Свойства функций затрат и прибыли
Автор работы: Пользователь скрыл имя, 16 Июня 2014 в 10:40, курсовая работа
Краткое описание
Математическая экономика
это наука, которая использует матема-
тический аппарат в качестве метода исследования экономических систем и
явлений.
Таким образом, объектом изучения (или предметной областью) математи-
ческой экономики является экономика
как часть бытия или часть обшир-
ной области человеческой деятельности.
Как и другие науки, изучающие экономику в целом или ее составные
части, математическая экономика пользуется определенной методологией и
имеет свою специфику. Специфика математической экономики, ее методоло-
гическая особенность заключается в том, что она изучает не сами экономиче-
ские объекты и явления как таковые, а их математические модели. Ее цель
получение объективной экономической информации и выработка имеющих
важное практическое значение рекомендаций. Формально математическую
экономику можно отнести как к экономической, так и к математической нау-
кам
Содержание
Введение
4
1 Определения
6
1.1 Основные экономические термины . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Некоторые математические понятия . . . . . . . . . . . . . 7
2 Затраты и прибыль
9
2.1 Затраты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Лемма Шеппарда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Матрица замены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Функция прибыли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Функции спроса на факторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Функции предложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7 Лемма Хотеллинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.8 Уравнение Пу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Эластичность замены в теории производства
13
3.1 Эластичность замены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Теневая эластичность замены . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Эластичность замены по Аллену-Узаве . . . . . . . . . . . 13
3.4 Эластичность замены по Моришиме . . . . . . . . . . . . . 14
4 Специальные формы производственных функций и их свой-
ства
15
4.1 Функция Кобба-Дугласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Свойства Функции Кобба-Дугласа . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3 Другие специальные формы производственных функций 16
4.4 Функция CES с постоянной эластичностью замены . . . 16
4.5 Свойства Функции CES с постоянной эластичностью
замены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.6 Другие Функция CES с постоянной эластичностью за-
мены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2
Page 3
4.7 Закон минимума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.8 Функция затрат Дьюверта(обобщённая функция затрат
Леонтьева) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.9 Транслогарифмическая функция затрат . . . . . . . . . . 18
3
Вложенные файлы: 1 файл
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Механико-математический факультет
Кафедра Нелинейного анализа и аналитической экономики
Кишкель Александр Иванович
СВОЙСТВО ФУНКЦИЙ ЗАТРАТ И ПРИБЫЛИ
Курсовая работа, 2 курс
Руководитель:
профессор, доктор физ.-мат. наук
ЗАБРЕЙКО П. П.
Минск
2013
Содержание
Введение
4
1 Определения
6
1.1 Основные экономические термины . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Некоторые математические понятия . . . . . . . . . . . . . 7
2 Затраты и прибыль
9
2.1 Затраты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Лемма Шеппарда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Матрица замены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Функция прибыли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Функции спроса на факторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Функции предложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7 Лемма Хотеллинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.8 Уравнение Пу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Эластичность замены в теории производства
13
3.1 Эластичность замены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Теневая эластичность замены . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Эластичность замены по Аллену-Узаве . . . . . . . . . . . 13
3.4 Эластичность замены по Моришиме . . . . . . . . . . . . . 14
4 Специальные формы производственных функций и их свой-
ства
15
4.1 Функция Кобба-Дугласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Свойства Функции Кобба-Дугласа . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3 Другие специальные формы производственных функций 16
4.4 Функция CES с постоянной эластичностью замены . . . 16
4.5 Свойства Функции CES с постоянной эластичностью
замены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.6 Другие Функция CES с постоянной эластичностью за-
мены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2
4.7 Закон минимума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.8 Функция затрат Дьюверта(обобщённая функция затрат
Леонтьева) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.9 Транслогарифмическая функция затрат . . . . . . . . . . 18
3
Введение
Математическая экономика
это наука, которая использует матема-
тический аппарат в качестве метода исследования экономических систем и
явлений.
Таким образом, объектом изучения (или предметной областью) математи-
ческой экономики является экономика
как часть бытия или часть обшир-
ной области человеческой деятельности.
