Типовая расчётная работа

СОДЕРЖАНИЕ

 

Задание № 1 ……………………………………………………………………...	3
Задание № 2............................................................................................................	9
Задание № 3............................................................................................................	13
Задание № 4………………………………………………………………………	18
Задание № 5………………………………………………………………………	21
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ…………………………..	25

 

 

ЗАДАЧА №1

 

Известны Х1,Х2, …..Хn – результаты  независимых наблюдений над случайной величиной Х.

1. Сгруппировать эти данные  в интервальную таблицу.
2. Построить гистограмму, полигон частот и эмпирическую функцию распределения.
3. Найти несмещенную оценку математического ожидания и дисперсии с.в. Х
4. Найти интервальные оценки математического ожидания и дисперсии с.в. Х с надежностью ŷ=0,9 и ŷ=0,95
5. Выдвинуть гипотезу  об истинном значении параметра А нормального распределения и проверить ее при уровне значимости α=0,05
6. Выдвинуть гипотезу о законе распределения с.в. Х  проверить ее по критерию χ2 (Пирсона) при уровне значимости α=0,05

5	22	70	20	55	24	30	15	17	1
3	33	13	18	11	3	8	9	2	22
9	15	4	8	7	18	26	5	40	23
15	5	35	6	25	15	27	29	19	2
5	21	19	13	1	1	29	12	2	5
3	22	13	21	9	7	21	8	7	16
30	2	5	2	11	31	13	9	3,5	35
7	13	23	37	3,3	4	14	9	10	13
31	9	10	6	9

 

Решение:  1) Объем выборки n=85               Хmax=70

                                                                         Хmin= 1

R-размах                            

R=70 – 1=69

К-количество интервалов

К=1+3,322 lg 85=1+3,322 1,93=7,411

h – шаг интервала  

№	Интервал	ni	Xcp	ni /h	ni /n
1	1 – 10,86	39	5,93	3,96	0,48
2	10,86 – 20,72	22	15,79	2,23	0,25
3	20,72 – 30,58	15	25,65	1,52	0,17
4	30,58 – 40,44	6	35,51	0,61	0,07
5	40,44 – 50,3	2	45,37	0,2	0,02
6	50,3 – 60,16	0	55,23	0	0
7	60,16 – 70	1	65,08	0,1	0,01

 

2)  Полигон частот

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гистограмма частот

 

	0                                               ,если	х ≤ 5,93
	0+0,48	5,93<х≤ 15,79
	0+0,48+0,25	15,79 <х≤25,65
	0+0,48+0,25+0,17	25,65 < х≤ 35,51
F(x) =	0+0,48+0,25+0,17+0,07	35,51 < х≤45,37
	0+0,48+0,25+0,17+0,07+0,02	45,37 < х≤55,23
	0+0,48+0,25+0,17+0,07+0,02+0+0,01	55,23 < х≤65,08
	1	65,08>х

 

Эмпирическая функция распределения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

(5,6,7 интервал объединили в 5 . (40,44 – 70), = 3,  Xcp = 55,22)

Xв =(5,93 39+15,79 22+25,65 15+35,51 6+55,22 3) 15,79

Dв=S2=∑x2i

(Хв)2

Dв =(1371,43+5485,13+9868,84+7565,76+3247,75) – (15,37)2=322,81–

– 249,32 =74,37

S2несм =

S2несм

Sнесм = = 8,68

4)                                 

=0,9           (по прил.2 Гмурмана)

15,79 - 1,65 (8,62/9,22) < a <15,79 +1,65 (8,62/9,22)

 14,239 < a < 17,341

=0,95           (по прил.2 Гмурмана)

15,79 -1,96(8,62/9,22)< a < 15,79 +1,96(8,62/9,22)

13,95 < a < 17,63

при q<1

при q>1

q (0, 9; 85)       q=0,156 (по прил.4 Гмурмана)

8,62 (1- 0,156) < G < 8,62 (1 + 0,156)

7,28 <G < 9,97

q (0,95 ;85)       q=0,218 (по прил.4 Гмурмана)

8,62 (1 - 0,218) < G < 8,62 (1 + 0,218)

6,74 < G < 10,5

5)                  

 

G=8,62

Α=0,05

n=85

Xв=15,79

Н0: а=15

Н1: а≠15

Uнабл = (15,79 - 15) /8,62 = 0,85

(Uкрит) = 1-0,05/2 = 0,475

 Uкрит <   Uнабл , следовательно отвергаем гипотезу Н0  (это значит, что а≠15).

