Теория Галуа

,

Обладающая  этим свойством система элементов  a₁ ...,а_п называется базисом поля К над полем Р.

    К понятию конечного расширения можно  подойти и с другой стороны, заметив, что любое расширение L поля Р можно рассматривать как линейное пространство над полем Р. Действительно, элементы поля K можно складывать и умножать на элементы поля Р, причем обе операции (сложение и умножение на элементы поля Р), очевидно, обладают всеми необходимыми свойствами. С этой точки зрении расширение К тогда и только тогда конечно, когда оно имеет конечную размерность (как линейное пространство над полем Р), а система элементов тогда и только тогда является его базисом (в только что определенном смысле), когда она является его базисом в смысле теории линейных пространств. Так как все базисы конечномерного линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов, то, в частности, все базисы поля К над полем Р состоят из одного и того же числа элементов. Это число называется степенью поля К над полем Р и обозначается через [К:Р] (с точки зрения теории линейных пространств степень поля К—это его размерность как линейного пространства над полем Р).

    Пусть Р— произвольное поле (числовое) и - произвольные числа (т. е. элементы поля С). Рассмотрим всевозможные поля, являющиеся расширениями поля Р и содержащие числа . Такие поля существуют, ибо, например, к их числу принадлежит поле С всех комплексных чисел. Пересечение всех этих полей также является полем. Это пересечение является, очевидно, минимальным расширением поля Р, содержащим числа (минимальность означает, что это пересечение является подполем любого другого, содержащего числа , расширения поля Р).

    Это минимальное расширение обозначается через Р и называется расширением, порожденным числами .

    Очевидно, что P() = Р тогда и только тогда, когда .

    Число α называется алгебраическим над полем Р, если оно является корнем некоторого (не равного тождественно нулю) многочлена с коэффициентами из поля Р. Любой элемент поля Р, очевидно, алгебраичен над этим полем (если верно и обратное, т. е. если любое алгебраическое над полем Р число принадлежит этому полю, то Р называется   алгебраически замкнутым полем). Очевидно, далее, что любое число, алгебраическое над полем Р, является алгебраическим числом и над любым расширением поля Р. Подчеркнем, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Например, любое комплексное число является алгебраическим над полем D действительных чисел (ибо оно является корнем квадратного трехчлена с действительными коэффициентами), тогда как существуют числа (даже действительные), не алгебраические над полем R рациональных чисел. В качестве примера неалгебраических над полем R чисел (трансцендентных чисел) можно указать известные числа е и , неалгебраичность которых доказывается в полных курсах теории чисел.

    Впервые понятие трансцендентного числа  ввёл Ж. Лиувилль в 1844 году, когда доказал  теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью. В 1873 году Ш. Эрмит доказал трансцендентность числа e (основания натуральных логарифмов).В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа  и неразрешимость задачи квадратуры круга.

    (Гельфонд  А.О. Трансцендентные и алгебраические числа)

  Расширение  К поля Р называется алгебраически порожденным, если оно порождается некоторой конечной системой   алгебраических   над  полем  Р  чисел,  т. е. если существуют такие алгебраические над полем Р числа ,что K=P(). Если, в частности s = 1, то поле К = Р() называется простым алгебраическим расширением поля Р.

  Расширение  К поля Р называется составным алгебраическим расширением, если существует такая цепочка подполей 

Начинающийся  с поля Р и кончающаяся полем  К, что для любого i=1,…,s поле является простым алгебраическим расширением поля . Если то поле К обозначается через Р Подчеркнем, что алгебраичность чисел над полем Р не предполагается.

    Наконец, расширение К поля Р называется алгебраическим, если любой его элемент является числом алгебраическим над полем Р.

(М.М.Постников. Теория Галуа) 

§ 4. Алгебраичность конечных расширений. Строение составных алгебраических расширений

    Пусть произвольный элемент конечного расширения К поля Р, и пусть [К:Р]=n.  Так как в n-мерном линейном пространстве любые n+1 векторов линейно зависимы, то, в частности, элементы 1, линейно зависимы над полем Р, то есть в Р существуют такие числа , среди которых хотя бы одно не равно нулю, что

    =0.

    Это означает, что число  служит корнем многочлена  

и, следовательно, является алгебраическим (над полем  Р) числом. Тем самым доказано, что

    любое конечное расширение алгебраично.

    Кроме того, получаем, что

    степень над полем Р  любого элемента конечного  расширения К поля Р не превосходит  степени n этого расширения.

    Пусть теперь – базис поля К над полем Р. Так как числа являются алгебраическими числами (над Р), то порожденное ими расширение Р( является алгебраически порожденным расширением. В силу минимальности этого расширения оно содержится в поле К:

    Р(.

    С другой стороны, так как из Р( следует, что для любых чисел , то любой элемент поля К содержится в поле Р(, то есть

    К⊂ Р(.

    Следовательно, К= Р(.

    Таким образом,

    любое конечное расширение является алгебраически  порожденным. 

    Пусть составное алгебраическое расширение поля Р. Оказывается, что любой элемент поля К выражается в виде многочлена (над Р) от , т. е. для любого элементасуществует над полем Р такой многочлен  g(x_{1, …,} x_s)  от  s  неизвестных х₁, ..., x_s, что

.

