Сплайн-интерполяция

Замечания.

1. Данный метод называется методом скалярной прогонки, так как при решении задачи на каждом i-ом шаге определяется скалярная величина  x_i (i= ).
2. Аналогичный подход используется для решения систем линейных алгебраических уравнений с пятидиагональными матрицами.
3. Алгоритм метода прогонки называется корректным, если для все

(i= )  , и если устойчивым, если |Р_i|<1, (i= ).

4. Достаточным условием коррекности и устойчивости прогонки является условие преобладания диагональных элементов в матрице А, в матрице a_i ≠ 0 и γ_i ≠ (i= ):

 

 

 

 

 

 

 

4.   Численный пример.

1. Равномерная сетка.

Пусть дана равномерная сетка, со значениями функции в точках.

Хi	F(xi)	ΔF(xi)	h
0	0	0.10017	0.05
0.05	0.10017	0.10117
0.1	0.20134	0.10318
0.15	0.30452

 

Мы так  же сразу можем найти ΔF(x_i), так как в дальнейших вычислениях эти данные нам пригодятся. ΔF(x_i) находится по формуле:

 

И найдем шаг сетки h. Шаг находится по формуле:

 

Запишем систему для внутренних узлов:

 

 

Так как  h = const, для нахождения значения выбираются формулы:

 

 

Подставляем в эти формулы данные с таблицы, и получаем следующие значения , .

 

 

 

 

 

Получается  система:

 

 

 

 

Далее эту  систему мы будем решать методом  прогонки (см. п. 1.2).

По методу прогонки нам надо вычислить:

; ; по формулам :

;  , где .

Найденные значения P: P₁ = 0; Р₂ = -0,25; Р₃ = -0,2667.

Найденные значения Q: Q₁ = 1.00169; Q₂ = 0.349578; Q₃= 1.193179; Q₄= 1.208.

Для получения  нужных значений для нахождения сплайна  используем обратный ход, по формулам:

 

.

Получаем  значения:  M₁ = 1.00169; M₂ = 0.131816; M₃ = 0.871046; M₄ = 1.208.

Все значения нам известны. Можно приступить к нахождения сплайна.

 

 

Для нахождения сплайна нам понадобится формула:

Где  h_i+1 =  x_i+1- x_i,  Δf_i  = f_i+1 - f_i , Δm_i = m_i+1 – m_i , i=0,1,2,3.

 

 

 Нам  нужно найти значение сплайна  в двух точках Х₁ = 0,06 и Х₂ = 0,11. Чтобы знать в какой из сплайнов подставлять Х, надо подставить в промежутки. Х₁ подходит для второго уравнения, Х₂ подходит для третьего. Подставляя Х мы находим значение сплайна в нужном Х.

Подставив 0,06 во второй сплайн, а 0,11в третий сплайн, нашли значение сплайнов, и они  равны:

S_3,1(0.06) = 0.120318, S_3,2 (0.11) = 0.221774

 

 

 

2. Неравномерная сетка.

Пусть дана неравномерная сетка, со значениями функции в точках Х.

I	Xi	F(Xi)	Δ F(Xi)	Hi
0	0.1	1.1052	0.0566	0.05
1	0.15	1.1618	0.0474	0.04
2	0.19	1.2092	0.0748	0.06
3	0.25	1.284

 

Δ F(X_i) = F(X_i+1) - F(X_i), h_i = h_i+1 – h_i , i=0,1,2,3.

Запишем систему для внутренних узлов:

 

 

Так как  h = var , для нахождения значения выбираются формулы:

 

 

 

Получается  система из 4х уравнений, подставим известные нам значения:

 

 

 

 

 

 

Эту систему  можно решить методом Гаусса:

20	-45	25	0	0
0,00833333	0,03	0,006667	0	0,053
0	0,006667	0,033333	0,01	0,061667
0	25	-8,33333	16,66667	0

 

1	-2,25	1,25	0	0
0	0,04875	-0,00375	0	0,053
0	0,006667	0,033333	0,01	0,061667
0	25	-8,33333	16,66667	0

 

1	-2,25	1,25	0	0
0	1	-0,07692	0	1,087179
0	0	0,033846	0,01	0,054419
0	0	-6,41026	16,66667	-27,1795

 

1	-2,25	1,25	0	0
0	1	-0,07692	0	1,087179
0	0	1	0,295455	1,607828
0	0	0	18,56061	-16,8729

 

1	-2,25	1,25	0	0
0	1	-0,07692	0	1,087179
0	0	1	0,295455	1,607828
0	0	0	1	-0,90907

 

По обратному  ходу найдем искомые M_i :

M₁ = 0.425397; M₂ = 1.231519; M₃ = 1.876417; M₄ = -0.90907;

Найдем ΔM_i = M_i+1 – M_i . M₁ = 0.806122; M₂ = 0.644898; M₃ = -2.78549.