Как и другие науки, изучающие экономику в целом или ее составные
части, математическая экономика пользуется определенной методологией и
имеет свою специфику. Специфика математической экономики, ее методоло-
гическая особенность заключается в том, что она изучает не сами экономиче-
ские объекты и явления как таковые, а их математические модели. Ее цель
получение объективной экономической информации и выработка имеющих
важное практическое значение рекомендаций. Формально математическую
экономику можно отнести как к экономической, так и к математической нау-
кам. В первом случае ее следует понимать как тот раздел экономики, который
изучает количественные и качественные категории, а также поведенческие
аспекты экономических субъектов. Считая же математическую экономику
одним из направлений математики, можно отнести ее к тем разделам при-
кладной математики, которые занимаются оптимизационными задачами и
задачами принятия решения.
По своей природе экономика
самая близкая к математике социальная
наука. Уже в определении самого понятия экономики, ее главных задач мож-
но увидеть математические понятия и терминологию.
Действительно, экономика это общественная наука об использовании огра-
ниченных ресурсов с целью максимального удовлетворения неограниченных
материальных потребностей населения. Центральные проблемы экономиче-
ской науки
рациональное ведение хозяйства, оптимальное распределение
ограниченных ресурсов, изучение экономических механизмов управления, раз-
работка методов экономических расчетов по существу являются задачами,
решаемыми в рамках математических наук. Количественные и качественные
методы математики являются наилучшим вспомогательным аппаратом для
4
получения ответов на основные вопросы экономики:
что должно производиться (т. е. какие товары и услуги и в каком коли-
честве надо производить)?
как будут производиться товары (т. е. кем и с помощью каких ресурсов
и какой технологии)?
для кого предназначены эти товары (т.е. кем и как будут потребляться
эти товары)?
Наконец, задача экономической теории, связанная с приведением в систе-
му, истолкованием и обобщением поведения участников экономики в процессе
производства, обмена и потребления, восходит к математическим проблемам
оптимизации и принятия решения.
С учетом сказанного выше можно говорить о следующих основных за-
дачах, стоящих перед математической экономикой: разработка математиче-
ских моделей экономических объектов, систем и явлений (общих и частных
задач экономики при различных условиях, предпосылках и на различных
уровнях); изучение поведения участников экономики (условий существова-
ния оптимальных решений и их признаков, а также методов их вычисления
в моделях потребления, фирмы, совершенной и несовершенной конкуренции
и др.); изучение описательных моделей экономики (модели планирования,
"затраты-выпуск", расширяющейся экономики, экономики благосостояния и
роста и др.); анализ экономических величин и статистических данных (эла-
стичности, средних и предельных величин, регрессионный и корреляционный
анализ и прогнозирование экономических факторов и показателей).
5
1 Определения
1.1 Основные экономические термины
Сейчас будет введен ряд экономических терминов, используемых в курсовой
работе.
Определение 1. ЗАТРАТЫ - это ценность материалов и услуг фак-
торов производства, использованных при изготовлении продукции.
Определение 2. ФУНКЦИЯ ЗАТРАТ - общая связь расхода факто-
ров производства с объемом выпуска товаров и услуг.
Определение 3. МИНИМИЗАЦИЯ ЗАТРАТ - производство задан-
ного, требуемого объема продукции с наименьшими затратами факторов
посредством их рационального сочетания и учета цен на них.
Определение 4. Пусть X ⊂ R
n
+
- множество допустимых наборов то-
варов, P ⊂ R
n
+
- пространство цен. Функцией спроса (индивидуального
потребителя) называется отображение D , которое каждой паре (p,K) ∈
P ∗ R
l
+
ставит в соответствие множество наиболее предпочтительных
наборов товаров
D : P ∗ R
l
+
→ 2
X
где 2
X
- множество всех подмножеств множества X.
Определение 5. ПРИБЫЛЬ - главная цель предпринимательской де-
ятельности. В условиях рыночных отношений – это превращенная форма
прибавочной стоимости. Учет прибыли позволяет установить, насколько
эффективно ведется хозяйственная деятельность.
Определение 6. МАКСИМИЗАЦИЯ ПРИБЫЛИ - усилия, направ-
ленные на получение наивысшей прибыли от предпринимательской деятель-
ности
Определение 7. ЭЛАСТИЧНОСТЬ - мера чувствительности одной
переменной (например: спроса или предложения) к изменению другой (на-
пример: цене, доходу) , показывающая, на сколько процентов изменится
первый показатель при изменении второго на 1%
6
Определение 8. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ - функция,
описывающая зависимость количества продукта, которое может произве-
сти фирма, от объемов затраченных ресурсов.
