Уравнения, выражения, неравенства

                 

ВВЕДЕНИЕ

     При изучении  математики очень важна логическая  структура математических понятий. К алгебраическим мат  Наряду с изучением операций и их свойств в алгебре изучают такие понятия, как выражения, уравнения, неравенства. Первоначальное знакомство с ними происходит в начальном курсе математике. Вводятся они, как правило, без строгих определений, чаще всего остенсивно, что требует от учителя не только большой аккуратности в употреблении терминов обозначающих эти понятия, но и знания ряда их свойств.  Поэтому главная задача, которую мы ставим, приступая к изучению материала данного параграфа, -  это уточнить и углубить  знания о выражениях (числовых и с переменными), числовых равенствах и числовых неравенствах, уравнениях и неравенствах.

      Изучение  данных понятий связанно с  использованием математического  языка, он относится к искусственным  языкам, которые создаются и развиваются  вместе с той или иной наукой. Как и любой другой, математический  язык имеет свой алфавит. 

 В данной курсовой работе мы рассмотрели темы «Неравенства», «Уравнения»  «Выражения».

  Неравенство числовое - высказывание вида а < b или а > b, где < - отношение строгого порядка, а отношение ≤ - отношение нестрогого порядка на некотором множестве чисел.

Неравенство с переменной - высказывательная форма вида А≤ В, где А или В - высказывательная форма.

 Множество значений переменной х (или нескольких переменных), при которых высказывательная форма А < В или А ≤ В истинна, называется множеством истинности этой формы или решением неравенства с переменной.

       Иногда неравенство с переменной определяют менее формально, но более, может быть, доступно: два выражения, соединенные знаком неравенств.

Неравенство, содержащее знак > или <, называют строгим; содержащее знак ≤ или ≥, называют нестрогим. Отношения "меньше" и "больше" для чисел а и b взаимосвязаны: если а>b, то b<а; если а<b, то b>а.

       К обеим частям истинного (верного) числового неравенства можно прибавлять одно и то же число, в результате получим истинное неравенство. Умножая обе части истинного числового неравенства а<b на положительное число с, получим истинное неравенство ас<bс; если умножить на одно и то же отрицательное число с и изменить знак неравенства на противоположный, то получится истинное неравенство ас>bс.

Содержание линии неравенств развертывается на протяжении всего школьного курса математики. Учитывая важность и обширность материала этой линии, еще раз отметим целесообразность на заключительных этапах обучения предлагать достаточно разнообразные и сложные задания, рассчитанные на активизацию наиболее существенных компонентов этой линии, основных понятий и основных приемов решения, исследования и обоснования заданий.

       Выражение в математике - это практически всё, с чем мы собственно и имеем дело в математике. Уравнения, дроби, примеры, формулы... 1+1 - это выражение, a+b+c - это выражение, уравнение 5x+12=37 - это 2 математических выражения, соединённые знаком равенства. Дробь - математическое выражение, состоящее из числителя и знаменателя.

Значение выражения - (не совсем понятен вопрос) это либо просто результат (ответ) решения примера, уравнения и т.д. Либо это числовое выражение, состоящее из цифр и математических знаков (то в котором нет букв, если буквы появились, то это уже переменное или алгебраическое выражение). 7-3 - числовое выражение, (12+5)-(15-5) - числовое выражение. Любая дробь - числовое выражение. Иногда числовые выражения не имеют смысла, например, (12+5):(48-12х4) - просто потому, что на ноль делить нельзя.

 

 Уравнение – это равенство, содержащее неизвестные числа, обозначаемые буквами. Неизвестные  числа в уравнении называют переменными. Переменные чаще всего обозначают буквами х, y, z  хотя их можно обозначить и другими буквами.

Актуальность исследования: системная работа с уравнениями, неравенствами и выражениями, является базой качественного обучения.

Цель исследования: рассмотреть математические понятия, уравнения, выражения, неравенства и изучить работу с ними.

Объект исследования: уравнения, выражения, неравенства.

Предмет исследования: математические понятия, понятие уравнения, основные понятия неравенства.

Гипотеза исследования: определения уравнения, выражения, неравенства и их свойства создают более глубокие понятия в усвоении данных тем.

