Государственное казенное образовательное
учреждение
высшего профессионального образования
«Российская
таможенная академия»
Кафедра
таможенной статистики
КУРСОВАЯ
РАБОТА
по дисциплине «Математический
Анализ»
на тему «Приложение
производной в экономической теории»
Выполнил: А.И. Корюков, студент 1-го курса очной формы обучения
экономического
факультета, группа Эб02/1303
Подпись _____________________
Научный руководитель С.В. Суржик
к.э.н., доцент кафедры таможенной
статистики
Подпись _____________________
Люберцы
2013
Содержание
Введение…………………………………………………………………3-4
1. Понятие производной……………………………………………....4-5
2. Геометрический смысл
производной……………………………..5-6
3. Физический смысл производной…………………………….……6-8
4. Правила дифференцирования……………………………….…….8-9
5. Производные высших порядков…………………………...……9-10
6. Изучение функции с
помощью производной
6.1.Возрастание и убывание
функции. Экстремум функции……11-15
6.2.Достаточные условия
убывания и возрастания функции.
Достаточные условия экстремума
функции………..……..……..15-16
6.3 .Правило нахождения экстремума……………………………....16
6.4.Точка перегиба графика
функции………………………...….16-20
6.5.Общая схема исследования
функции и построение ее графика..20
6.5. Касательная и нормаль
к плоской кривой……..……………20-21
7.Экономическое приложение
производной.
7.1.Экономическая интерпретация
производной………………21-26
7.2. Применение производной
в экономической теории……....26-28
7.3. Использование производной
для решения задач по экономической
теории………………………………………………………………28-31
Заключение.…………………………………………...……………………32
Список литературы………………………………………………...………33
2
Введение
Понятие функции является одним
из основных понятии математики. Оно не
возникло сразу в таком виде, как мы им
пользуемся сейчас, а, как и другие фундаментальные
понятия прошло длинный путь диалектического
и исторического развития. Идея функциональной
зависимости восходит к древнегреческой
математике. Например, изменение площади,
объема фигуры в зависимости от изменения
ее размеров. Однако древними греками
идея функциональной зависимости осознавалась
интуитивно.
Уже в 16 - 17 в. в, техника, промышленность,
мореходство поставили перед математикой
задачи, которые нельзя было решить имеющимися
методами математики постоянных величин.
Нужны были новые математические методы,
отличные от методов элементарной математики.
Впервые термин "функция"
вводит в рассмотрение знаменитый немецкий
математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако,
этот термин (определения он не дал вообще)
он употребляет в узком смысле, понимая
под функцией изменение ординаты кривой
в зависимости от изменения ее абсциссы.
Таким образом, понятие функции носит
у него "геометрический налет". В
современных терминах это определение
связано с понятием множества и звучит
так: «Функция есть произвольный способ
отображения множества А = {а} во множество
В = {в}, по которому каждому элементу а
А поставлен в соответствие определенный
элемент в
В. Уже в этом определении не накладывается
никаких ограничений на закон соответствия
(этот закон может быть задан Формулой,
таблицей, графиком, словесным описанием).
Главное в этом определении:
а
А
!b
B. Под элементами множеств А и В понимаются
при этом элементы произвольной природы.
В математике XVII в. самым же
большим достижением справедливо считается
изобретение дифференциального и интегрального
исчисления. Сформировалось оно в ряде
сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших
учеников. Введение в математику методов
анализа бесконечно малых стало началом
больших преобразований. Но наряду с интегральными
методами складывались и методы дифференциальные.
Вырабатывались элементы будущего дифференциального
исчисления при решении задач, которые
в настоящее время и решаются с помощью
дифференцирования. 3
В то время такие задачи были
трех видов: определение касательных к
кривым, нахождение максимумов и минимумов
функций, отыскивание условий существования
алгебраических уравнений квадратных
корней.
Первый в мире печатный курс
дифференциального исчисления опубликовал
в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из
предисловия и 10 глав, в которых излагаются
определения постоянных и переменных
величин и дифференциала, объясняются
употребляющиеся обозначения dx, dy, и др.
