ГЛАВА III.НЕРАВЕНСТВА
3.1 Основное понятие неравенства
Неравенство [inequality]
— соотношение между числами (или любыми
математическими выражениями, способными
принимать численное значение), указывающее,
какое из них больше или меньше другого.
Над этими выражениями можно по определенным
правилам производить следующие действия:
сложение, вычитание, умножение и деление
(причем при умножении или делении Н. на
отрицательное число смысл его меняется
на противоположный). Одно из основных
понятий линейного программирования — линейные
неравенства вида
a1x1+ a2x2 +... + anxn * b,
где a1,..., an, b — постоянные и
знак * — один из знаков неравенства, напр.
≥, <, ≤.
В
матричной алгебре знак ≥ означает
что все элементы матрицы, расположенной
слева, не меньше (а хотя бы часть из них
больше) соответствующих элементов матрицы,
расположенной справа. В отличие от этого
знак ≤ означает, что все элементы левой
матрицы не меньше соответствующих элементов
правой матрицы; в частности, все соответствующие
элементы могут быть попарно равны. [3]
Классификация неравенств
Неравенства, содержащие неизвестные
величины, подразделяются на:[1]
алгебраические
трансцендентные
Алгебраические
неравенства подразделяются на
неравенства первой, второй, и т.
д. степени.
Пример:
Неравенство
алгебраическое, второй степени.
Неравенство
- трансцендентное.
3.2 Основные свойства числовых
неравенств. Неравенства содержащие переменную.
Если a>b , b<a;
Если a>b b>c a>c;
Если a>b a+c>b+c;
Если a+b>c a> c-b;
Если обе
части верного неравенства умножить на
одно и то же положительное число, то получится
верное неравенство;
Если обе
части верного неравенства умножить на
одно и то же число и изменить знак на противоположный,
то получится верное неравенство;
Множество
всех х, при которых имеют смысл выражения
f(x) и g(x), называется областью определения
неравенства f(x) >g(x);
Два
неравенства, содержащие одну и
ту же переменную, называются
равносильными, если они имеют
общее множество решений (множество
решений этих неравенств совпадают);
Если к обеим частям неравенства
прибавить(или вычесть) любую функцию
J(x). область определения которой содержит
область определения неравенств, то получится
новое неравенств, равносильное данному;
Если обе части неравенства
f(x) >g(x) умножить (или разделить) на любую
функцию J(x), определенную для всех значений
переменной х из области определения данного
неравенства, сохраняющую постоянный
знак и отличную от нуля, то при J(x)>0 получится
неравенство, равносильное данном, а при
J(x)<0 равносильным данному является неравенство
противоположного знака. [12]
Неравенства с одной переменной. Пусть
дано неравенство f(x) >g(x). Всякое значение
переменной, при котором данное неравенство
с одной переменной обращается в верное
числовое неравенство, называется решением
неравенства с одной переменной. Решить
неравенство с переменной - значит найти
все его решения или доказать, что их нет.
Два неравенства с одной переменной
называются равносильными, если решения
этих неравенств совпадают. [8]
3.3 Графическое решение неравенств
второй степени
Графиком квадратичной функции y
= ах2 +bх + с является парабола с ветвями,
направленными вверх, если а > 0, и вниз,
если а < 0 (иногда говорят, что парабола
направлена выпуклостью вниз, если а >
0 и выпуклостью вверх, если а < 0). При этом
возможны три случая:
Парабола пересекает ось 0х
(т. е. уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных
корня). То есть, если а<0 то решением неравенства
является множество [x1;x2].
y = ах2 +bх + с a>0 D>0 y = ах2 +bх
+ с a<0 D>0, (рис.6)
Парабола
имеет вершину на оси 0х (т. е. уравнение ах2 +
х + с = 0 имеет один корень, так называемый
двукратный корень) То есть, если d=0, то
при a>0 решением неравенства служит вся
числовая прямая, а при a<0 единственная
точка х1, являющаяся единственным корнем
квадратного трехчлена ах2 + х + с
y = ах2 +bх + с a>0 D=0 y = ах2 +bх + с
a<0 D=0, (рис.7)
Если
d<0 то график квадратного трехчлена f(x)
= ах2 +bх + с не пересекает ось Ох и лежит
выше этой оси при a>0 и ниже ее при a<0
В первом случае множество решений неравенства
есть вся числовая прямая, а во втором
оно является пустым. [11]
y = ах2 +bх + с a>0 D<0 y = ах2 +bх +
с a<0 D<0, (рис.8)
4) Решить неравенство
графическим способом
1) 3х2 -4х
;
3х2-4х
.