6)              

               = )

Н0:нормальное распределение

Н1: распределение неизвестно

и по прил.2 Гмурмана

i	Нормированный левый конец Zi	Нормированный правый конец Zi+1				nIi=Pi n
1	- 1,72	-0,57	-0,4573	-0,2157	0,24	20,4
2	- 0,57	0,57	-0,2157	0,2157	0,43	36,55
3	0,57	1,72	0,2157	0,4573	0,24	20,4
4	1,72	2,86	0,4573	0,4979	0,04	3,4
5	2,86	4	0,4979	0,499968	0,002	0,17
6	4	5,15	0,499968	0,499999	0,00003	0,00255
7	5,15	6,29	0,499999	0,5	0,000001	0,000085

 

 

Для подсчета

i	Частота ni	Частота niI	(ni-niI)2/nIi
1	39	20,4	16,96
2	22	36,55	5,79
3	15	20,4	1,43
4	6	3,4	1,99
5	2	0,17	19,7
6	0	0,00255	0,002255
7	1	0,000085	11762,7

                          

=∑(ni-niI)2/nIi

=11808,57

Найдем        , где S -количество интервалов

Α=0,05 (по условию)

К=S-3

K = 7 - 3 = 4

По прил.5 Гмурмана  =(0,05;4) = 9,5

Т.к. >   отвергаем гипотезу Н0, т.е. наша выборка не имеет нормального распределения.

Н0:показательное распределение

Н1: распределение не известно

Вывод: мы сгруппировали эти данные в интервальную таблицу; построили гистограмму, полигон частот и эмпирическую функцию распределения; нашли несмещенную оценку мат. ожидания и дисперсию с. в. Х ; выдвинули гипотезу об истинном параметре А нормального распределения и о законе распределения.

 

 

 

ЗАДАЧА №2

 

Применяя метод наименьших квадратов на основе экспериментальных данных найти эмпирическую форму, выражающую зависимость Y(x). Построить теоритическую зависимость и экспериментальной точки  на одном графике.

х	1	2	3	4	5	7
у	5,2	6,2	4,7	2,7	3,2	1,7

 

Решение:

Линейная функция.

Система

 

Найти функцию y=ax+b , описав зависимость, оценить погрешность, сделать чертежи.

n	x	y	x^2	x*y
1	1	5,2	1	5,2
2	2	6,2	4	12,4
3	3	4,7	9	14,1
4	4	2,7	16	10,8
5	5	3,2	25	16
6	7	1,7	49	11,9
сумма	22	23,7	104	70,4

 

 

Метод Крамера:

∆ =    = 104 * 6 – 22 * 22 = 624 – 484 = 140

∆а = = 70,4 * 6 – 23,7 * 22 = 422,4 – 521,4 = – 99

∆в=   = 104 * 23,7 – 22 * 70,4 = 2464,8 – 1548,8 = 916

A = = - 99 / 140 = - 0,71 ;    b=  = 916 / 140 = 6,54

Тогда функция y = - 0,71 х + 6,54

х	1	4
у	5,83	3,7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим погрешность

n	x	=-0,71 x + 6,54	y
1	1	5,83	5,2	0,3969
2	2	5,12	6,2	1,1664
3	3	4,41	4,7	0,0841
4	4	3,7	2,7	1
5	5	2,99	3,2	0,0441
6	7	1,57	1,7	0,0169
погрешность				2,7084 = E

 

Функция квадратичная

Система :

Найти функцию y=ax^2+bx+c , описав зависимость, оценить погрешность. Сделать чертежи.

n	x	y	x^2	x^3	x^4	x*y	x^2*y
1	1	5,2	1	1	1	5,2	5,2
2	2	6,2	4	8	16	12,4	24,8
3	3	4,2	9	27	81	12,6	37,8
4	4	2,7	16	64	256	10,8	43,2
5	5	3,2	25	125	625	16	80
6	7	1,7	49	343	2401	11,9	83,3
сумма	22	23,7	104	568	3380	68,9	274,3

 

 

 

∆ = = 3380*104*6+568 22*104+104*568*22–104*104*104–

–22*22*3380–6*568*568= 11760