Решение задач как основная функция предмета "математика"

 – время совместной работы бригад.

Так как бригады  работали с 8 до 15 часов, всего 7 часов, то

 – время работы бригад раздельно, тогда

 – число деталей, которое изготовила первая бригада, работая отдельно

 – число деталей, которое изготовила вторая бригада, работая отдельно

По условию   или

Составим второе уравнение. По условию:

х+1 – производительность труда первой бригады на другой день.

у–1 – производительность труда второй бригады на другой день.

х+1+у–1=х+у – совместная производительность (такая же, как и в первый день).

Так как бригады  работали с 8 до 13 часов – всего 5 часов, то

 – число деталей, которые изготовила первая бригада, работая отдельно, во второй день.

 – число деталей, которые изготовила вторая бригада, работая отдельно, во второй день.

По условию   или .

Таким образом, мы составили систему двух уравнений:

Решим эту систему  методом замены переменных:

Пусть ...................(V)

Тогда имеем:

 Þ

Выразим из первого  уравнения   и подставим во второе уравнение

 Þ v2+2v–8=0 Þ v1=2, v2=–4.

Значение v2=–4 не подходит по смыслу задачи (из условия  ясно, что производительность первой бригады выше, чем второй, а значит х–у=v>0). Найдем значение u, соответствующее v2=2, подставив значение v2 в выражение для u:

.

Так как нам  нужно найти значения х и у, подставим полученные значения для u и v в (V)

 Þ  Þ  Þ  Þ

Ответ: 13 деталей  в час изготавливала первая бригада; 11 деталей в час изготавливала  вторая бригада.

Задачи на смеси  и сплавы

В задачах этого  типа основным является понятие «концентрация». Что же это такое?

Рассмотрим, например, раствор кислоты в воде. Пусть  в сосуде содержится 10 литров раствора, который состоит из 3 литров кислоты  и 7 литров воды. Тогда относительное (по отношению ко всему объему) содержание кислоты в растворе равно  . Это число и определяет концентрацию кислоты в растворе. Иногда говорят о процентном содержании кислоты в растворе. В приведенном примере процентное содержание будет таково: . Как видно, переход от концентрации к процентному содержанию и наоборот весьма прост.

Итак, пусть смесь  массы М содержит некоторое вещество массой m. Тогда:

концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина ;

процентным содержанием  данного вещества называется величина с×100%;

Из последней  формулы следует, что при известных  величинах концентрации вещества и  общей массы смеси (сплава) масса  данного вещества определяется по формуле  m=c×M.

Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два  вида:

Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m1 и m2 и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с1 и с2. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c1m1+c2m2, а концентрация .

Задается некоторый  объем смеси (сплава) и от этого  объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем  доливать (добавлять) такое же или  другое количество смеси (сплава) с  такой же концентрацией данного  вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько  раз.

При решении  таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом доливе смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.

Задача 1. Имеется  кусок сплава меди с оловом общей  массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько  чистого олова надо добавить к  этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение:

Пусть х кг олова надо добавить к сплаву. Так как процентное содержание меди в сплаве равно 45 %, то масса меди в первоначальном сплаве m=0,45×12=5,4 кг (где 0,45 – концентрация меди в сплаве).

Тогда 12+х –  масса нового сплава

И так как  масса меди в первоначальном сплаве равна 5,4 кг, то

 – концентрация меди в новом сплаве.

По условию  , решая уравнение, получаем х=1,5 кг.

Ответ: нужно  добавить 1,5 кг чистого олова.

Задача 2. Имеются  два раствора кислоты разной концентрации. Объем одного раствора 4 л, другого  – 6 л. Если их слить вместе, то получится 35 % раствор кислоты. Если же слить  равные объемы этих растворов, то получится 36 % раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из первоначальных растворов?

Решение:

Пусть х л кислоты содержится в первом растворе,

у л кислоты содержится во втором растворе.

Тогда  – концентрация кислоты в первом растворе,

 – концентрации кислоты во втором растворе.

Если слить  два раствора, то получим раствор  массой 4л+6л=10л, причем масса кислоты  в нем будет х+у, тогда

 – концентрация кислоты, после сливания обоих растворов.

Так как по условию  в полученном таким образом растворе содержится 35% кислоты, то ее концентрация там равна 0,35.

Таким образом, получаем:  или х+у=3,5.

Если будем  сливать равные объемы растворов  по m литров, то

 – масса кислоты в полученном растворе,

2m – масса  полученного раствора,

тогда

 – концентрация кислоты в полученном растворе.

По условию

 или .

Таким образом, получили систему двух уравнений

 Þ  Þ  Þ

Þ  Þ

Ответ: в первом растворе содержится 1,64 л кислоты, во втором – 1,86 л.

Задачи на проценты

Решение задач  этого типа тесно связано с  тремя алгоритмами: нахождения части  от целого, восстановление целого по его  известной части, нахождение процентного  прироста. Рассмотрим эти алгоритмы.

Пусть известна некоторая величина А, надо найти а % этой величины.

Если считать, что А есть 100%, а неизвестная часть х это а %, то из пропорции

 имеем .