Пусть f(x) = 3х2 -4х - 7 тогда найдем
такие х при которых f(x)
;
Найдем нули функции.
3х2-4х-7=0,
D=100,
Х=-1 Х=73.(рис.9)
f(x)
при х
.
Ответ f(x)
при х
.
х2 >-4x-5;
x2 +4x +5>0;
Пусть f(x)=х2 +4х +5 тогда Найдем
такие х при которых f(x)>0,
X2+4x+5=0,
D=-4 Нет нулей. (рис.10)
Ответ
.
3.4 Системы неравенств. Неравенства
и системы неравенств с двумя переменными
Множество
решений системы неравенств есть
пересечение множеств решений
входящих в нее неравенств.
Множество решений неравенства
f(х;у)>0 можно графически изобразить на
координатной плоскости. Обычно линия,
заданная уравнением f(х;у)=0 ,разбивает
плоскость на 2 части, одна из которых является
решением неравенства. Чтобы определить,
какая из частей, надо подставить координаты
произвольной точки М(х0;у0) , не лежащей
на линии f(х;у)=0, в неравенство. Если f(х0;у0)
> 0 , то решением неравенства является
часть плоскости, содержащая точку М0.
если f(х0;у0)<0, то другая часть плоскости. [9]
Множество решений системы неравенств
есть пересечение множеств решений
входящих в нее неравенств. Пусть,
например, задана система неравенств:
.
Для первого неравенства множество
решений есть круг радиусом 2 и
с центром в начале координат,
а для второго- полуплоскость, расположенная
над прямой 2х+3у=0. Множеством решений данной
системы служит пересечение указанных
множеств, т.е. полукруг.
Пример. Решить систему неравенств:
Решением 1-го неравенства служит
множество
, 2-го множество (2;7) и третьего - множество
.
Пересечением указанных множеств
является промежуток(2;3], который и есть
множество решений системы неравенств.
3.5 Решение рациональных
неравенств методом интервалов
В основе метода интервалов
лежит следующее свойство двучлена
(х-а): точка х=α делит числовую ось на две
части — справа от точки α двучлен (х α)>0,
а слева от точки α (х-α)<0.
Пусть требуется решить неравенство (x-α1)(x-α2)...(x-αn)>0,
где α1, α2...αn-1, αn — фиксированные числа,
среди которых нет равных, причем такие,
что α1 < α2 <...< αn-1 < αn. Для решения
неравенства (x-α1)(x-α2)...(x αn)>0 методом интервалов
поступают следующим образом: на числовую
ось наносят числа α1, α2...αn-1, αn; в промежутке
справа от наибольшего из них, т.е. числа αn,
ставят знак «плюс», в следующем за ним
справа налево интервале ставят знак «минус»,
затем — знак «плюс», затем знак «минус»
и т.д. Тогда множество всех решений неравенства (x-α1)(x α2)...(x-αn)>0 будет
объединение всех промежутков, в которых
поставлен знак «плюс», а множество решений
неравенства (x-α1)(x-α2)...(x αn)<0 будет объединение
всех промежутков, в которых поставлен
знак «минус». [10]
Решение рациональных неравенств
(т.е неравенств вида
P(x) Q(x) где – многочлены) основано на следующем
свойстве непрерывной функции: если непрерывная
функция обращается в нуль в точках х1
и х2 (х1;х2) и между этими точками не имеет
других корней, то в промежутках(х1;х2) функция
сохраняет свой знак.
Поэтому для нахождения промежутков
знакопостоянства функции y=f(x) на числовой
прямой отмечают все точки, в которых функция
f(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
Эти точки разбивают числовую прямую на
несколько промежутков, внутри каждого
из которых функция f(x) непрерывна и не
обращается в нуль, т.е. сохраняет знак.
Чтобы определить этот знак, достаточно
найти знак функции в какой либо точке
рассматриваемого промежутка числовой
прямой.
Для определения интервалов знакопостоянства
рациональной функции, т.е. Для решения
рационального неравенства, отмечаем
на числовой прямой корни числителя и
корни знаменателя, которые как и являются
корнями и точками разрыва рациональной
функции.
Решение неравенств методом
интервалов
3.
< 20.