Задачи исследования: рассмотреть виды уравнений, неравенства,

В работе использовались следующие методы исследования:

• Теоретический анализ и синтез;
• Изучение литературы, различных источников;
• Изучение и обобщение педагогического опыта;

Структура работы состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

 

 

 

             ГЛАВА I. ВЫРАЖЕНИЯ

1.1 Понятие выражения в математике

        Выражения в математике - основа всей математики. Вся математика состоит из выражений и их преобразований.

       Для начала выясним, что такое выражение в математике. Что такое числовое выражение и что такое алгебраическое выражение.                 Выражение в математике - это очень широкое понятие. Практически всё то, с чем мы имеем дело в математике - это набор математических выражений. Любые примеры, формулы, дроби, уравнения и так далее - это всё состоит из математических выражений.[2]

3+2 - это математическое выражение. с2- d2 - это тоже математическое выражение. И здоровущая дробь, и даже одно число - это всё математические выражения. Уравнение, например, вот такое:

5х + 2 = 12

состоит из двух математических выражений, соединённых знаком равенства. Одно выражение - слева, другое - справа.

Вот в этих целях фраза "математическое выражение" очень хороша. И правильно, и солидно. Но для практического применения надо хорошо разбираться в конкретных видах выражений в математике.

Конкретный вид- это другое дело. У каждого вида математических выражений есть свой набор правил и приёмов, который необходимо использовать при решении. Для работы с дробями - один набор. Для работы с тригонометрическими выражениями - второй. Для работы с логарифмами - третий. И так далее. Где-то эти правила совпадают, где-то - резко отличаются. Логарифмы, тригонометрию и прочие загадочные вещи мы будем осваивать в соответствующих разделах.

1.2 Числовые выражения.

Математическое выражение, составленное из чисел, скобок и знаков арифметических действий называется числовым выражением.

7-3 - числовое выражение.

Главный признак числового выражения - в нём нет букв. Никаких. Только числа и математические значки.

Числовые выражения, как правило, можно считать. Для этого приходится раскрывать скобки, менять знаки, сокращать, менять местами слагаемые - т.е. делать преобразования выражений. [16]

Мы разберёмся с таким случаем, когда с числовым выражением ничего делать не надо.  Выражение не имеет смысла. 

Когда числовое выражение не имеет смысла?

Например:

(2+3) : (16 - 2·8)

Однако, это выражение тоже не имеет смысла. По той простой причине, что во вторых скобках - если посчитать - получается ноль. А на ноль делить нельзя. Это запретная операция в математике. Стало быть, с этим выражением тоже ничего делать не надо. При любом задании с таким выражением, ответ будет всегда один: выражение не имеет смысла. 

1.3 Алгебраические выражения.

Если в числовом выражении появляются буквы, оно становится алгебраическим выражением. Например:

5а2;  3x-2y;  3(z-2);  3,4m/n;  x2+4x-4;  (а+b)2; ...

Ещё такие выражения называют буквенными выражениями. Или выражениями с переменными. Это, практически, одно и то же. Выражение 5а +с, к примеру - и буквенное, и алгебраическое, и выражение с переменными.

Понятие алгебраическое выражение - более широкое, чем числовое. Оно включает в себя и все числовые выражения. Т.е. числовое выражение - это тоже алгебраическое выражение, только без букв. Фраза выражение с переменными тоже не сильно озадачивает. Если понимать, что под буквами скрываются числа. Всякие числа могут скрываться под буквами... И 5, и -18, и всё, что угодно. Т.е букву можно заменять на разные числа. Поэтому буквы и называются переменными.

В выражении у+5, например, у - переменная величина. Или говорят просто "переменная", без слова "величина". В отличие от пятёрки, которая - величина постоянная. Или просто - постоянная.

Термин алгебраическое выражение означает, что для работы с данным выражением нужно использовать законы и правила алгебры. Если арифметика работает с конкретными числами, то алгебра - со всеми числами разом. Простой пример для пояснения.

