Решение задач как основная функция предмета "математика"

б)  8 : 20 = 4 : а;

в)  20 : а = 4 : 8;

г)  20 : а = 8 : 4.

2) 8 : 21 = b : 30

а)  b : 21 = 30 : 8;

б)  8 : b = 21 : 30;

в)  8 : 30 = b : 21;

г)  8 : 21 = 30 : b.

1.  Проверьте, используя основное свойство пропорции, следующие равенства. Какие из них являются пропорцией, а какие нет?

а) 4 : 3 = 36 : 26

б)  =

в) 2 : 9 = 1 : 39

г)  =

д) 3 : 7,5 = 2,5 : 6

2.  Какова зависимость между:

1)  временем и скоростью движения при постоянном пути?

2)  количеством тракторов и числом дней, за которые они вспашут поле?

3.  Установите зависимость:

1)  За х кг апельсинов заплатили p рублей. Как изменится стоимость покупки, если массу апельсинов увеличили в 5 раз; уменьшили в 2 раза?

4.  Расстояние от деревни до города велосипедист проехал за 3 часа.

1)  За сколько часов это расстояние пройдет пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?

2)  За сколько часов это расстояние пройдет мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?

При решении  этих задач учащиеся повторят, что  такое отношение, как оно составляется, понятие пропорции, ее свойства, установление прямой или обратной пропорциональности между величинами.

Понятно, что если в задаче говорится о  двух величинах, то краткая запись будет  выглядеть следующим образом:

I вел.  – II вел.

Изменение I вел. – II вел.

При этом проверяется зависимость первой величины от второй или наоборот. Если при увеличении / уменьшении первой величины в n раз, во столько же увеличится / уменьшится II величина, то это прямая пропорциональность.

Обозначение вводится с помощью  стрелочек, которые «смотрят» в  одну сторону.

I вел. – II вел.

I изм. вел. – II изм. вел.

Для обратной пропорциональности при соответствующем  определении для нее, стрелочки  будут иметь разное направление:

I вел. – II вел.

I изм. вел. – II изм. вел.

Т.к. в  пропорции четыре составляющие, то три из них должны быть оговорены  в задаче. А четвертую и будем  обозначать неизвестной.

Приведем  пример: «В 200 г раствора содержится 4 г соли. Сколько соли содержится в 600 г раствора?»

Составив  схематическую запись для этой задачи, получим:

раствор       соль

Было                      200 г                   –        4 г

Спрашивается 600 г     –        х г

Теперь  выясняем зависимость и ставим стрелочки.

200 г –       4 г

600 г            –        х г

При рассуждении  учащиеся используют свой практический опыт. Вид пропорциональности устанавливается  на основе закономерности; «законов»  логики в соотношении между величинами. У учащихся развивается воображение, самоконтроль за выполнением своих  действий.

Работа  с задачей и схема работы на уроке

Теперь  рассмотрим работу по решению задач  на выполнение конкретных задач, опираясь на приведенную схему (этапы).

Для перевозки  груза потребовалось 15 машин грузоподъемностью 7,5 т. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз?

1)  Ученикам задаются следующие вопросы:

1.  Что является объектом исследований? (количество машин грузоподъемностью 4,5 т)

2.  Что они должны делать? (перевезти тот же груз)

3.  Сколько машин перевезли этот груз, грузоподъемностью каждая по 7,5 т? (15)

4.  Что неизвестно? Как обозначим? (кол-во машин; обозначим неизвестной х)

II. Составим  краткую запись условия:

15 –  7,5 т

х – 4,5 т

1)  Груз тот же, но каждая из машин теперь может увезти меньшую массу – 4,5 т. Увеличится или уменьшится количество машин, которые перевезут груз? (увеличится).

2)  А число машин увеличилось или уменьшилось? (увеличилось).

3)  Какая это пропорциональность? (обратная)

15 – 7,5 т

х – 4,5 т

III. Составим  пропорцию. Она будет являться  уравнением.         

15 –  7,5 т         

 х – 4,5 т

Стоит обратить внимание на то, как составляется пропорция:

а) записываются два отношения в соответствии со стрелками;

б) между  ними ставится знак равенства.

IV. Теперь  надо найти неизвестное х. Для этого удобно использовать основное равенство пропорции.

15 ·  7,5 = х · 4,5

х · 4,5 = 112,5

х = 112,5 : 4,5

х = 25

V. В  задаче в качестве х обозначали количество машин, что и спрашивалось в вопросе. Поэтому мы нашли ответ. Т.к. использовали свойство пропорции и известный алгоритм решения уравнений, то все действия законны и вычисления верны. Осталось посмотреть соответствие ответа смыслу поставленного вопроса. Значение неизвестной х – это и есть количество машин, т.е. то, что спрашивалось в задаче. Можем записать ответ.

VI. Ответ: 25 машин грузоподъемностью 4,5 т  потребуется.

VII. Исследование  задачи можно не проводить,  т.к. известен только один путь  ее решения с помощью пропорции.  В задачах по этой теме этапы  выявления основания и анализ  решения задачи не имеют места.  Ошибки у учащихся возможны  при установлении вида зависимости.  Поэтому они в процессе решения  должны обдумывать смысл слов, осмысленно выявлять зависимость,  чтобы в дальнейшем правильно  записать пропорцию. 