Определение 9. ПОСТОЯННАЯ ЭЛАСТИЧНОСТЬ ЗАМЕЩЕ-
НИЯ (CES) - характеристика производственных функций или функций
полезности, означающая, что соотношение между пропорциональными из-
менениями относительных цен и пропорциональными изменениями отно-
сительных количеств всегда одинаково.
1.2 Некоторые математические понятия
Определение 10. Вещественнозначная функция, определённая на неко-
тором интервале выпукла, если для любых двух значений аргумента x,y
и для любого числа t ∈ [0,1] выполняется неравенство Йенсена:
f(tx + (1 − t)y) ≤ tf(x) + (1 − t)f(y)
Если это неравенство является строгим для всех t ∈ [0,1] и x = y , то
функция называется строго выпуклой; если выполняется обратное нера-
венство, функция называется вогнутой, или выпуклой вверх.
Определение 11. Пусть D ⊂
R
и f : D →
R
.
Функция f непрерывна в точке x
0
∈ D, если для любого ϵ > 0 суще-
ствует δ > 0 такое, что для любого x ∈ D , |x−x
0
| < δ =⇒ |f(x)−f(x
0
)| <
ϵ.
Функция f непрерывна на множестве E , если она непрерывна в каждой
точке данного множества.
Определение 12. Однородная функция степени q - числовая функ-
ция f :
R
n
→
R
такая, что для любого v ∈
R
n
и λ ∈
R
выполняется
равенство:
f(λv) = λ
q
f(v)
Причём q называют порядком однородности.
7
Определение 13. Симметричной (Симметрической) называют квадрат-
ную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диа-
гонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу A, что
∀i,j : i = j =⇒ a
ij
= a
ji
Это означает, что она равна её транспонированной матрице:
A = A
T
Определение 14. Пусть X
выпуклое подмножество
R
n
. Функция f :
X →
R
называется квазивыпуклой или унимодальной, если для произ-
вольных элементов x,y ∈ X и λ ∈ [0,1] выполняется неравенство:
f(λx + (1 − λ)y) ≤ max(f(x),f(y)).
Аналогично, функция является квазивогнутой, если
f(λx + (1 − λ)y) ≥ min(f(x),f(y)).
8
2 Затраты и прибыль
2.1 Затраты
Начну я эту главу с рассмотрения минимизации затрат ! Каждого пред-
принимателя, директора или руководителя компании волнует один и тот же
вопрос – как обеспечить наиболее выгодную работу своему предприятию.
Любая компания от стартапов до крупных холдингов будет стремиться к
минимизации затрат и повышению эффективности работы своего проек-
та. Экономический аспект всегда остается в приоритете при выборе стратегии
развития компании и ее реализации, но как осуществить ту самую экономи-
чески выгодную политику? Здесь нам в помощь приходит математика!
Функция затрат C(w,y) = это минимальные затраты на выпуск y единиц
производимого товара при ценах факторов производства w=(w
1
,...,w
n
).
Минимизация затрат через математику выражается следующим обра-
зом:
C(w,y) = min
x
n
∑
i=1
w
i
x
i
(1)
при f(x) = y
Однопродуктовая модель производства. f является производственной функ-
цией, w=(w
1
,...,w
n
) - цены факторов производства, y - выпуск продукта,а
x=(x
1
,...,x
n
) - затраты факторов.
Свойства функций затрат:
- C(w,y) возрастает по каждой цене w
i
- C(w,y) однородна степени 1 по w
- C(w,y) вогнута по w
- C(w,y) непрерывна по w для w>0
2.2 Лемма Шеппарда
∂C(w,y)
∂w
i
= x
∗
i
(w,y),i = 1,...,n
(2)
9
2.3 Матрица замены
Свойство матрицы замены.
(∂
2
C(w,y)
∂w
i
∂w
j
)
n×n
=
(∂x
∗
i
(w,y)
∂w
j
)
n×n
Симметрична и положительно определена.
2.4 Функция прибыли
Π(p,w) = максимальная прибыль есть функция, зависящая от цен на фак-
торы производства w и цены p на выпускаемый продукт.
