Традиционные методические подходы к изучению темы “ Обыкновенные дроби”

Глава I .    Традиционные методические подходы к изучению темы “ Обыкновенные дроби”.

 

1. Из истории возникновения обыкновенных дробей.

      Дроби появились в глубокой древности. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести дроби.

        Древние  египтяне уже знали, как поделить 2 предмета на троих, для этого  числа –2/3- у них был специальный значок. Между прочим, это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица – все остальные дроби непременно имели в числителе      единицу (так называемые основные дроби): 1/2; 1/3; 1/28; … .  Если египтянину нужно было использовать другие дроби, он представлял их в виде суммы основных дробей. Например, вместо 8/15 писали 1/3+1/5.  Иногда это бывало удобно. В папирусе Ахмеса есть задача :                              

 «Разделить 7 хлебов между 8 людьми». Если резать каждый хлеб на 8 частей, придётся провести 49 разрезов.

          А по-египетски  эта задача решалась так:   Дробь    7/8      записывали в виде долей: 1/2+1/4+1/8.      Значит каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезали пополам, два хлеба- на 4 части и один хлеб на 8 долей, после чего каждому дали его часть.

  Но складывать такие дроби  было неудобно. Ведь в оба слагаемых  могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится  дробь вида 2/n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому,   папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в виде суммы долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление чисел. Вот, например, как 5 делили на 21:  

      

 

 

  Умели египтяне также умножать  и делить  дроби. Но для умножения  приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Ещё сложнее обстояло с делением.

          В древнем  Вавилоне предпочитали наоборот, - постоянный знаменатель, равный 60-ти. Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной.  А работать с обыкновенными дробями было уже совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям.

          Интересная  система дробей была в Древнем  Риме. Она основывалась на делении  на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12   пути или прочтено  5/12  книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

Даже сейчас иногда говорят:”Он скрупулёзно изучил этот вопрос.” Это значит, что вопрос изучендо конца, что не одной самой малой неясности  не осталось. А происходит странное слово “скрупулёзно” от римского названия 1/288   асса   -  “скрупулус”. В ходу были и такие названия: ”семис”- половина асса, “секстанс”- шестая его доля, “семиунция”- половина унции, т.е. 1/24   асса и т.д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3  асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию ( 2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.

Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель - снизу, и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.

 

 

 

 

 

 

 

 

  1.2. Арифметические действия с обыкновенными дробями.

       Возьмём отрезок a. Чтобы найти его длину, выберем в качестве единицы длины отрезок е. (рис. 1) При

измерении оказалось, что длина отрезка           е

 а больше 3 е, но меньше 4 е. Поэтому её     е1                

нельзя выразить натуральным числом                                  рис.1      

(при единице длины е). Но если разбить отрезок е на 4 равные части, каждая из которых равна е1, то длина отрезка а окажется равной 14е1. Если же вернуться к первоначальной единице длины е, то мы должны сказать, что отрезок а состоит из 14 отрезков, равных четвёртой части отрезка е, т.е., говоря о длине отрезка а, мы вынуждены оперировать двумя натуральными числами 14 и 4. Условились в такой ситуации длину отрезка записывать в виде     14/4   е, а символ называть дробью.

        В общем  виде понятие дроби определяют  так: пусть даны отрезок а и единичный отрезок е, причём отрезок е является суммой n отрезков, равных е1. Если отрезок а состоит из m отрезков, равных   е1, то его длина может быть представлена в виде     е. Символ     называют дробью, в нём m и n – натуральные   числа.  Читают этот символ “эм энных”.

        Вернёмся к рис.1. Выбранный   отрезок  е1 есть  четвёртая  часть отрезка е. Очевидно, что это не единственный вариант выбора такой доли отрезка е, которая укладывается целое число раз в отрезке а. Можно взять восьмую часть  отрезка е, тогда отрезок а будет состоять из 28 таких долей и его длина будет равна    28/8 е. Можно взять шестнадцатую часть отрезка е, тогда отрезок а будет состоять из 56 таких долей и его длина будет равна    е. Если представить себе этот процесс продолженным неограниченно, получим, что длина отрезка а может быть выражена бесконечным множеством различных дробей: 14/4, 28/8 ,  56/16 ,…

        Вообще, если  при единице длины е длина отрезка а выражается дробью       ,        , то она может быть выражена любой дробью     , где k- натуральное число.