Заключение   

Умение  решать задачи является одним из основных показателей уровня математического  развития школьников, глубины усвоения учебного материала. Поэтому любой  экзамен по математике, любая проверка знаний содержит в качестве основной и, пожалуй, наиболее трудной части  решение задач.

За время  обучения в школе ученик решит  огромное число задач, и, как правило, много из них однотипные. Однако в итоге некоторые ученики  овладевают общим умением решения  задач, а многие, встретившись с задачей  незнакомого или малоизвестного вида, теряются и не знают, как ее решать.

И одной  из причин такого положения является то, что одни ученики вникают в  процесс решения задач, стараются  понять, в чем состоят приемы и  методы решения задач. Другие же не задумываются над этими, стараются  лишь как можно быстрее решить заданные задачи. Эти учащиеся не анализируют  в должной степени решаемые задачи и не выделяют из решения общие  приемы и способы. Задачи зачастую решаются лишь ради получения ответа.

У большинства  учащихся, весьма смутные, а порой, и  неверные представления о сущности процесса поиска решения задач, о  самих задачах. Как могут учащиеся решить сложную задачу, если они  не представляют, из чего складывается анализ задачи? Как могут они решить задачу на доказательство, если они  не знают, в чем смысл доказательства?

А можно  ли научиться решать любую задачу?

Конечно, любые задачи научиться решать невозможно, ибо как бы хорошо ученик не умел решать задачи, всегда может встретиться такая, которую он решить не сможет.

Ясно, что  рассчитывать на изображение методики обучения решению задач, пригодной  для всех детей и во всех случаях  – все равно, что искать универсальное  лекарство от всех болезней. Практическая ценность обучения школьников решению  текстовых задач разнообразными способами в современных условиях заключается совсем не в том, чтобы  раз и навсегда вооружить их приемами решения различных задач, которые  будут возникать в дальнейшем обучении, а в том, что оно обогатит их опыт мыслительной деятельности. Ведь определенный прием решения задач может быть просто забыт или вытеснен в дальнейшем обучении общим приемом. Для того, чтобы развитие качества, таких как сообразительность, смекалка, не было подобным результатом процесса обучения решению текстовых задач, а было закономерным планируемым результатом обучения, необходима специальная организация самого процесса обучения.

Цель  дипломной работы заключалась в  том, чтобы рассмотреть методику работы над задачами, которые решаются методом составления уравнений, и разработать рекомендации по обучению учащихся отыскивать пути решения задач с помощью составления уравнений.

Работа  состояла из трёх основных частей.

Первая  глава дипломной работы посвящена  психологическим особенностям учащихся в возрасте 10 – 12 лет, дидактическим  принципам обучения.

Во второй главе рассказывается о сущности задач, их функциях и излагаются этапы  обучения решения задач с помощью  составления уравнений.

В третьей  главе показана работа с текстовыми задачами в темах: «Уравнения» и  «Пропорции».

Апробация проводилась в школе №703 в 5 и 6 классах по темам: “Уравнения” и  “Прямая и обратная пропорциональные зависимости” соответственно.

В процессе обучения учащиеся познакомились с  этапами решения задач с помощью  составления уравнений, научились  анализировать условие задачи, осознали необходимость исследования корней уравнения, составлять алгебраические выражения. На уроке при решении задач учащиеся выбирали схематическую запись вместе с классом, затем самостоятельно проводили решение. Ответы проверялись в устной форме: учащиеся рассказывали ход решения задачи, а потом обосновывали ответ.

При решении  задач у учащихся 5 класса возникали  следующие трудности:

1)  трудности, связанные с разделением условия на логические составляющие;

2)  трудности в выборе схематической записи для конкретной задачи, ее оформлении;

3)  в выборе величины, которую необходимо обозначить переменной «х».

Эти трудности  возникли из-за того, что:

1)  учащиеся неосознанно читали условия задачи;

2)  как следствие неосознанного чтения задачи, не могли выявить процессы, описываемые в задаче.

Поэтому учащиеся не видели, что им дано, а  какие величины можно брать в  качестве неизвестной.

В 6-ом классе возникали трудности:

1)  в установлении вида зависимости;

2)  в решении пропорции.

Первая  трудность связана с тем, что  учащиеся не пытались анализировать  закономерности, которые встречались  им в жизни. Они их, очевидно, просто не видели.

Вторая  трудность была связана с том, что учащиеся на тот момент плохо  владели умением применять свойство пропорции, что в свою очередь  приводило к неправильным результатам  в вычислениях.

Очень эффективно проводить на уроке либо фронтальную работу, либо давать учащимся задания на карточках для индивидуальной работы. Со слабыми учащимися надо проводить отдельные консультации, на которых им кроме указанных  заданий можно предложить самостоятельно воспроизвести решение задачи, разобранной  на уроке. Так как решать задачи учащимся придется в течение всего обучения, то им надо объяснить необходимость  решать задачи с помощью составления  уравнений.