Задача максимизации прибыли всегда была приоритетной задачей на
любом производстве. Поэтому, я считаю, очень полезно знать следующую
формулу
Π(p,w) ≡ max
x
(
pf(x) −
n
∑
i=1
w
i
x
i
)
(3)
где, как говорилось ранее, p - цена единицы выпускаемой продукции. А Π(p,w)
- Функция прибыли.
Функция прибыли в виде превышения выручки над затратами
Π(p,w) ≡ max
y
(py − C(w,y))
(4)
Свойства функций прибыли:
- Π(p,w) возрастает по p
- Π(p,w) однородна степени 1 по (p,w)
- Π(p,w) выпукла по (p,w)
- Π(p,w) непрерывна по (p,w) для w > 0,p > 0
10
2.5 Функции спроса на факторы
Условные функции спроса на факторы
x
∗
i
(w,y) = минимизирующий затраты вариант выбора i-го фактора про-
изводства как функции цен на факторы w и заданного уровня выпуска y.
x
∗
(w,y) является оптимальным вектором x
∗
, решающим задачу (1)
Свойства условных функций спроса на факторы производства
- x
∗
i
(w),y убывает по w
i
- x
∗
i
(w),y однородна степени 0 по w
x
i
(p,w) это максимизирующий прибыль вариант выбора i-го фактора как
функции цены единицы выпускаемой продукции p и цен на факторы произ-
водства w.
x(p,w)
тот вектор x, который является оптимальным решением задачи
(3).
Свойства спроса на факторы производства
- x
i
(p,w) возрастает по w
i
- x
i
(p,w) однородна степени 0 по (p,w)
Перекрёстные ценовые эффекты симметричны:
∂x
i
(p,w)
∂w
j
=
∂x
j
(p,w)
∂w
i
,i.j = 1,...,n
2.6 Функции предложения
Значение функции предложения y(p,w) = f(x(p,w)) является тот объём
выпуска y, который служит решением задачи (4).
(y(p,w) - выпуск, максимизирующий прибыль, является функцией цены
единицы выпуска p и вектора цен на факторы производства w.) Свойства
функции предложения
- y(p,w) возрастает по p.
- y(p,w) однородна степени 0 по (p,w).
11
2.7 Лемма Хотеллинга
Пусть функция прибыли π(p) непрерывно дифференцируема в точке p ∈intP
Тогда
∂π(p)
∂p
k
= y
k
(p)
(5)
Доказательство : Пусть ˜p ∈intP
некоторый вектор цен. Для доказатель-
ства леммы определим две функции от цены k−го блага p
k
.Первая из них
представляет собой прибыль как функцию p
k
при условии, что остальные
цены зафиксированы на уровне ˜p
−k
, т.е.
π
k
(p
k
) = π( ˜p
−k
,p
k
) = π( ˜p
1
,..., ˜
p
k−1
, ˜p
k
, ˜
p
k+1
,..., ˜p
l
)
(6)
Обозначив ˜y = y(˜p),определим вторую функцию как
γ(p
k
) = p
k
˜y
k
=
∑
s=k
˜p
s
˜y
s
(7)
Она является линейной функцией p
k
.
. По определению,π(˜p) = ˜p˜y, а это означает, что π
k
( ˜p
k
) = γ( ˜p
k
). При других
ценах, вообще говоря, ˜y = y(˜p) может не давать максимум прибыли, т. е.
π
k
(p
k
) ≥ γ(p
k
). Таким образом, прямая γ(p
k
) является касательной графика
функции π
k
(p
k
) в точке ˜p
k
.
В точке касания производные совпадают, поэтому
∂π(˜p)
∂p
k
= π
k
( ˜p
k
) = γ ˜p
k
= ˜y
k
,
(8)
что и означает справедливость Леммы.
.
2.8 Уравнение Пу
∂x
i
(p,w)
∂w
k
=
∂x
∗
j
(w,y)
∂w
k
+
∂x
j
(p,w)
∂p
∂y(p,w)
∂w
k
∂y(p,w)
∂p
(9)
j,k = 1,...,n показывает эффекты замены и масштаба при росте цены еди-
ницы фактора производства.
12
3 Эластичность замены в теории производства
3.1 Эластичность замены
Эластичность замены одного фактора на другой между y и x,в предполо-
жении существования конкуренции на рынке факторов производства.