        Определение.    Дроби, выражающие длину одного и того же отрезка при единице длины е, называют равными дробями.

        Если дроби      и    равны, то пишут:     =      .   Например, дроби 14/4 и 28/8 выражают длину одного и того же отрезка при единице длины е, следовательно, 14/4  =  28/8  .          

        Существует  признак, пользуясь которым определяют, равны ли данные дроби: 

           Для того, чтобы дроби  m/n и p/q  были равны, необходимо и достаточно, чтобы  mq =  np.

1. Покажем, что m/n = p/q   =>  mq = np. Так как m/n = p/q  для любого натурального q, а   p/q = pn/qn   для любого натурального n, то, из равенства дробей  m/n и p/q  следует равенство mq/nq  =  pn/qn , из которого в свою очередь вытекает, что mq = np.

2. Покажем, что mp = pq => m/n = p/q.  Если разделить обе части истинного равенства mq=np на натуральное число nq,  то получим истинное равенство     mq/nq =  np/nq.  Но mq/nq  =  m/n ,  а  np/nq  =   p/q,  =>  m/n  =  p/q.

Пример.   Определим, равны ли дроби 17/19 и 23/27.   Для этого сравним произведения 17*27 и 19*23;  17*27=459,   19*23=437. Так как 459 ¹ 437, то      17/19 ¹23/27.

        Из рассмотренных ниже фактов вытекает основное свойство дроби: Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и тоже натуральное число, то получится дробь, равная данной. На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

        Сокращение дробей- это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

        Если числитель  и знаменатель дроби одновременно  делятся только на единицу, то  дробь называют несократимой. Например, 3/19  - несократимая дробь.

        Пример. Сократим дробь 48/80. Чтобы получить равную ей несократимую дробь, необходимо числитель и знаменатель данной дроби разделить на их наибольший общий делитель. Найдем его: Д (48;80) = 16. Разделив 48 на 16 и 80 на 16, получаем, что 48/80 = 3/5. Дробь 3/5 - несократимая.

        Приведение дробей к общему знаменателю- это замена дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели.

         Общим знаменателем  двух дробей m/n  и p/q является общее кратное чисел n и q, а наименьшим общим знаменателем- их наименьшее общее кратное   К (n,q).

Пример.  Приведём к НОЗ дроби  8/15  и  4/35. Разложим числа 15 и 35 на простые множители: 15=3*5, 35=5*7. Тогда  К (15,35)=3*5*7=105. Поскольку 105=15*7=35*3, то  =  8/15   =  8*7/15*7 = 56/105,   4/35  =  4*3/35*3 = 12/105 .

     Сложение и вычитание.

Пусть отрезки a,b,c таковы, что c= a+b и при выбранной единице длины e a=  е, b=   e (рис.2). тогда c= a+b =  e+ e = 6e1= 7e1 = (6+7)*е1 = 13е1 =   е1, т.е. длина отрезка е выражается числом, которое целесообразно рассматривать, как сумму чисел 6/4  и 7/4 .

 

                                                a                            b        

                                                                 c

                                              e

                                              e1                                                                                 

                                            Рис.2.  

                   

        Определение: Если положительные рациональные числа представлены дробями m/n  и p/n , то суммой чисел a и b называется число, представляемое дробью  m+p/n   .

                           m/n + p/n = m+p/n                        (1)

 

        Если положительные рациональные числа представлены дробями с разными знаменателями, то эти дроби приводят к НОЗ, а потом складывают по правилу (1).  Например:       5/12+2/15=25/60+8/60=25+8/60=33/60=11/20 .

Сумма любых двух положительных чисел существует и единственна. Сложение положительных рациональных чисел подчиняется переместительному и сочетательному законам:

        a+b=b+a  для любых a,b, Π Q+

        (a+b)+c = a+(b+c) для любых a,b,c Î Q+

        Различают правильные и неправильные дроби. Дробь   называют правильной, если её числитель меньше знаменателя, и неправильной, если её  числитель больше знаменателя или равен ему.