Появление анализа бесконечно
малых революционизировало всю математику,
превратив ее в математику переменных
величин.
Исследование поведения различных
систем (технические, экономические, экологические
и др.) часто приводит к анализу и решению
уравнений, включающих как параметры системы,
так и скорости их изменения, аналитическим
выражением которых являются производные.
Такие уравнения, содержащие производные,
называются дифференциальными.
В своей же работе я хочу подробнее
остановится на приложениях производной.
1. Понятие производной
При решении различных задач
геометрии, механики, физики и других отраслей
знания возникла необходимость с помощью
одного и того же аналитического процесса
из данной функции y=f(x) получать
новую функцию, которую называют производной функцией
(или просто производной) данной
функции f(x) и обозначают символом
Тот процесс, с помощью которого
из данной функции f(x) получают
новую функцию f ' (x), называют дифференцированием
и состоит он из следующих трех шагов:
1) даем аргументу x приращение D x и определяем
соответствующее приращение функции D y = f(x+D x) -f(x);
4
2) составляем отношение
3) считая x постоянным,
а D x ¦0, находим
, который обозначаем через f ' (x), как бы подчеркивая
тем самым, что полученная функция зависит
лишь от того значения x, при котором
мы переходим к пределу.
Определение: Производной y ' =f
' (x) данной функции y=f(x) при данном x
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при условии,
что приращение аргумента стремится к
нулю, если, конечно, этот предел существует,
т.е. конечен.
Таким образом,
, или
Заметим, что если при некотором
значении x, например при x=a, отношение
при D x¦0 не стремится к конечному пределу,
то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной
или не дифференцируема в точке x=a.
2. Геометрический
смысл производной.
Рассмотрим график функции
у = f (х), дифференцируемой в окрестностях
точки x0
Рассмотрим произвольную прямую,
проходящую через точку графика функции
- точку А(x0, f (х0)) и пересекающую
график в некоторой точке
5
B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется
секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x;
ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .
Так как АС || Ox, то ÐALO = ÐBAC = β (как соответственные при
параллельных). Но ÐALO - это угол наклона секущей
АВ к положительному направлению оси Ох.
Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой
АВ.
Теперь будем уменьшать ∆х,
т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет приближаться
к точке А по графику, а секущая АВ будет
поворачиваться. Предельным положением
секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая
касательной к графику функции у = f (х)
в точке А.
Если перейти к пределу при
∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим
или tga =f '(x0), так как
a-угол наклона касательной к
положительному направлению оси Ох
, по определению производной. Но tga = k - угловой коэффициент касательной,
значит, k = tga = f '(x0).
Итак, геометрический смысл
производной заключается в следующем:
Производная функции
в точке x0 равна угловому
коэффициенту касательной к графику функции,
проведенной в точке с абсциссой x0.
3. Физический смысл
производной.
Рассмотрим движение
точки по прямой. Пусть задана координата
точки в любой момент времени x(t). Известно
(из курса физики), что средняя скорость
за промежуток времени [t0; t0+ ∆t] равна
отношению расстояния, пройденного за
этот промежуток времени, на время, т.е.
Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу
в последнем равенстве при ∆t →
0.
lim Vср (t) = n(t0) - мгновенная
скорость в момент времени t0, ∆t → 0.
а lim = ∆x/∆t = x'(t0) (по определению
производной).
6
Итак, n(t) =x'(t).
Физический смысл
производной заключается в следующем:
производная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость
изменения функции f (х) в точке x0
Производная применяется в
физике для нахождения скорости по известной
функции координаты от времени, ускорения
по известной функции скорости от времени.
u(t) = x'(t) - скорость,
a(f) = n'(t) - ускорение, или
a(t) = x"(t).
Если известен закон движения
материальной точки по окружности, то
можно найти угловую скорость и угловое
ускорение при вращательном движении:
φ = φ(t) - изменение угла от времени,
ω = φ'(t) - угловая скорость,
ε = φ'(t) - угловое ускорение,
или ε = φ"(t).