σ
yx
= EL
R
yx
(
y
x
) = −
∂ ln(
y
x
)
∂ ln(
p
2
p
1
)
,f(x,y) = c
(10)
3.2 Теневая эластичность замены
Теневая эластичность замены между факторами i и j.
σ
ij
= −
∂ ln(
C
i
(w,y)
C
j
(w,y)
)
∂ ln(
w
i
w
j
)
,i = j
(11)
y,C и w
k
(при k = i,j) - константы.
Альтернативная форма (11)
σ
ij
=
−
C
ii
(C
i
)
2
+
C
ij
C
i
C
j
−
C
jj
(C
j
)
2
1
w
i
C
i
+
1
w
j
C
j
,i = j
(12)
3.3 Эластичность замены по Аллену-Узаве
Эластичность замены по Аллену-Узаве можно задать формулой :
A
ij
(w,y) =
C(w,y)C
ij
(w,y)
C
i
(w,y)C
j
(w,y)
,i = j
(13)
Если же ε
ij
(w,y) представляет собой перекрёстную эластичность спроса (при
постоянном выпуске), а S
j
(w,y) = p
j
C
j
(w,y)/C(w,y) показывает долю i-го
фактора в общих затратах,то Эластичность замены по Аллену-Узаве зада-
ется :
A
ij
(w,y) =
ε
ij
(w,y)
S
j
(w,y)
,i = j
(14)
13
3.4 Эластичность замены по Моришиме
Эластичность замены по Моришиме задаётся формулой :
M
ij
(w,y) =
w
i
C
ij
(w,y)
C
j
(w,y)
−
w
i
C
ii
(w,y)
C
i
(w,y)
= ε
ij
(w,y) − ε
ii
(w,y),i = j
(15)
Симметрия эластичности замены по Моришиме :
Если n > 2, то M
ij
(w,y) = M
ji
(w,y) для всех i = j тогда и только тогда,
когда все M
ij
(w,y) равны одной и той же константе.
14
4 Специальные формы производственных функций и
их свойства
4.1 Функция Кобба-Дугласа
Первый успешный опыт построения производственной функции, как уравне-
ния регрессии на базе статистических данных, был получен американскими
учеными - математиком Д. Коббом и экономистом П. Дугласом в 1928 году.
Предложенная ими функция изначально имела вид:
Y = αK
α
L
1−α
f(x
1
,x
2
)
(16)
f(x
1
,x
2
) = ax
a
1
1
x
a
2
2
,a
1
+ a
2
= 1
Где Y - объем выпуска, K - величина производственных фондов (капитал),
L - затраты труда, a > 0,α > 0 - числовые параметры (масштабное число и
показатель эластичности). Благодаря своей простоте и рациональности, эта
функция широко применяется до сих пор, и получила дальнейшие обобщения
в различных направлениях.
Для многофакторного производства функция Кобба-Дугласа имеет
вид:
y = Ax
a
1
1
x
a
2
2
· · · x
a
n
n
(17)
4.2 Свойства Функции Кобба-Дугласа
Функция Кобба-Дугласа в (17) является :
- однородной степени a
1
+ · · ·a
n
,
- квазивогнутой для всех a
1
,· · ·a
n
,
- вогнутой, если a
1
+ · · ·a
n
≤ 1,
- строго вогнутой, если a
1
+ · · ·a
n
< 1.
15
4.3 Другие специальные формы производственных функций
Условные функции спроса, где s = a
1
+ · · · + a
n
.
x
∗
k
(w,y) = A
−
1
s
(
a
k
w
k
)(
w
1
a
1
)
a
1
s
· · · (
w
n
a
n
)
an
s
y
1
s
(18)
Функции спроса на факторы, где s = a
1
+ · · · + a
n
< 1.
x
k
(p,w) =
a
k
w
k
(pA)
1
1−s
(
w
1
a
1
)
a
1
s−1
· · · (
w
n
a
n
)
an
s−1
(19)
Функция затрат, где s = a
1
+ · · · + a
n
.