        Пусть m/n  - неправильная дробь. Тогда m  ³ n. Если m кратно n ,то в этом случае дробь  m/n  является записью натурального числа. Например, если дана дробь  15/3, то 15/3 =5. Если число m не кратно n, то разделим m на n с остатком: m=nq+r, где r<n. Поставим nq+r вместо m в дробь m/n и применим правило (1):   m/n=nq+r/n=nq/n+r/n=q+r/n.

 

        Поскольку r < n , то дробь r/n  правильная => дробь m/n  оказалась представлена в виде суммы натурального числа q и правильной дроби r/n  . Это действие называют выделением целой части из неправильной дроби. Например, 13/4=4*3+1/4=4*3/4+1/4=3+1/4.  Принято сумму натурального числа и правильной дроби записывать без знака сложения, т.е вместо 3+1/4   пишут 3 1/4   и называют такую запись смешанным числом.

        Рассмотрим  вычитание положительных рациональных  чисел.

Определениe     Разностью положительных рациональных чисел  a и b называется такое положительное рациональное число c, что  a=b+c

Понятие разности определено, а как практически из одного положительного  рационального числа  вычесть другое?

        Пусть a=m/n,  b=p/n,  а разность  а-b пусть представляется дробью x/n. Найти  x . По определению разности  m/n=p/n+x/n, а по правилу (1)  p/n+x/n=p+x/n.  Таким образом, m=p+x,  но m, p и x _числа натуральные, а для них эта запись означает, что x=m-p.

Приходим к следующему правилу:

 

M/n-p/n=m-p/n              (2)

 

 

 

Умножение и деление.

 

На рис.3  приведены такие отрезки :  a, e, и e1, что a=11/3e;  e=6/5e1. Надо узнать, каким будет значение длины данного отрезка а при единице длины е1. Так как 3a =11e, а  5е=6е1, то, умножив первое равенство на 5, а второе на 11, получим 5*3а=11*5е и 11*5е=6*11е1, или 15а=66е1.  Последнее равенство означает, что а=66/15е1, т.е. длина отрезка а при единице длины е1 выражается числом 66/15, которое целесообразно рассматривать как произведение  11/3 и 6/5.

Определение     Если положительные рациональные числа представлены дробями m/n  и  p/q, то их произведение есть число, представленное дробью mp/nq

                            m/n*p/q=mp/nq                          (3)

 

Определение    Частное двух положительных рациональных чисел  a и  b называется такое число с , что  a=b*c.   Частное двух положительных рациональных чисел находят по формуле:

                             m/n:p/q=mq/np                           (4)

 

 

 

 

Рис.3

 

 

     Заметим, что знак черты в записи  дроби m/n можно рассматривать как знак действия деления.  Действительно, возьмем  два натуральных числа m и n, и найдем их частное по правилу (4):

m:n=m/1:n/1=m*1/n*1=m/n

   Обратно, если дана дробь m/n , то m/n=m*1/n*1 . Так как  m/n=m:n, то любое положительное рациональное число можно рассматривать как частное двух натуральных чисел. Кстати, термин «рациональное число» произошел от латинского слова  ratio, что в переводе  на русский язык означает «отношение» (частное).

 

 

 

 

 

1.3. Содержание темы «Обыкновенные  дроби» в школьном курсе математики.

Изучение темы «Обыкновенные дроби» в начальной школе.

 

      В соответствии  с программой по математике, в  начальных классах должна быть  проведена подготовка к изучению дробей в IV и V классах. Это значит, в начальных классах надо создать конкретное представление о доле и дроби. С этой целью предусматривается во 2 классе ознакомить детей с долями, их записью, научить сравнивать дроби, решать задачи на нахождение доли числа и числа по доле; в 3 классе ознакомить с дробями, их записью, научить сравнивать дроби,  научить решать задачи на нахождение дроби числа. Все названные вопросы раскрываются на наглядной основе.