Уравнения полных дифференциалов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Государственное образовательное учреждение

 высшего профессионального  образования

«Мурманский государственный гуманитарный университет»

(МГГУ)

 

 

 

РЕФЕРАТ

Тема: «Уравнения полных дифференциалов»

 

 

 

                                           Выполнил: студент 2 курса, факультета  ФМОИиП

Воробьева Мария Петровна

                                        Проверила: Ст. преподаватель кафедры  МиМОМ                             Шупова  Галина Михайловна 

 

 

 

 

 

Мурманск

2011

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение…………………………………................................................3

Основные понятия………………………………………………………5

Уравнения в полных дифференциалах………………………………...7

Список используемой литературы…………………………………….16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными. Рассмотрим следующий пример из области рекламного дела.

При организации продажи нового товара торговым предприятиям зачастую приходится прибегать к услугам рекламы. Для того, чтобы последняя была успешной и современной, необходимо знать закон распространения информации о новом товаре среди ее потенциальных покупателей. Найдем вид указанной закономерности при следующих предположениях относительно рассматриваемого процесса.

Пусть N – общее число потенциальных покупателей нового товара, x(t) – число покупателей, знающих к моменту времени t о поступлении в продажу нового товара, [N-x(t)] – число покупателей еще не имеющих информации о товаре.

Предположим, что информация о товаре распространяется среди покупателей посредством их общения между собой. Будем считать, что в течение достаточно малого промежутка времени возможна встреча  лишь двух покупателей, и вероятность этой встречи считаем равной P. Вероятность того, что при встрече покупатель, знающий о товаре, встретиться с покупателем, еще не имеющем информации о товаре, равна (N-x)/N. Тогда скорость изменения величины x(t) в момент t равняется px(N-x)/N систематическому ожиданию числа покупателей впервые узнавших о товаре. Таким образом, получаем уравнение

 

 или  .

 

Данное уравнение содержит величину x и ее производную , т.е. является дифференциальным. Решая полученное уравнение, найдем вид зависимости величины x от t:

 

, где параметр A подбирается, исходя из условия x=x0 в некоторый момент t=t0. Например, если при t=0 величина x(0)=gN (g - доля покупателей, обладающих информацией о товаре к началу рассматриваемого процесса), то . На рис. 1 показан график искомой функции x=x(t). В экономической литературе график известен как логистическая кривая.

Отметим, что логистическая кривая дает также представление о процессе распространения технологических новшеств, эпидемий и даже слухов.

В качестве второго примера рассмотрим задачу представления в виде уравнения однопараметрического семейства кривых, обладающих некоторым общим свойством.

Пусть однопараметрическое семейство кривых задается уравнением Ф(X,Y,C)=0, где C – параметр. Составим дифференциальное уравнение, которое описывает общее свойство присущее всем кривым данного семейства. Предположим, что отдельная кривая семейства заданных функций y=f(x,c). Тогда подставляя ее в общее уравнение семейства получаем тождество .

Предполагая дифференцируемость функции Ф(X,Y,C) и дифференцируя Ф(x,f(x,c),c) по x, получаем

.

 

Рассматривая последнее вместе с уравнением Ф(x,y,c)=0, т.е. рассматривая систему

 

,

 

и исключая в ней параметр C, в результате получим дифференциальной уравнение

, описывающее свойство присущее всем кривым семейства.

Например, пусть семейство кривых представляет семейство гипербол xy=c.

Дифференцируя данное уравнение по x, получаем .

Так как при этом автоматически произошло исключение параметра c, то последнее уравнение, являясь дифференциальным, представляет семейство вышеуказанных гипербол.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

 

Сначала дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции от времени.

Дифференциальные уравнения - раздел математики, изучающий теорию и способы решения уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных порядков одного аргумента (обыкновенные дифференциальные) или нескольких аргументов (дифференциальные уравнения в частных производных). Дифференциальные уравнения широко используются на практике, в частности для описания переходных процессов.

Теория дифференциальных уравнений - раздел математики, занимающийся изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Их результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко - в физике.

Проще говоря, дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. При этом, в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные ее производные. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в различных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок входящей в него производной.

 

Например:

А) является дифференциальным уравнением 1-го порядка;

Б) является дифференциальным уравнением 2-го порядка;

В) является дифференциальным уравнением n-го порядка.

 

Различают обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных. Более сложными являются интегро-дифференциальные уравнения.

Дифференциальное уравнение называется интегрируемых в квадратурах, если задачу нахождения всех развязок связей можно свести к вычислению конечного числа интегралов от известных функций и простых алгебраических операций.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=y (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

 

Например, пусть дано дифференциальной уравнение .

 

Тогда любая функция вида y=c1sinx+c2cosx, где c1, c2 – произвольные постоянные, является решением этого уравнения.

Действительно, дифференцируя уравнение y=c1sinx+c2cosx дважды по x получаем . Подставляя выражения для и y в левую часть исходного дифференциального уравнения получаем .