Решение. Область допустимых
значений определяется системой неравенств:
.
Для функции f(x) =
– 20. Находим f(x):
откуда x = 29 и x = 13.
f(30) =
– 20 = 0,3 > 0,
f(5) =
– 1 – 20 = – 10 < 0.
Ответ: [4; 29).
х2+х-2
Пусть f(x)=х2+х-2 тогда найдем
такие х при которых f(x)<0.
Найдем нули х=1, х=-2.
Вывод: тема "Неравенства" занимает
важное место в курсе алгебры. Она богата
по содержанию, по способам и приемам решения
неравенств, по возможностям ее применения
при изучении ряда других тем математики
. Это объясняется тем, что уравнения и
неравенства широко используются в различных
разделах математики, в решении важных
прикладных задач.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Математика,
как и любая другая наука не стоит на месте,
вместе с развитием общества меняются
и взгляды людей, возникают новые мысли
и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением.
Тема "Неравенства"
занимает важное место в курсе алгебры.
Она богата по содержанию, по способам
и приемам решения неравенств, по возможностям
ее применения при изучении ряда других
тем математики . Это объясняется тем,
что уравнения и неравенства широко используются
в различных разделах математики, в решении
важных прикладных задач.
Выражения в математике
- основа всей математики. Вся математика
состоит из выражений и их преобразований.
В курсовой работе мы рассмотрели следующие
понятия: математическое выражение, числовое
выражение, алгебраические выражения,
преобразования выражения. Вся математика
построена на преобразованиях, в которых
меняется внешний вид, но суть выражения
не меняется
Появление
компьютеров внесло свои корректировки
в способы решения уравнений и значительно
их облегчило. Знание самых главных способов
решения уравнений необходимо знать. Использование
уравнений в повседневной жизни – редкость.
Они нашли свое применение во многих отраслях
хозяйства и практически во всех новейших
технологиях. В данной работе были представлены
далеко не все, способы решения уравнений
и даже не все их виды, а только самые основные.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика
преподавания математики в начальных
классах: Уч. пос. для уч-ся школ. отд-й пед.
уч-щ / Под ред. М.А. Бантовой. -3-е изд., испр.
- М.: Просвещение, 2000г. - 335 с. - ил.
2. Бантова М.А. Методическое пособие к
учебнику математики/М.А. Бантова, Т.В.
Бельтюкова, С.В. Степанова. – М.: Просвещение,
2001 – 64 с.
3. Вавилов В.В., Мельников И.И. и др. "Задачи
по математике. Уравнения и неравенства"
М.: Изд. "Наука" 2004 г.
4. Давыдов В.В., С.Ф. Горбов и др. Обучение
математике. – М.: Мирос, 2003. 192 с.
5. Истомина Н.Б. Методика обучения математике
в начальных классах. – М.: Академия, 2000.
– 288 с.
6. Кипнис И.М. Задачи на составление уравнений
и неравенств: Пос. для учит-й. - М.: Просвещение,
2001 г. -68 с.
7. Левитас Г.Г. Современный урок математики.
Методика преподавания. ПТУ-М.: Высшая
школа, 2001. -88 с. - ил.
8. Методика преподавания математики
в средней школе: Общая методика: Уч. пос.
для студ. пед. инст-в по спец.2104 "Математика"
и 2105 "Физика"/ А. Блох, Е.С. Канин и
др. Сост.Е.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.:
Просвещение, 2005. -336 с.
9. Методика преподавания математики
в средней школе: Частная методика: Уч.
пос. для студ. пед. инст-в по физ-мат. спец-м/
А. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др. Сост.В.И.
Мишин. - М.: Просвещение, 2000. -416 с.: ил.
10. Методика преподавания математики
в средней школе. /В.А. Ованесян и др. М:
Просвещение, 2006. – 368 с.
11. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко
П.И. Нестандартные методы решения уравнений
и неравенств. - М.: МГУ, 2001 г.
12. Шабунин М.И. Математика для поступающих
в вузы. Неравенства и системы неравенств.
М.: Аквариум, 2003 г.
13. Вулих Б. З. Краткий курс теории
функций вещественной переменной. М.,2005.
– 350 с.
14. Коровкин П. П. Неравенства.
М., 2002. – 56 с.
15. Шилов Г.Е. Математический
анализ (конечномерные линейные пространства).
М.,2000 г., 432 с.
16. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального
и интегрального исчисления, том 2
М., 2001 г., 800с