Типовая расчётная работа

∆а == 274,3*104*6+586*22*23,7+104*68,9*22–

–23,7*104*104 –22*22*274,3–6*68,9*568= 1050

∆в = = 3380*68,9*6+274,3*22*104+104*568*23,7–

–104*68,9*104–23,7*22*3380–6*568*274,3= 17472

∆с = = 3380*104*23,7+568*68,9*104+274,3*568*22–

–104*104*274,3–22*68,9*3380–23,7*568*568= 92316

а= = 1050/11760 = 0,09 ;             в = = 17472/11760 =  1,49 ;

с = = 92316/11760 = 7,85.

 

x	-2	-1	0	1	2
y	8,27	7,97	7,85	7,91	8,15

Тогда функция  y = 0,09x^2 – 0,03 + 7,85

xв. = = 0,14 ;    yв. = 7,89

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим погрешность

n	x		y	(
1	1	7,91	5,2	2,71
2	2	8,15	6,2	1,95
3	3	8,57	4,7	3,87
4	4	9,17	2,7	6,47
5	5	9,25	3,2	6,05
6	7	12,05	1,7	10,35
погрешность				31,4 = E

 

Вывод: Применяя метод наименьших квадратов на основе экспериментальных данных нашли эмпирическую форму, выражающую зависимость Y(x). Построили теоритическую зависимость и экспериментальной точки  на одном графике.

ЗАДАЧА №3

Найти: 1) коэффициент корреляции

             2) уравнение регрессии x на y

            3) уравнение регрессии y на x

             4) найти точку пересечения 

             5) по правилу 3G проверить принадлежат ли min и max

             6) проверить гипотезу о значимости  r

	72	104	189	190	49	89	116	336	250
	30	80	100	120	25	27	71	50	69
	205	204	85	204	126	90
	125	120	30	150	80	60

 

Решение:

 

y - )

n	x^2	y^2	x*y	x	y
1	5184	900	2160	72	30
2	10816	6400	8320	104	80
3	35721	10000	18900	189	100
4	36100	14400	22800	190	120
5	2401	625	1225	49	25
6	7921	729	2403	89	27
7	13456	5041	8236	116	71
8	112896	2500	16800	336	50
9	62500	4761	17250	250	69
10	42025	15625	25625	205	125
11	41616	14400	24480	204	120
12	7225	900	2550	85	30
13	41616	22500	30600	204	150
14	15876	6400	180	126	80
15	8100	3600	5400	90	60
	443453	108781	196829	2309	1137

 

 

 

Dв(х) = = 5869.09

Dв(y) = –

G(x) = 76.61

G(y) = 38.81

 

 

  1454.03

 

 

Найдем уравнение регрессии

 

 

 

 

 

x	0	-20	-40
y	37.32	32.32	27.32

 

y - )

y - 153.93 = 0.49*

y – 153.93 = 0.96 ( y - 75.8)

y – 153.93 = 0.96y -72.77

y = 0.96y +81.16

y	0	-10	-20	-40
x	81.16	71.56	61.96	42.76

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем точку пересечения:

 

x = 0.96 ( 0.25x + 37.32) + 81.16

x = 0.24x + 35.82 + 81.16

0.76x = 116.98

x = 153.92

y = 0.25 * 153.92 + 37.32

y = 75.8

M ( 153.92 ; 75.8)

Проверим гипотезу

 

:

 

 

n=15

α=0.05

 

 α;n-2) = (0.05; 13) = 2.16 (по приложению 6 Глурман)

 

Следовательно нет основания отвергать гипотезу , т.е.

значит x и y не взаимосвязаны

для x: (

для у: (

Проверим принадлежат ли min и max этим промежуткам

* Dв(х) = 6288.31

= * Dв(y) = 1614.03

 

 

=49

=336

=25

=150

Для х:  (153,93 – 3*79,3 ; 153,93 + 3*79,3)

             (-83,97 ; 391,83)

(-83,97 ; 391,83)

(-83,97 ; 391,83)

 

Для у: ( 75,8 – 3*40,17 ; 75,8 +3*40,17)

           ( -44,71 ; 196,31)

( -44,71 ; 196,31)

( -44,71 ; 196,31)

Max и min принадлежит к основной генеральной совокупности

Вывод: Нашли коэффициент корреляции , уравнение регрессии x на y, уравнение регрессии y на x. Нашли точку пересечения. По правилу 3G проверили принадлежат ли min и max. Проверили гипотезу о значимости r

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА №4

Проверить гипотезы:

1) О равенстве дисперсий : D(х)=D(y)

                                           

2) О равенстве математических  ожиданий 

                                                                        M(x) ≠ M(y)

 

	35,1	36,4	38,4	42,7	44,2	49,5
	1	1	1	1	1	1

 

	33,2	37,2	39,7	40,1	41,4	52,1
	1	1	1	1	1	1

 

При уровне значимости α=0,02

 

Решение:

 

Найдем характеристики выборки

 

 

=41,05

 

D(x) = -

D(x) = - 41,05 = 24,685

 

 

=* 24,685=29,6

 

 

= 40,6

D(y) = – (

 

D(y) -= 8450,2

 

= * D(y)

= *8450,2=10140

 

=1,2

 α/2 ;

 

 

 

, следовательно нет основания отвергать гипотезу .

 

1.                            

n = 6                                       m = 6

                              

 

 

 

S =

 

S ==71,3

 

 

=0,22

 

 α; n+m-2) = (0,02;10)=2,76 (по приложению 6 Гмурман)

, следовательно нет основания отвергать гипотезу математические ожидания существенно не отличаются.

 

Вывод: Проверили гипотезы о равенстве дисперсий и равенстве математических ожиданий.

 

ЗАДАЧА №5

 

Составить уравнение линии регрессии Y на X , X на Y. Для этого нужно найти выборочный коэффициент корреляции, при α= 0.05 , проверить гипотезу по значимости коэффициента корреляции.

 

X   Y	12	15	18	21	24	27
35	3	3					6
45		5	4				9
55			40	2	8		50
65			5	10	6		21
75				4	7	3	14
	2	8	49	16	21	3	100

 

Решение:

 

 

V   U	-2	-1	0	1	2	3		u	U*v
-2	3	3					6	-9	18
-1		5	4				9	-5	5
0			40	2	8		50	18	0
1			5	10	6		21	22	22
2				4	7	3	14	27	54
	3	8	49	16	21	3	100
V	-6	-11	1	18	20	6
V*U	12	11	0	18	40	18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(из таблицы)

 

 

 

= 0,78

 

 

 

= 19,95

= 57,8

= 10,1

* = 3,06

r xy = rb = 0,78

 

 

 

x	1	0
y	9,024	6,45

 

)

( y – 57,8)

 

 

y	1	0
x	6,664	6,43

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверим гипотезу о значимости коэффициента кореляции

 

 

 

n=100

α=0,05

 

 

 

 α; n-2) = 1,99 (по приложению 6 Гмурмана)

 

, следовательно отвергаем  гипотезу, т.е. , значит Х и У коррелированы, взаимосвязаны.

 

Вывод: Составили уравнение линии регрессии Y на X , X на Y. Для этого нужно нашли выборочный коэффициент корреляции, при α= 0.05 , проверили гипотезу по значимости коэффициента корреляции.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

 

1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / Гмурман В.Е. – М.: Высшая школа, 2001. – 479 с.
2. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории   вероятностей и математической статистике [Текст] / Гмурман В.Е. – М.: Высшая школа, 2000. – 400 с.