Все значения нам известны. Можно приступить к нахождения сплайна.

Для нахождения сплайна нам понадобится формула:

Где  h_i+1 =  x_i+1- x_i,  Δf_i  = f_i+1 - f_i , Δm_i = m_i+1 – m_i , i=0,1,2,3.

 

 

 

 

 

Нам нужно  найти значение сплайна в двух точках Х₁ = 0,2 и Х₂ = 0,17. Чтобы знать в какой из сплайнов подставлять Х, надо подставить в промежутки. Х₁ подходит для второго уравнения, Х₂ подходит для третьего. Подставляя Х мы находим значение сплайна в нужном Х.

Подставив 0,17 во второй сплайн, а 0,2в третий сплайн, нашли значение сплайнов, и они  равны:

S_3,1(0.17) = 1.185168, S_3,2 (0.2) = 1.221476.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава II. Практическая реализация интерполирования кубическим сплайном

1. Реализация в С++.

Программа реализована с помощью трёх основных функций – В главной функции void main() реализована основная часть программы. Здесь хранится условие, по какому из методов будет решаться сплайн:

void main()

{

 clrscr();

 int ch;

 cout<<"Viberi setky:"<<endl;

 cout<<"1. Ravnomernaja"<<endl;

 cout<<"2.Neravnomernaja"<<endl;

 cin>>ch;

 if(ch==1) ravn();

 if(ch==2)neravn();

 cout<<"\n Vihod!";

   getch();

}

 

Функция void neravn() и void ravn(). Предназначены для вычисления всех необходимых данных для нахождения сплайна. К примеру часть программы которая вычисляет сплайн выглядит так :

cout<<"\n Vvedite zna4enie X - "<<endl;

   cin>>ot;

   if(ot>=x[0] && ot<x[1])

{

s3[0]=((1.0/h)*dfx[0]-(h/2)*ix[1]-(h/6)*dm[1])*(otx[0])+(ix[1]/2)*(pow(ot--x[0],2)) ;

s3[0]=s3[0]+(1.0/(6.0*h)*dm[1]*pow(ot-x[0],3)   ) ;

 s3[0]+=fx[0];

 cout<<"\n S3[0] = "<<s3[0];     }

 

  if(ot>=x[1] && ot<x[2])

{

s3[1]=((1.0/h)*dfx[1]-(h/2)*ix[2]-(h/6)*dm[2])*(ot-x[1])+(ix[2]/2)*(pow(ot--x[0],2)) ;

s3[1]=s3[1]+(1.0/(6.0*h)*dm[2]*pow(ot-x[1],3)   ) ;

s3[1]+=fx[1];

cout<<"\n S3[1] = "<<s3[1];  }

 

  if(ot>=x[2] && ot<x[3])

{

s3[2]=((1.0/h)*dfx[2]-(h/2)*ix[3]-(h/6)*dm[3])*(ot-x[2])+(ix[3]/2)*(pow(ot-x[1],2)) ;

s3[2]=s3[2]+(1.0/(6.0*h)*dm[2]*pow(ot-x[2],3)   ) ;

 s3[2]+=fx[2];

 cout<<"\n S3[2] = "<<s3[2]; }

 

2. Реализация в Exel.

Для вычисления интерполяционного сплайна требуется знать значения X и Y, которые будут записаны в сетку. В данном пакете реализованы вычисления как по равномерной сетке, так и по неравномерной сетке.

1.Равномерная сетка.

 

 

 

 

 

 

 

2.Неравномерная сетка.

 

 

 

 

 

3. Реализация в MathCad.

Для вычисления интерполяционного сплайна в  редакторе MathCad существует спефиальная функция.

-vx и vy, содержащие координаты x и y, через которые нужно провести кубический сплайн.

- vs := cspline( vx, vy). Вектор vs содержит вторые производные интерполяционной кривой в рассматриваемых точках. функция  cspline генерирует кривую сплайна, которая может быть кубическим полиномом в граничных точках.

- Чтобы найти  интерполируемое значение в произвольной  точке, скажем x0, вычислите interp(vs, vx,vy, x0), где vs, vx и vy — векторы, описанные ранее.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4 Сравнение полученных результатов.

Решая  данный интерполяционный сплайн   в Excel, C++, MathCad можно сделать вывод, что наиболее точными из трех вышеприведенных программ является  Excel. Погрешность незначительная, но всё же она есть (5-го знак после запятой).

Результаты вычислений в С++ по равномерной сетке:

 

Результаты вычислений в С++ по неравномерной сетке:

 

 

 

 

 

 

 

Результаты вычислений в MathCad:

Неравномерная сетка.

Равномерная сетка:

 

 

Результаты вычислений в Exсel:

 

Равномерная сетка:

 

  Неравномерная сетка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5 Блок-схема программной  реализации сплайн интерполяции.

 

Начало

Ввод: X_i,F(X_i)