Пусть известно, что некоторое число b составляет а % от неизвестной величины А. Требуется найти А.

Рассуждая аналогично, из пропорции получаем .

Пусть некоторая  переменная величина А, зависящая от времени t, в начальный момент t0 имеет значение А0, а в момент t1 – значение А1.

Тогда абсолютный прирост величины А за время t1–t0 будет равен А1–А0; относительный прирост этой величины вычисляется по формуле , а процентный прирост по формуле .

Задача 1. Для  офиса решили купить 4 телефона и 3 факса  на сумму 1470 долларов. Удалось снизить  цену на телефон на 20%, и в результате за эту же покупку уплатили 1326 долларов. Найти цену факса.

Решение:

Пусть х – стоимость факса,

у – стоимость  телефона.

По условию 4у+3х=1470.

Так как цену на телефон снизили на 20%, то телефон  стал стоить 80% от первоначальной цены, то есть

0,8у – стоимость  телефона после снижения.

По условию 3х+4×0,8у=1326.

Решим полученную систему двух уравнений методом  алгебраического сложения.

Так как нам  нужно найти только х, исключим у из системы, для чего первое уравнение умножим на (–0,8) и сложим со вторым: 0,6х=150 Þ х=250.

Ответ: факс стоит 250 долларов.

Задачи для  самостоятельного решения

Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения, которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес  Хабаровской краевой заочной  физико-математической школы.

Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ  ( ХКЗФМШ).

М9.9.1. Расстояние 450 км один из поездов проходит на 1,5 ч. быстрее другого. Найдите скорость каждого из поездов, если известно, что первый проходит 240 км за то же время, что второй проходит 200 км.

М9.9.2. Расстояние между городами А и В равно 50 км. Из города А в город В выехал велосипедист, а через 1 ч. 30 мин. вслед за ним выехал мотоциклист. Обогнав велосипедиста, он прибыл в город В на 1 ч. раньше него. Найдите скорость мотоциклиста, если известно, что она в 2,5 раза больше скорости велосипедиста.

М9.9.3. В реку впадает приток. Катер отходит от пункта А, находящегося на притоке, идет по течению 80 км до впадения притока в реку в пункте В, а затем идет вверх по реке до пункта С. На путь от А до С он затратил 18 ч., на обратный – от А до С – 15 ч. Найдите расстояние от пункта А до С, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч, а собственная скорость катера 18 км/ч.

М9.9.4. Бассейн может наполниться водой из двух кранов. Если первый кран открыть на 10 мин., а второй – на 20 мин., то бассейн будет наполнен. Если первый кран открыть на 5 мин., а второй – на 15 мин., то заполнится 3/5 бассейна. За какое время из каждого крана в отдельности может заполниться весь бассейн?

М9.9.5. Двум рабочим была поручена работа. Второй приступил к работе на час позже первого. Через 3 ч. после того, как первый приступил к работе, им осталось выполнить 9/20 всей работы. По окончанию работы оказалось, что каждый выполнил половину всей работы. За сколько часов каждый, работая отдельно, может выполнить свою работу?

М9.9.6. Двое рабочих вытачивают вместе 136 деталей за 8 часов. Если бы первый делал на две детали в час меньше, а второй на 1 деталь больше, то на изготовление одной детали второй рабочий затратил бы на 4 минуты меньше, чем первый. Сколько деталей в час изготавливается первый рабочий?

М9.9.7. В сосуде было 12 л соляной кислоты. Часть кислоты отлили и сосуд долили водой. Затем снова отлили столько же и опять залили водой. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25% раствор кислоты?

М9.9.8. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить 140 тонн стал и с содержанием никеля 30%?

М9.9.9. Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов. Содержащих 12% воды. Какой процент воды в свежих грибах?

М9.9.10. Два завода по плану должны были выпустить за месяц 360 станков. Первый завод выполнил план на 112%, а второй – на 110%, вместе заводы выполнили за месяц 400 станков. Сколько станков сверх плана выпустил каждый завод в отдельности?

В методике обучения математике разработаны соответствующие  приемы работы учителя по формированию выделенных умений (З.П. Матушкина).

Приемы, формирующие умение читать текст  задачи:

-  показ образцов правильного чтения задачи;

-  проведение специальной работы над текстом задачи по усвоению ее содержания. Здесь имеется ввиду различные формы предъявления задачи: текстом, краткой записью текста, рисунком. Сюда включаются также приемы работы над условием содержания задачи: изменение числовых данных задачи; изменение сюжета задачи; изменение сюжета и числовых данных задачи.

Приемы, формирующие умения выделять условие  и вопрос задачи:

-  выявление роли вопроса в нахождении способа решения задачи; обращение внимания на точность, ясность формулировки вопроса задачи; переформулировка вопроса задачи.

Этот  прием направлен на воспитание у  учащихся потребности выделять условие  и вопрос задачи;

-  формулирование одного или нескольких вопросов к условию задачи;

-  нахождение необходимых данных для ответа на вопрос задачи;

-  составление задачи по вопросу; формулирование одной или нескольких задач по данному вопросу.

Приемы  обучения оформлению краткой записи текста задачи: