таким чином, досить довести  замкнутість великих кількостей у(a, b), яка безпосередньо витікає з визначення цих великих кількостей і безперервності функції f. Зважаючи на класичний результат П.С.Александрова про те, що Борелеві підмножини прямої або счетны, або мають потужність континууму, для доведення теореми досить показати, що множина численно. Припустимо, що ця множина рахунковий, тобто . Для кожного виберемо функцію що задовольняє наступним умовам:

1) -зростаюча безперервна функція;

2) , ;

3)

 

(існування таких легко перевіряється безпосередньо).

Тепер розглянемо функцію  де . Оскільки рахунковий, то майже ніде не дифференцируема, а там як функція монотонна і, отже, майже усюди дифференцируема, то g не дифференцируема майже ніде і, отже, не є монотонною ні на якому інтервалі. Тоді функція g має точку локального максимуму (всяка безперервна речова функція, що не має в інтервалі(a, b) точок локального максимуму, має інтервали монотонності). Можливі два випадки.

Випадок 1. . В цьому випадку за визначенням що суперечить тому факту, що - точка локального максимуму функції g.

Випадок 2. для деякого . Тоді що суперечить тому факту, що - точка локального максимуму функції g.

Зауваження 2. Для  множина являється безліччю нульової міри Лебега і першої категорії.

2. Двомірний випадок

 У цьому пункті  нам знадобляться наступні позначення:

- безліч усіх безперервних комплексних функцій на відрізку ;

. Символом означатимемо міру Вінера в яка визначається аналогічно мірі Вінера в просторі . А саме

,

Де  - Борелева підмножина  

.

Для символом позначимо множину усіх для яких виконується співвідношення

  ;  ( )

,

 не дифференцируема ні в одній точці відрізку .

Теорема 3. являється безліччю першої категорії в і .

Доказ. Для доказу першого затвердження теореми досить перевірити, що множина являється безліччю першої категорії в . Покладемо

 таке, що

( - плоска міра Лебега). Очевидно, що . Так що досить довести, що кожна з множин ніде не щільно в . Нехай . Оскільки щільно в досить перевірити, що деяка куля (по нормі ) з центром в не перетинається з . Итак, нехай ; . Оскільки

 при то ,

Де  при деякому . Множина - безперервна крива, що випрямляється, на площині довжини, не більше а - її -окрестность. Отже . Таким чином

При досить малих  . Отже, при таких співвідношення виконується при . Перше затвердження теореми доведене.

Вище доведено, що для якого . Отже для всякого .

Друге затвердження теореми  тепер виводиться з теореми Фубини за допомогою міркування, аналогічного тому, яке проведене при доказі другої частини теореми 1.

Теорема 4. Нехай примеч

1) ;

2) для нескінченної безлічі індексів ;

3) ;

І нехай

  ,

Де  - функція, що задовольняє умові Ліпшиця (тобто

 для усіх t ).

Тоді  для усіх .

Для доказу на знадобиться  наступна лема.

Лема 1.  Нехай , , , причому

1) ;

2) ;

3) для нескінченної безлічі індексів .

Тоді існує множина  таке, що і для всякого нерівність виконується для n з деякої нескінченної множини .

Доказ. Припустимо, що затвердження леми 1 невірно. Тоді існують і такі, що і ществует такое, что

 (5)

Нехай і таке, що . Легко бачити, що

,

Де  . З умови виходить, що . Отже

,

Що в силу довільності  суперечить(5). Лема доведена.

Доведення теореми 4. Ніде не дифференцируемость функції перевіряється так само, як в класичному прикладі Вейерштраса. Таким чином, досить перевірити, що . Для цього, у свою чергу, досить перевірити, що для всякого (Е - множина з леми 1) і будь-кого знайдуться такі що . Насправді, якщо останнє твердження доведене, то, застосовуючи його до функції ( ) (функція визначається рівністю(4), в яку замість функції g потрібно підставити ), отримаємо, що для будь-кого існують такі, що . Остання рівність еквівалентно тому, що

  

   Тоді в силу довільності z. Тепер оскільки .

   Доведемо існування y(для все перевіряється аналогічно). Якщо то в якості y годиться . Якщо то . По умові теореми і по лемі 1 існує таке, що

1) ;

2) ;

3) при де M - константа Ліпшиця для g.

Умова 2) еквівалентно тому, що ; з умови 1) .

Тоді по теоремі про  проміжне значення для безперервної функції існує таке що . Побудуємо індуктивно послідовність що задовольняє умовам:

   а) ;

   б) .

Перший член послідовності  вже побудований. Нехай при що задовольняють умовам а) і б), побудовані. Подивимося . По умові б) для k=m існує таке, що

   .

Тепер

  

(перший доданок в квадратних дужках дорівнює нулю). Отже

По умові 3). Аналогічно, якщо то

  

  

Отже  . Оскільки

   ,

Те по теоремі про  проміжне значення для безперервної функції знайдеться таке, що . Побудова послідовності завершено. Оскільки послідовність зростає і обмежена згори числом існує . Тоді

  

Так що y - шукана точка.

   Слідство 1.  Нехай :

. Тоді .

   Слідство 2. Нехай :

. Тоді  .

Введемо додатково ще одно позначення: - ця безліч усіх функций- таких, що існує безперервне відображення де

, (комплексно) аналітична в для якої справедлива рівність

  .

Деякі зауваження. По аналогії з множинами  і можна визначити множину для довільного топологічного векторного простору. А саме складається з таких безперервних і ніде таких, що не диференціюються відображень для яких при майже усіх виконується співвідношення

     .

Множина визначається так само, але без умови ніде не дифференцируемости. Використовуючи методи, аналогічні застосованим в попередньому пункті, можна довести наступні твердження.

1. Нехай і - строго зростаюча функція, тоді
1. якщо то існує така, що при усіх ;
2. якщо і задовольняє умові при усіх то (тим самим ).
2. Для всякого майже безперервні функції (як у сенсі категорії, так і в сенсі міри Вінера) не належать множині .

Використовуючи ту обставину, що безліч усіх різницевих стосунків  для безперервної функції - компактно, можна показати, що якщо E - Банаховий простір, то наступні умови еквівалентні: 1) ; 2) ; 3) E скінченномірний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980.
2. Ивашов Мусатов О.С. Об одном свойстве непрерывных нигде не дифференцируемых функций // Вестник МГУ. Сер. 1. 1993. №6.
3. Вентцель А.Д. Курм теории случайных процессов. М.: Наука, 1975.
4. Хида Т. Броуновское движение. М.: Наука, 1987.
5. Окстоби ДЖ. Мера и категория. М.: Мир, 1974.
6. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.
7. Александров П.С. О мощности множеств измеримых по Борелю // Теория функций вещественного переменного и теория топологических пространств. М.: Наука, 1978.
8. Salet R., Zygmund A. Lacuanary power series and Peano curves // Duke Math. J. 1945. V. 12, №4. P. 569-578.
9. Белов А.С. О проблеме Салема и Зигмунда относительно гладкости аналитической, порождающей кривую Пеано // Матеем. Сб. 1990. Т. 181, №8. С. 1048-1060.
10. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. М.: Мир, 1968.
11. http://elementy.ru/posters/fractals/Koch
12. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%92%D0%B5%D0%B9%D0%B5%D1%80%D1%88%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B0