Если известен закон распределения
массы неоднородного стержня, то можно
найти линейную плотность неоднородного
стержня:
m = m(х) - масса,
x Î [0; l], l - длина стержня,
р = m'(х) - линейная плотность.
С помощью производной решаются
задачи из теории упругости и гармонических
колебаний. Так, по закону Гука
F = -kx, x – переменная координата,
k- коэффициент упругости пружины. Положив
ω2 =k/m, получим
дифференциальное уравнение пружинного
маятника х"(t) + ω2x(t) = 0,
где ω = √k/√m частота колебаний
(l/c), k - жесткость пружины (H/m).
Уравнение вида у" + ω2y = 0 называется
уравнением гармонических колебаний (механических,
электрических, электромагнитных). Решением
таких уравнений является функция
7
у = Asin(ωt + φ0) или у = Acos(ωt
+ φ0), где
А - амплитуда колебаний, ω -
циклическая частота,
φ0 - начальная
фаза.
4. Правила дифференцирования
(C)’= 0 С=const |
|
|
|
(cos x)'=-sin x |
|
(sin x)'=cos x |
|
(tg x)'=
|
(ах)'=аx ln a |
(ctg x)'=-
|
(ех)'=ex |
|
|
Производная степенно-показательной
функции
8
, где
.
.
Логарифмическое
дифференцирование. Пусть дана функция
. При этом предполагается, что функция
не обращается в нуль в точке
. Покажем один из способов нахождения
производной функции
, если
очень сложная функция и по обычным правилам
дифференцирования найти производную
затруднительно.
Так как по первоначальному
предположению
не равна нулю в точке, где ищется ее производная,
то найдем новую функцию
и вычислим ее производную
(1)
Отношение
называется логарифмической производной
функции
. Из формулы (1) получаем
. Или
Формула (2) дает простой способ
нахождения производной функции
.
5. Производные
высших порядков
Ясно, что производная
функции y =f (x) есть также
функция от x:
Если функция f ' (x) дифференцируема,
то её производная обозначается символом y'' =f '' (x) и называется второй производной
функции f(x) или
9
производной функции
f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением
можем написать
Очень удобно пользоваться
также обозначением
, указывающим, что функция y=f(x) была продифференцирована
по x два раза.
Производная второй производной, т.е. функции y''=f '' (x) , называется третьей производной
функции y=f(x) или производной функции
f(x) третьего порядка и обозначается
символами
.
Вообще n-я производная
или производная n-го порядка
функции y=f(x) обозначается
символами
Дифференцируя производную
первого порядка, можно получить производную
второго порядка, а, дифференцируя полученную
функцию, получаем производную третьего
порядка и т.д. Тогда возникает вопрос:
сколько производных высших порядков
можно получить в случае произвольной
функции.
Например:
1)
;
;
; ...;
;
.
Разные функции ведут себя по-разному
при многократном дифференцировании.
Одни имеют конечное количество производных
высших порядков, другие – переходят сами
в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы
бесконечное количество раз, но порождают
новые функции, отличные от исходной.
Однако все сформулированные
теоремы о производных первых порядков
выполняются для производных высших порядков.
10
6. Изучение функции
с помощью производной
6.1.Возрастание
и убывание функции. Экстремум
функции.
Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при
возрастании аргумента x в этом интервале
соответствующие значения функции f(x) также возрастают,
т.е. если f(x2) > f(x1) при x2 > x1.
Из этого определения следует,
что у возрастающей в
интервале (a,b) функции f(x) в любой точке
этого интервала приращения Dx и Dy имеют одинаковые
знаки.
График возрастающей функции показан
на рисунке1(а).
Если из неравенства x2 > x1 вытекает
нестрогое неравенство f (x2) ³ f (x1), то функция f (x) называется неубывающей в интервале
(a, b ). Пример такой функции показан
на рисунке 2(а). На интервале [ x0 , x1 ] она сохраняет
постоянное значение C
Определение 2.
Функция f (x) называется убывающей в интервале
( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале
соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е.
если f(x2) < f(x1) при x2 > x1.