C(w,y) = sA
−
1
s
(
w
1
a
1
)
a
1
s
· · · (
w
n
a
n
)
an
s
y
1
s
(20)
Доли отдельных факторов в общих затратах.
w
k
x
∗
k
C(w,y)
=
a
k
a
1
+ · · · + a
n
(21)
Функция прибыли, где s = a
1
+ · · · + a
n
< 1
π(p,w) = (1 − s)(pA)
1
1−s
n
∏
i=1
(
w
i
a
i
)
a
i
1−s
(22)
4.4 Функция CES с постоянной эластичностью замены
Функцию с постоянной эластичностью замены называют Функция CES -
от англ "constant elasticity substitution".
Функция CES, определённая при x
i
> 0,i = 1,...,n.a
1
,...,a
n
положи-
тельны, e = 0,s > 0.
y = ((a
1
x
1
)
e
+ (a
2
x
2
)
e
+ · · · + (a
n
x
n
)
e
)
s
e
(23)
4.5 Свойства Функции CES с постоянной эластичностью замены
Функция CES в (23) является :
- однородной степени s,
16
- вогнутой при e ≤ 1,s ∈ (0,1],
- квазивогнутой при e ≤ 1,s > 1,
- квазивыпуклой при e ≥ 1,s ∈ (0,1],
- выпуклой при e ≥ 1,s > 1,
4.6 Другие Функция CES с постоянной эластичностью замены
Условные функции спроса, где r = e/(e − 1).
x
∗
k
(w,y) =
y
1
s
w
r−1
k
a
r
k
[(
w
1
a
1
)
r
+ · · · + (
w
n
a
n
)
r
]
−
1
e
(24)
Функция затрат, где r = e/(e − 1).
C(w,y) = y
1
s
[(
w
1
a
1
)
r
+ · · · + (
w
n
a
n
)
r
]
1
r
(25)
Доля отдельных факторов в общих затратах.
w
k
x
∗
k
C(w,y)
=
(
w
k
a
k
)
r
(
w
1
a
1
)
r
+ · · · + (
w
n
a
n
)
r
(26)
4.7 Закон минимума
Когда a
1
= · · · = a
n
= 0, эта функция называется функцией Леонтьева, или
ункцией спроса с постоянными коэффициентами.
y = min(a
1
+ b
1
x
1
,...,a
n
+ b
n
x
n
)
(27)
Условные функции спроса на факторы.
x
∗
k
(w,y) =
y − a
k
b
k
,k = 1,...,n
(28)
Функция затрат.
C(w,y) = (
y − a
1
b
1
)w
1
+ · · · + (
y − a
n
b
n
)w
n
(29)
17
4.8 Функция затрат Дьюверта(обобщённая функция затрат Леон-
тьева)
C(w,y) = y
n
∑
i,j=1
b
ij
√
w
i
w
j
(30)
Условные функции спроса на факторы.
x
∗
k
(w,y) = y
n
∑
j=1
b
kj
√
w
k
/w
j
(31)
4.9 Транслогарифмическая функция затрат
a
ij
= a
ji
при всех i и j. Ограничения на коэффициент гарантируют однород-
ность степени 1 для C(w,y).
lnC(w,y) = a
0
+c
1
lny+
n
∑
i=1
a
i
lnw
i
+
1
2
n
∑
i,j=1
a
ij
lnw
i
lnw
j
+
n
∑
i=1
b
i
lnw
i
lny (32)
Ограничения :
n
∑
i=1
a
i
= 1,
n
∑
i=1
b
i
= 0,
n
∑
j=1
a
ij
=
n
∑
i=1
a
ij
= 0
Доля отдельных факторов в общих затратах.
w
k
x
∗
k
C
(w,y) = a
k
+
n
∑
j=1
a
kj
lnw
j
+ b
i
lny
(33)
18
Список литературы
[1] Гукасьян Г.М.Экономика от А до Я: Тематический справочник, 2007 г.
[2] К. Сюдсетер, A. Стрем, П. Берк Справочник по математике для эконо-
мистов
[3] Данилова Н.Н. "Курс математической экономики"
(объем 24,5 п.л., 445 стр). 2002 г.
[4] И. М. Виноградов, Математическая энциклопедия.
М.: Советская энциклопедия.1977-1985 г.
[5] Дж. Блэк. Экономика. Толковый словарь.
М.: "ИНФРА-М", Издательство "Весь Мир". 2000.
[6] Cвободная интернет-энциклопедия Википедия.
19
Информация о работе Свойства функций затрат и прибыли