 

Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Поэтому само решение называют еще интегралом уравнения.

Процедура поиска решения дифференциального уравнения называется его интегрированием, а графики его решений - интегральными кривыми.

Задача отыскания решения дифференциального уравнения любого порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Задачей Коши называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = (х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0. Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка) Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную, то какова бы не была точка (х0, у0) в области D, существует единственное решение уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х0, принимающее при х = х0 значение (х0) = у0, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнения в полных дифференциалах

 

 

Разные трактовки ОДУ. Уравнения вида

 

f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0,

(1)

Φ(t, x) = C

допускают три разные трактовки:

обычную: x — неизвестная функция, t — аргумент;

обратную: t — неизвестная функция, x — аргумент;

симметричную: x и t — две неизвестные функции от некоторого аргумента, не входящего в уравнение, например, s.

 

Разумеется, эти трактовки между собой не эквивалентны, однако тесно связаны.

 

Рассмотрим уравнения

 

F(t, x, dt, dx, C) = 0,

(2)

G(t, x, dt, dx,C) = 0	(3)

в обычной трактовке и будем обозначать через (2s), (3s) их симметричную трактовку.

Утверждение о симметричной трактовке. Если (2s) ⇒ (3s), то (2) ⇒(3).

 

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Итак, пусть (2s) ⇒ (3s) и φ — решение уравнения (2). Требуется доказать, что φ удовлетворяет уравнению (3). По условию

F(t, φ(t), dt, φ′(t)dt, C) ≡ 0.

Заменив здесь t на s и dt на ds, получим тождество относительно s, ds:

F(s, φ(s), ds, φ′(s)ds, C) ≡ 0.

Оно показывает, что пара функций t = s, x = φ(s) образует решение уравнения (2s). Но тогда она должна быть и решением (3s):

G(s, φ(s), ds, φ′(s)ds, C1) ≡ 0.

Совершив обратную замену s на t и ds на dt, мы получим, что функция x = φ(t) удовлетворяет уравнению

 

G(t, φ(t), dt, φ′(t)dt, C1) ≡ 0.

Впредь, если не оговорено противное, мы будем всегда уравнения вида (1) рассматривать в симметричной трактовке, так как в этом случае все проведенные преобразования остаются справедливыми в обычной и обратной трактовках — в этом смысл доказанного утверждения.

 

Утверждение об уравнении в полных дифференциалах. Пусть (1) является уравнением в полных дифференциалах, т. е. существует такая дифференцируемая функция Φ(t, x), что

 

dΦ(t, x) = f(t, x)dx + g(t, x)dt    ((t, x) ∈ D(f) = D(g)).

Тогда следующее уравнение является его полным интегралом:

Φ(t, x) = C    (t, x ∈ D1).

(4)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть функции t = ψ(s), x = φ(s) определены на некотором промежутке J ⊂ R. Тот факт, что пара (ψ, φ) есть решение уравнения (1) эквивалентен тождеству

[f(t, x)dx + g(t, x)dt]|t = ψ, dt = ψ′ds, x = φ, dx = φ′ds≡ 0,

 

которое, в свою очередь эквивалентно тождеству

[dΦ(t, x)]|t = ψ, dt = ψ′ds, x = φ, dx = φ′ds≡ 0.

 

Последнее в точности означает, что

d[Φ(t, x)]|t = ψ, x = φ ≡ 0  и  ψ, φ ∈ D1,

 

или, что то же,

Φ[ψ(s), φ(s)] ≡ C  и  ψ, φ ∈ D1.

 

Таким образом, (1) ⇔ (4).

Мы уже отмечали, что для уравнения с разделяющимися переменными f(x)dx – g(t)dt = 0 существует функция Φ(t, x) = F(x) – G(t), дифференциал которой совпадает с левой частью этого уравнения. Следовательно, это есть частный случай уравнения в полных дифференциалах. Отсюда вытекает, в частности, что доказанное в предыдущем параграфе утверждение об уравнении с разделенными переменными справедливо и в симметричной трактовке.

 

Пример: дифференциальное уравнение семейства концентрических окружностей. Рассмотрим уравнение (9):

 

x dx   ds + y dy   ds = 0.

Оно уже в своем первоначальном смысле является симметричным, т. е. содержит две неизвестные функции и не содержит явно аргумента s. Умножив обе части на ds, получим уравнение с разделяющимися переменными, которое в силу замечания, сделанного в конце предыдущего пункта, легко интегрируется:

 

 

x2   2 + y2   2 = C1   (x, y ∈ D1),

Или

 

x2 + y2 = C   (x, y ∈ D1).

Признак полного дифференциала и алгоритм отыскания Φ(t, x). Будем предполагать, что в уравнении (1) функции f(t, x) и g(t, x) заданы на прямоугольникеJ1×J2 (J1, J2 — промежутки в R) и непрерывны на нем вместе со своими частными производными ∂f/∂t и ∂g/∂x. Если в этих условиях (1) есть уравнение в полных дифференциалах, то