    Мы  докажем это утверждение индукцией  по s. Если s=l, то К = Р, и, следовательно, в этом случае теорема справедлива. Предполагая теперь, что теорема уже доказана для поля , рассмотрим произвольный элемент .  Так как К = L (_s),  то над полем L существует такой многочлен h (х), что . Пусть

, где 

     По  предположению индукции для любого найдется такой многочлен от s-1 неизвестных, что 

Следовательно, полагая 

мы получим, что 

Тем самым  наше утверждение полностью доказано.

  Рассмотрим  теперь произвольное алгебраически  порожденное расширение P поля Р и определим по индукции поля L₀,L_1,…L_s, полагая

.

      Так как для любого i=1,…,s число , алгебраическое над полем Р, алгебраично и над его расширением , то поле L_i является простым алгебраическим расширением поля и, следовательно, поле L_s — составным алгебраическим расширением поля Р. Поэтому, согласно только что доказанному утверждению, любой элемент поля L_s выражается в виде многочлена (над Р) от a_1,…,a_s и, следовательно, принадлежит полю Р (а_1,…,a_s). Иначе говоря,

⊂

    С другой стороны, поле L_s содержит все числа и, в силу минимальности расширения Р(),

P⊂

    Следовательно,

    Ибо .

    Таким образом, любое алгебраически порожденное расширение является составным алгебраическим расширением.

    В частности, тем самым доказано, что  любой элемент алгебраически порожденного расширения выражается в виде многочлена над полем Р от элементов

(М.М.Постников. Теория Галуа) 

  § 5. Основная теорема о симметрических многочленах

  Среди многочленов от нескольких переменных неизвестных выделяют те, которые  не меняются ни при какой перестановке неизвестных. В такие многочлены все неизвестные входят, следовательно, вполне симметричным образом, и поэтому эти многочлены называются симметрическими многочленами.

  Следующие n симметрических многочленов от n неизвестных называются элементарными симметрическими многочленами 

    Всякий  симметрический многочлен  от неизвестных  над полем Р является многочленом от элементарных симметрических многочленов с коэффициентами, принадлежащими к полю Р.

    Пусть дан симметрический многочлен  и пусть в его лексикографической записи высшим будет член

              (2)

    Показатели  при неизвестных в этом члене  должны удовлетворять неравенствам

              (3)

    Действительно, пусть при некотором i будет . Многочлен   , будучи симметрическим, должен содержать, однако, член     (4)

получающийся  из члена (2) транспозицией неизвестных  и . Это приводит нас к противоречию, так как член (4) в смысле лексикографического расположения выше члена (2): показатели при в обоих членах совпадают, но показатель при в члене (4) больше, чем в члене (2).

    Возьмем теперь следующее произведение элементарных симметрических многочленов (ввиду неравенств (3) все показатели будут неотрицательными):

      (5)

    Это будет симметрический многочлен  от неизвестных , причем его высший член равен члену (2). Действительно,  высшие члены многочленов равны соответственно , а так как высший член произведения двух многочленов от n неизвестных равен произведению высших членов сомножителей, то высшим членом многочлена будет 

    Отсюда  следует, что при вычитании из f высшие члены этих многочленов взаимно уничтожатся, то есть высший член симметрического многочлена  f- = будет ниже члена (2), высшего в многочлене f. Повторяя для многочлена коэффициенты которого принадлежат к полю Р, этот же прием, мы придем к равенству , где есть произведение степеней элементарных симметрических многочленов с некоторым коэффициентом из поля Р, а - симметрический многочлен, высший член которого ниже, чем высший член в . Отсюда вытекает равенство .

    Продолжая этот процесс, мы для некоторого s получим и поэтому придем к выражению для f в виде многочлена от    с коэффициентами из Р: 

    В самом деле, если бы этот процесс был бесконечным, то мы получили бы бесконечную последовательность симметрических многочленов

      (6)

    cледует учесть, что многочлен содержит, вообще говоря, и такие члены, каких нет в многочлене  и поэтому переход от   к - связан не только с уничтожением некоторых членов из  , но и с появлением новых членов. Здесь s=1,2,… Причем высший член каждого из них был бы ниже, чем высшие члены предшествующих многочленов, и тем более ниже, чем (2). Однако, если

      (7) 

есть высший член многочлена , то из симметричности этого многочлена следует неравенства

      (8)

подобные неравенствам (3). С другой стороны, так как член (2) выше члена (7), то

  (9)

    Легко видеть, однако, что системы целых  неотрицательных чисел  удовлетворяющих неравенствам (8) и (9), можно выбрать лишь конечным числом способов. Действительно, если даже отказаться от требования (8) и лишь предполагать, что все i=1,2,…,n не больше , то все равно выбор чисел будет возможен лишь  способами. Отсюда следует, что последовательность многочленов (6) со строго понижающимися высшими членами не может быть бесконечной.

(А.Г.Курош. Курс высшей математики)

    Рассмотрим  некоторые сведения из теории многочленов от n неизвестных.

    Пусть                                     α = 

    - произвольная  подстановка степени n. Любому многочлену g_α(x₁, …, x_n) от n неизвестных над полем Р отнесем с помощью подстановки a многочлен g_a (x₁, …, x_n), определив его формулой g_a ( , …, )= g ( , …, ).

    Очевидно, что 

    g_e=g

    и

    (g_a)_b=g_ab.

    Доказательство:

    Пусть      b=, тогда

    ab=. 

    Общий вид 

    Пусть

    g_ab

    (g_a)_b