В арифметике можно записать, что

3 + 5 = 5 + 3

Посчитать, и все дела. Слева 8, и справа 8. А для других чисел такое равенство выполняется? Тоже можно записать и посчитать. Но чисел - бесконечное количество... И что, каждый раз считать?!

А вот если мы подобное равенство запишем через алгебраические выражения:

а + b = b + a

мы сразу решим все вопросы. Для всех чисел махом. Для всего бесконечного количества. Потому, что под буквами а и b подразумеваются все числа. И не только числа, но даже и другие математические выражения. Вот так работает алгебра.

В каких случаях алгебраическое выражение не имеет смысла.

Возьмём для примера вот такое выражение с переменными:

2: (а - 5)

Но есть одно значение а, при котором это выражение точно не имеет смысла. Это 5. Если переменную а заменить (говорят - "подставить") на число 5, в скобочках ноль получится. На который делить нельзя. Вот и получается, что наше выражение не имеет смысла, если а = 5. Алгебраическое выражение 2: (а - 5) имеет смысл для любых значений а, кроме а = 5.

Весь набор чисел, которые можно подставлять в заданное выражение, называется областью допустимых значений этого выражения.

 

 1.4 Преобразование  выражений. Тождественные преобразования.

Мы познакомились с числовыми и алгебраическими выражениями. Теперь надо разобраться, что такое преобразование выражений Это любое действие с выражением. Возьмём крутое числовое выражение 3+5.

3+5 = 8

Вот этот расчёт и будет преобразованием выражения. Можно записать то же самое выражение по-другому:

3+5 = 5+3

Записали выражение в другом виде. Это тоже будет преобразованием выражения. Можно записать вот так:

3+5 = 10-2

И это тоже - преобразование выражения. Таких преобразований можно понаделать сколько хочешь. [15]

Любое действие над выражением, любая запись его в другом виде называется преобразованием выражения. Но есть здесь одно очень важное правило. Настолько важное, что его смело можно назвать главным правилом всей математики. Предположим, мы преобразовали наше выражение как попало, вот так:

3+5 = 2+1

Вся математика построена на преобразованиях, в которых меняется внешний вид, но суть выражения не меняется. Три плюс пять можно записать в каком угодно виде, но это должно быть восемь.

Преобразования, не меняющие сути выражения, называются тождественными.

Именно тождественные преобразования и позволяют нам, шаг за шагом, превращать сложный пример в простое выражение, сохраняя суть примера. Если в цепочке преобразований мы ошибёмся, сделаем НЕ тождественное преобразование, дальше мы будем решать уже другой пример. С другими ответами, которые не имеют отношения к правильным.

Вот оно и главное правило решения любых заданий: соблюдение тождественности преобразований.

Пример с числовыми выражением 3+5 я привёл для наглядности. В алгебраических выражениях тождественные преобразования даются формулами и правилами. Скажем, в алгебре есть формула:

a(b+c) = ab + ac

Значит, мы в любом примере можем вместо выражения a(b+c) смело написать выражение ab + ac. И наоборот. Это тождественное преобразование. Математика предоставляет нам выбор из этих двух выражений. А уж какое из них писать - от конкретного примера зависит.

Ещё пример. Одно из самых главных и нужных преобразований - это основное свойство дроби. Правило: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, или неравное нулю выражение, дробь не изменится. Вот  пример тождественных преобразований по этому свойству:

Эту цепочку можно продолжать до бесконечности 

Формул, задающих тождественные преобразования, - много. Но самых главных - вполне разумное количество. Одно из базовых преобразований - разложение на множители. Оно используется во всей математике - от элементарной до высшей.

         Вывод: Выражения в математике - основа  всей математики. Вся математика  состоит из выражений и их  преобразований. В курсовой работе  мы рассмотрели следующие понятия: математическое выражение, числовое  выражение, алгебраические выражения, преобразования выражения. Вся математика  построена на преобразованиях, в  которых меняется внешний вид, но суть выражения не меняется.

ГЛАВА II.УРАВНЕНИЯ

Уравне́ние — это равенство вида

Чаще всего в качестве   выступают числовые функции.

      Основные  свойства

      С алгебраическими  выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые  не меняют его корней, в частности:

1. В любой части уравнения можно раскрыть скобки.