Статистическая обработка результатов измерений. Корреляционный анализ

б) находим размах варьирования 𝜔=х_max-x_min

0,56 – 0,020 = 0,036

 

По формуле h= 𝜔/1, где 1 – число интервалов, вычисляем длину частичного интервала h=0,036/9=0,004.

В качестве границы первого интервала  можно выбрать значение x_min. Тогда границы следующих частичных интервалов вычисляем по формуле x_min +dh, d=1,l. Находим середины интервалов x'_i=(x_i+x_i+1)/2. Подсчитываем число значений результатов эксперимента, попавших в каждый интервал, т.е. находим частоты интервалов n_i. Далее вычисляем относительные частоты W_i=n_i/n (n=100) и их плотности W_i/h. Все полученные результаты помещаем в таблицу №2.

 

номер частичного интервала li	Границы интервала xi -xi+1	Середина интервала  х’i=(xi +xi+1)/2	частота интервала ni	относительная частота Wi	плотность относительной  частоты Wi/h.
1	0,020-0,024	0,022	9	0,09	22,5
2	0,024-0,028	0,026	11	0,11	27,5
3	0,028-0,032	0,03	12	0,12	30
4	0,032-0,036	0,034	13	0,13	32,5
5	0,036-0,040	0,038	16	0,16	40
6	0,040-0,044	0,042	11	0,11	27,5
7	0,044-0,048	0,046	10	0,1	25
8	0,048-0,052	0,05	10	0,1	25
9	0,052-0,056	0,054	8	0,08	20
∑	_	_	100	_	_

 

в) Строим полигон частот и гистограмму относительных частот

(рис. 1,2 соответственно, масштабы на осях берём разные).

Находим значение эмперической функции распределения F*(x)=n_x/n

 

F(0,020)	0
F(0,024)	0,09
F(0,028)	0,19
F(0,032)	0,31
F(0,036)	0,44
F(0,040)	0,6
F(0,044)	0,71
F(0,048)	0,82
F(0,052)	0,92
F(0,056)	1

 

Рис.1

 

 

Рис.2

 

Рис.3

 

Строим график эмпирической функции  распределения (рис. 3)

Таблица 3.

mi	Границы интервала xi ;xi+1	Середина интервала  х’i	частота интервала ni	ni*х’i	(х’i)2	ni*(х’i)2
1	0,020-0,024	0,022	9	0,198	0,000484	0,004356
2	0,024-0,028	0,026	11	0,286	0,000676	0,007436
3	0,028-0,032	0,03	12	0,36	0,0009	0,0108
4	0,032-0,036	0,034	13	0,442	0,001156	0,015028
5	0,036-0,040	0,038	16	0,608	0,001444	0,023104
6	0,040-0,044	0,042	11	0,462	0,001764	0,019404
7	0,044-0,048	0,046	10	0,46	0,002116	0,02116
8	0,048-0,52	0,05	10	0,5	0,0025	0,025
9	0,052-0,056	0,054	8	0,432	0,002916	0,023328
∑	_	_	100	3,748	_	0,149616

 

 

г) Находим выборочное среднее

                    x= ;

и выборочную дисперсию

D_в= = .

 

Получаем:

 

X= 0,03748                      σ = 0,0096

 

 

 

D₌ 0,0000921

 

 

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, а исправленная дисперсия – несмещённой оценкой

D͂_в= ; D͂_в = 0,00093

σ͂_в = = 0,0305

д) Согласно критерию Пирсона, необходимо сравнить эмпирические и теоретические частоты. Эмпирические частоты даны. Найдём теоретические частоты. Для этого пронумеруем Х, т.е. перейдём к СВ z=(x-x)/ σ_в и вычислим концы интервалов: z_i=(x_i-x)/ σ_в; z_i+1=(x_i+1-x)/ σ_в;  причём наименьшее значение z, т.е. z₁, положим стремящимся к –∞, а наибольшее, т.е. z_m+1 ,– к +∞. Результаты занесём в таблицу (табл. 4). Так как n₁=3<5, то первый интервал объединяем со вторым и получаем интервал (0,02;0,024) с частотой n₁=11. Далее объединим восьмой и девятый интервалы, получим интервал ( 0,052; 0,056) с частотой n₇=12

Таблица 4.

 

i	Границы интервала xi; xi+1		xi-x	xi+1-x	Границы интервала (zi; zi+1)
	xi	xi+1			zi=(xi-x)/σв	zi+1=(xi+1-x)/σв
1	0,02	0,024		-0,01348		-1,40
2	0,024	0,028	-0,01348	-0,00948	-1,40	-0,99
3	0,028	0,032	-0,00948	-0,00548	-0,99	-0,57
4	0,032	0,036	-0,00548	-0,00148	-0,57	-0,15
5	0,036	0,04	-0,00148	0,00252	-0,15	0,26
6	0,04	0,044	0,00252	0,00652	0,26	0,68
7	0,044	0,048	0,00652	0,01052	0,68	1,10
8	0,048	0,052	0,01052	0,01452	1,10	1,51
9	0,052	0,056	0,01452		1,51

 

Находим теоретические вероятности  Р_i и теоретические частоты

n’_i =nP_i=100P_i. Составляем расчётную таблицу (табл. 5).

Табл.5

i	Границы интервала zi; zi+1		Ф( zi)	Ф( zi+1)	Pi =Ф( zi+1)-Ф( zi)	n'i=100Pi
	zi	zi+1
1		-1,40	-0,5	-0,4192	0,0808	8,08
2	-1,40	-0,99	-0,4192	-0,3389	0,0803	8,03
3	-0,99	-0,57	-0,3389	-0,2157	0,1232	12,32
4	-0,57	-0,15	-0,2157	-0,0596	0,1561	15,61
5	-0,15	0,26	-0,0596	0,1026	0,1622	16,22
6	0,26	0,68	0,1026	0,2517	0,1491	14,91
7	0,68	1,10	0,2517	0,3643	0,1126	11,26
8	1,10	1,51	0,3643	0,4345	0,0702	7,02
9	1,51		0,4345	0,5	0,0655	6,55
∑					1	100

 

 

Вычислим наблюдаемое критерия Пирсона. Для этого составим расчётную таблицу (табл.6). Последние два столбца служат для контроля вычислений по формуле

.

Таблица 6.

i	ni	n'i	ni-n'i	(ni-n'i)	(ni-n'i) /n'i	n i	n i/n'i
1	8	8,08	-0,08	0,0064	0,0008	64	7,9208
2	11	8,03	2,97	8,8209	1,0985	121	15,0685
3	12	12,32	-0,32	0,1024	0,0083	144	11,6883
4	13	15,61	-2,61	6,8121	0,4364	169	10,8264
5	16	16,22	-0,22	0,0484	0,0030	256	15,7830
6	11	14,91	-3,91	15,2881	1,0254	121	8,1154
7	11	11,26	-0,26	0,0676	0,0060	121	10,7460
8	10	7,02	2,98	8,8804	1,2650	100	14,2450
9	8	6,55	1,45	2,1025	0,3210	64	9,7710
Σ	100	100			4,1643		104,1643

 

 

Контроль: - n = =104,1643-100=4,8021

По таблице критических точек  распределения χ², уровню значимости α=0,025 и числу степени k=l-3=9-3=6 находим χ_кр²=14,4.